拉長學生主動學習的時段

朱占奎

一、情境引入

（一）讓學生觀看一組描述函數(shù)概念和基本函數(shù)Ⅰ的“章頭語”的動畫。

事物是運動變化著的，我們可以感受到它們的變化：

早晨，太陽從東方冉冉升起；

氣溫隨時間在悄悄地改變；

隨著二氧化碳的大量排放，地球正在逐漸變暖；

中國的國內生產總值在逐年增長；

……

（二）教師：請說說在以上幾個問題中，你感受到的“變化”。

學生：太陽高度在變高；時間在變化，氣溫也在變化；二氧化碳排放量增大，地球變暖了；年代變化，我國的國內生產總值在增長。

教師追問：請歸納出共性的成分。

學生：實際上第一個畫面中的“冉冉升起”，也隱含了時間在變化，因此，總共有兩個量在變化。

教師追問：還有進一步的認識嗎？

學生：除第二個畫面外，其余畫面都有一個量隨時間的變化而變化。實際上第二個畫面也有這方面的意思。

二、高中函數(shù)概念的萌芽

（一）教師：請學生結合上面的思考，自學教材（蘇教版）相應的主體內容。

在現(xiàn)實生活中，我們可能會遇到下列問題。

1.估計人口數(shù)量變化趨勢是我們制定一系列相關政策的依據(jù)。從人口統(tǒng)計年鑒中可以查得我國從1949年至1999年的人口數(shù)據(jù)資料，如表2-1-1所示，你能根據(jù)這個表說出我國人口的變化情況嗎？

表2-1-1 1949年～1999年我國人口數(shù)據(jù)表

2.一物體從靜止開始下落，下落的距離y（m）與下落時間x（s）之間近似地滿足關系式y(tǒng)=4.9x2。若一物體下落2s，你能求出它下落的距離嗎？

3.圖2-1-1為某市一天24小時內的氣溫變化圖。

（1）上午6時的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？

（2）在什么時刻，氣溫為0℃？

（3）在什么時段內，氣溫在0℃以上？

（二）（約5分鐘后）請學生小組交流。

（三）教師：請學生再說說有關的“變化”。

第一小組代表：問題1中，我國人口數(shù)，每隔5年都增加；問題2中，當物體下落2s，物體下落19.6m；問題3中，（1）上午6時的氣溫約是-1℃，全天的最高和最低氣溫分別是10℃和-2℃，（2）7點和23點，（3）7點到23點。

第二小組代表：實際上，這中間的變化就是初中的函數(shù)。

教師追問：說說初中函數(shù)的概念。

第二小組代表補充：在一個變化過程中，有兩個變量，當一個變量的取值確定后，另一個變量的值隨之惟一確定。

教師：初中的函數(shù)概念比較粗糙，如兩個變量在怎樣的范圍內變化？我們已經(jīng)學習了集合概念，如何用集合語言來闡述上述三個問題的共同點？

學生：第一個和第二個變量的取值范圍分別用集合和表示。

三、高中函數(shù)概念的初步建構

（一）教師：我們再看教材，請比較教材上和你的想法有什么不同點。教材相應的主體內容如下。

如何用集合語言來闡述上述三個問題的共同點？

每一個問題均涉及兩個非空數(shù)集A，B。

例如，在第一個問題中，一個集合A是由年份數(shù)組成，即

A={1949，1954，1959，1964，1969，1974，1979，1984，

1989，1994，1999}

另一個集合B是由人口數(shù)（百萬人）組成，即

B={542，603，672，705，807，909，975，1035，1107，1177，1246}

B與A存在某種對應法則，對于A中任意元素x，B中總有一個元素y與之對應。

例如，在第一個問題中，x（年份）取1949，則y（百萬人）取542。這時，我們說“1949對應到542”，或者說“輸入1949，輸出542”，簡記為1949→542。

圖2-1-2所示的“箭頭圖”可以清楚地表示這種對應關系，這種對應具有“一個輸入值對應到惟一的輸出值”的特征。

（二）（約3分鐘后）學生1：書上引入了兩個非空數(shù)集A，B，比集合限定的范圍小，同時引入了對應概念。

學生2：書上用的“箭頭圖”直觀，同時也指出“惟一”，這是我沒有想到的。

四、高中函數(shù)概念的進一步建構

教師：為了表達方便，像初中用字母表示文字一樣，我們將對應法則用字母f表示，因為對應是“惟一”的，如果第一個變量用x表示，第二個變量就被第一個變量x和對應法則f “惟一”確定，因此我們可以引進一個只與兩個字母x和f有關的一個符號f（x）表示。請看教材中關于函數(shù)的定義，并談談你的理解。

