問學(xué)施教 簡(jiǎn)中求道

朱占奎

當(dāng)今社會(huì)，繁榮的背后充斥著迷茫與喧囂，本應(yīng)寧靜的教育也有些飄然。高中校園里，教師快節(jié)奏地工作著，不停地備課、上課、批改作業(yè)，不停地開展常規(guī)教育、找學(xué)生交流、處理突發(fā)事件……周而復(fù)始，整天忙忙碌碌。我們是否好好想過：“我們?yōu)槭裁唇?？教育的本質(zhì)是什么？社會(huì)需要的是什么樣的教育？”我們是否好好思考過：“我們?cè)摻淌裁?？教教材、教教輔、教學(xué)生考試、教學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，還是基于課程標(biāo)準(zhǔn)來教學(xué)？”所以，我們忙碌著，有時(shí)卻無所適從。

事實(shí)上，思想決定行為，教師的教學(xué)行為常常受制于自己的教學(xué)主張。教學(xué)是我們每一個(gè)教師的生活，生活的體驗(yàn)不斷累積，逐漸有了自己對(duì)教學(xué)的見解；教學(xué)的見解不斷豐富，逐漸形成體系，于是就有了自己的教學(xué)主張。本文嘗試濃縮我三十年的教學(xué)生活，提煉自己對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科、數(shù)學(xué)教學(xué)的理解，初步闡釋自己的教學(xué)主張——簡(jiǎn)中求道。

一、“簡(jiǎn)”中求“數(shù)學(xué)”之道

數(shù)學(xué)原本是“善意”的，它源于生活，以“簡(jiǎn)”的形態(tài)高于生活、方便于生活、運(yùn)用于生活。但是，高中學(xué)生中鮮有喜愛數(shù)學(xué)的，這是什么原因呢？我以為，他們厭惡的“數(shù)學(xué)”不是真正的“數(shù)學(xué)”，而是“應(yīng)試”用的“數(shù)學(xué)”，他們從數(shù)學(xué)課堂上感受不到數(shù)學(xué)的“善意”，真實(shí)的體悟往往是負(fù)面的：數(shù)學(xué)太抽象，常常會(huì)有“云里霧里”的感覺；數(shù)學(xué)太繁雜，常常有“又出錯(cuò)，不再做下去了”的念頭；數(shù)學(xué)的技巧太高，常常產(chǎn)生“不是我等可以做的”的無奈。

1.經(jīng)歷數(shù)學(xué)的抽象過程，讓數(shù)學(xué)具體些。

正是數(shù)學(xué)的這一“抽象”特征，使得數(shù)學(xué)不但在自然、社會(huì)等方面