一般設A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它對應，這樣的對應叫做從A到B的一個函數(shù)（function），通常記為y=f（x），x∈A。

其中，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y=f（x）的定義域（domain）。

學生：簡單地說“對應是函數(shù)”，而在記號“y=f（x），x∈A”中是一個等式，我難以理解。

教師：歸納得很好。我們就應該抓住關鍵處，舍棄次要部分。定義中，事先用兩個字母x和y表示兩個變量，而按照定義，由對應法則和第一變量x就可惟一確定第二個變量，即f（x）就可以表示第二個變量，因此有y=f（x），x∈A，它既可以看成函數(shù)的一個記號，也可以理解成等式。

五、函數(shù)的三要素的理解

教師：函數(shù)定義中，你認為有哪些關鍵詞？

學生：兩個變量、對應法則和定義域。

教師：能否再減少關鍵詞？大家先思考再交流一下。

（約3分鐘后）學生：兩個變量可以減少。

教師：說說理由。

學生：對應法則定了，變量x在定義域中取一個值，對應y的就是f（x），整個函數(shù)就確定了。

教師：很好。少一點關鍵詞雖然可能有些不完整，但更抽象，這是數(shù)學的本質。下面共同完成教材上的與定義域、對應法則有關的例題。（內容略）

接下來，主要解決教材上的例題，并帶出函數(shù)的值域，研究值域與函數(shù)定義中的集合B的關系。師生共同探討得出：雖然函數(shù)的值域可以由函數(shù)的定義域和對應法則確定，由于值域反映了另一個變量的核心，因此也將其作為函數(shù)的一個要素。（具體過程略）

（作者單位：江蘇省靖江高級中學）

一、情境引入

（一）讓學生觀看一組描述函數(shù)概念和基本函數(shù)Ⅰ的“章頭語”的動畫。

事物是運動變化著的，我們可以感受到它們的變化：

早晨，太陽從東方冉冉升起；

氣溫隨時間在悄悄地改變；

隨著二氧化碳的大量排放，地球正在逐漸變暖；

中國的國內生產總值在逐年增長；

……

（二）教師：請說說在以上幾個問題中，你感受到的“變化”。

學生：太陽高度在變高；時間在變化，氣溫也在變化；二氧化碳排放量增大，地球變暖了；年代變化，我國的國內生產總值在增長。

教師追問：請歸納出共性的成分。

學生：實際上第一個畫面中的“冉冉升起”，也隱含了時間在變化，因此，總共有兩個量在變化。

教師追問：還有進一步的認識嗎？

學生：除第二個畫面外，其余畫面都有一個量隨時間的變化而變化。實際上第二個畫面也有這方面的意思。

二、高中函數(shù)概念的萌芽

（一）教師：請學生結合上面的思考，自學教材（蘇教版）相應的主體內容。

在現(xiàn)實生活中，我們可能會遇到下列問題。

1.估計人口數(shù)量變化趨勢是我們制定一系列相關政策的依據(jù)。從人口統(tǒng)計年鑒中可以查得我國從1949年至1999年的人口數(shù)據(jù)資料，如表2-1-1所示，你能根據(jù)這個表說出我國人口的變化情況嗎？

表2-1-1 1949年～1999年我國人口數(shù)據(jù)表

2.一物體從靜止開始下落，下落的距離y（m）與下落時間x（s）之間近似地滿足關系式y(tǒng)=4.9x2。若一物體下落2s，你能求出它下落的距離嗎？

3.圖2-1-1為某市一天24小時內的氣溫變化圖。

（1）上午6時的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？

（2）在什么時刻，氣溫為0℃？

（3）在什么時段內，氣溫在0℃以上？

（二）（約5分鐘后）請學生小組交流。

（三）教師：請學生再說說有關的“變化”。

第一小組代表：問題1中，我國人口數(shù)，每隔5年都增加；問題2中，當物體下落2s，物體下落19.6m；問題3中，（1）上午6時的氣溫約是-1℃，全天的最高和最低氣溫分別是10℃和-2℃，（2）7點和23點，（3）7點到23點。

第二小組代表：實際上，這中間的變化就是初中的函數(shù)。

教師追問：說說初中函數(shù)的概念。

第二小組代表補充：在一個變化過程中，有兩個變量，當一個變量的取值確定后，另一個變量的值隨之惟一確定。

教師：初中的函數(shù)概念比較粗糙，如兩個變量在怎樣的范圍內變化？我們已經(jīng)學習了集合概念，如何用集合語言來闡述上述三個問題的共同點？

學生：第一個和第二個變量的取值范圍分別用集合和表示。

三、高中函數(shù)概念的初步建構

（一）教師：我們再看教材，請比較教材上和你的想法有什么不同點。教材相應的主體內容如下。

如何用集合語言來闡述上述三個問題的共同點？

每一個問題均涉及兩個非空數(shù)集A，B。

例如，在第一個問題中，一個集合A是由年份數(shù)組成，即

A={1949，1954，1959，1964，1969，1974，1979，1984，

1989，1994，1999}

另一個集合B是由人口數(shù)（百萬人）組成，即

B={542，603，672，705，807，909，975，1035，1107，1177，1246}

B與A存在某種對應法則，對于A中任意元素x，B中總有一個元素y與之對應。

例如，在第一個問題中，x（年份）取1949，則y（百萬人）取542。這時，我們說“1949對應到542”，或者說“輸入1949，輸出542”，簡記為1949→542。

圖2-1-2所示的“箭頭圖”可以清楚地表示這種對應關系，這種對應具有“一個輸入值對應到惟一的輸出值”的特征。

（二）（約3分鐘后）學生1：書上引入了兩個非空數(shù)集A，B，比集合限定的范圍小，同時引入了對應概念。

學生2：書上用的“箭頭圖”直觀，同時也指出“惟一”，這是我沒有想到的。

四、高中函數(shù)概念的進一步建構

教師：為了表達方便，像初中用字母表示文字一樣，我們將對應法則用字母f表示，因為對應是“惟一”的，如果第一個變量用x表示，第二個變量就被第一個變量x和對應法則f “惟一”確定，因此我們可以引進一個只與兩個字母x和f有關的一個符號f（x）表示。請看教材中關于函數(shù)的定義，并談談你的理解。

一般設A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它對應，這樣的對應叫做從A到B的一個函數(shù)（function），通常記為y=f（x），x∈A。

其中，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y=f（x）的定義域（domain）。

學生：簡單地說“對應是函數(shù)”，而在記號“y=f（x），x∈A”中是一個等式，我難以理解。

教師：歸納得很好。我們就應該抓住關鍵處，舍棄次要部分。定義中，事先用兩個字母x和y表示兩個變量，而按照定義，由對應法則和第一變量x就可惟一確定第二個變量，即f（x）就可以表示第二個變量，因此有y=f（x），x∈A，它既可以看成函數(shù)的一個記號，也可以理解成等式。

五、函數(shù)的三要素的理解

教師：函數(shù)定義中，你認為有哪些關鍵詞？

學生：兩個變量、對應法則和定義域。

教師：能否再減少關鍵詞？大家先思考再交流一下。

（約3分鐘后）學生：兩個變量可以減少。

教師：說說理由。

學生：對應法則定了，變量x在定義域中取一個值，對應y的就是f（x），整個函數(shù)就確定了。

教師：很好。少一點關鍵詞雖然可能有些不完整，但更抽象，這是數(shù)學的本質。下面共同完成教材上的與定義域、對應法則有關的例題。（內容略）

接下來，主要解決教材上的例題，并帶出函數(shù)的值域，研究值域與函數(shù)定義中的集合B的關系。師生共同探討得出：雖然函數(shù)的值域可以由函數(shù)的定義域和對應法則確定，由于值域反映了另一個變量的核心，因此也將其作為函數(shù)的一個要素。（具體過程略）

（作者單位：江蘇省靖江高級中學）

一、情境引入

（一）讓學生觀看一組描述函數(shù)概念和基本函數(shù)Ⅰ的“章頭語”的動畫。

事物是運動變化著的，我們可以感受到它們的變化：

早晨，太陽從東方冉冉升起；

氣溫隨時間在悄悄地改變；

隨著二氧化碳的大量排放，地球正在逐漸變暖；

中國的國內生產總值在逐年增長；

……

（二）教師：請說說在以上幾個問題中，你感受到的“變化”。

學生：太陽高度在變高；時間在變化，氣溫也在變化；二氧化碳排放量增大，地球變暖了；年代變化，我國的國內生產總值在增長。

教師追問：請歸納出共性的成分。

學生：實際上第一個畫面中的“冉冉升起”，也隱含了時間在變化，因此，總共有兩個量在變化。

教師追問：還有進一步的認識嗎？

學生：除第二個畫面外，其余畫面都有一個量隨時間的變化而變化。實際上第二個畫面也有這方面的意思。

二、高中函數(shù)概念的萌芽

（一）教師：請學生結合上面的思考，自學教材（蘇教版）相應的主體內容。

在現(xiàn)實生活中，我們可能會遇到下列問題。

1.估計人口數(shù)量變化趨勢是我們制定一系列相關政策的依據(jù)。從人口統(tǒng)計年鑒中可以查得我國從1949年至1999年的人口數(shù)據(jù)資料，如表2-1-1所示，你能根據(jù)這個表說出我國人口的變化情況嗎？

表2-1-1 1949年～1999年我國人口數(shù)據(jù)表

2.一物體從靜止開始下落，下落的距離y（m）與下落時間x（s）之間近似地滿足關系式y(tǒng)=4.9x2。若一物體下落2s，你能求出它下落的距離嗎？

3.圖2-1-1為某市一天24小時內的氣溫變化圖。

（1）上午6時的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？

（2）在什么時刻，氣溫為0℃？

（3）在什么時段內，氣溫在0℃以上？

（二）（約5分鐘后）請學生小組交流。

（三）教師：請學生再說說有關的“變化”。

第一小組代表：問題1中，我國人口數(shù)，每隔5年都增加；問題2中，當物體下落2s，物體下落19.6m；問題3中，（1）上午6時的氣溫約是-1℃，全天的最高和最低氣溫分別是10℃和-2℃，（2）7點和23點，（3）7點到23點。

第二小組代表：實際上，這中間的變化就是初中的函數(shù)。

教師追問：說說初中函數(shù)的概念。

第二小組代表補充：在一個變化過程中，有兩個變量，當一個變量的取值確定后，另一個變量的值隨之惟一確定。

教師：初中的函數(shù)概念比較粗糙，如兩個變量在怎樣的范圍內變化？我們已經(jīng)學習了集合概念，如何用集合語言來闡述上述三個問題的共同點？

學生：第一個和第二個變量的取值范圍分別用集合和表示。

三、高中函數(shù)概念的初步建構

（一）教師：我們再看教材，請比較教材上和你的想法有什么不同點。教材相應的主體內容如下。

如何用集合語言來闡述上述三個問題的共同點？

每一個問題均涉及兩個非空數(shù)集A，B。

例如，在第一個問題中，一個集合A是由年份數(shù)組成，即

A={1949，1954，1959，1964，1969，1974，1979，1984，

1989，1994，1999}

另一個集合B是由人口數(shù)（百萬人）組成，即

B={542，603，672，705，807，909，975，1035，1107，1177，1246}

B與A存在某種對應法則，對于A中任意元素x，B中總有一個元素y與之對應。

例如，在第一個問題中，x（年份）取1949，則y（百萬人）取542。這時，我們說“1949對應到542”，或者說“輸入1949，輸出542”，簡記為1949→542。

圖2-1-2所示的“箭頭圖”可以清楚地表示這種對應關系，這種對應具有“一個輸入值對應到惟一的輸出值”的特征。

（二）（約3分鐘后）學生1：書上引入了兩個非空數(shù)集A，B，比集合限定的范圍小，同時引入了對應概念。

學生2：書上用的“箭頭圖”直觀，同時也指出“惟一”，這是我沒有想到的。

四、高中函數(shù)概念的進一步建構

教師：為了表達方便，像初中用字母表示文字一樣，我們將對應法則用字母f表示，因為對應是“惟一”的，如果第一個變量用x表示，第二個變量就被第一個變量x和對應法則f “惟一”確定，因此我們可以引進一個只與兩個字母x和f有關的一個符號f（x）表示。請看教材中關于函數(shù)的定義，并談談你的理解。

一般設A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它對應，這樣的對應叫做從A到B的一個函數(shù)（function），通常記為y=f（x），x∈A。

其中，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y=f（x）的定義域（domain）。

學生：簡單地說“對應是函數(shù)”，而在記號“y=f（x），x∈A”中是一個等式，我難以理解。

教師：歸納得很好。我們就應該抓住關鍵處，舍棄次要部分。定義中，事先用兩個字母x和y表示兩個變量，而按照定義，由對應法則和第一變量x就可惟一確定第二個變量，即f（x）就可以表示第二個變量，因此有y=f（x），x∈A，它既可以看成函數(shù)的一個記號，也可以理解成等式。

五、函數(shù)的三要素的理解

教師：函數(shù)定義中，你認為有哪些關鍵詞？

學生：兩個變量、對應法則和定義域。

教師：能否再減少關鍵詞？大家先思考再交流一下。

（約3分鐘后）學生：兩個變量可以減少。

教師：說說理由。

學生：對應法則定了，變量x在定義域中取一個值，對應y的就是f（x），整個函數(shù)就確定了。

教師：很好。少一點關鍵詞雖然可能有些不完整，但更抽象，這是數(shù)學的本質。下面共同完成教材上的與定義域、對應法則有關的例題。（內容略）

接下來，主要解決教材上的例題，并帶出函數(shù)的值域，研究值域與函數(shù)定義中的集合B的關系。師生共同探討得出：雖然函數(shù)的值域可以由函數(shù)的定義域和對應法則確定，由于值域反映了另一個變量的核心，因此也將其作為函數(shù)的一個要素。（具體過程略）

（作者單位：江蘇省靖江高級中學）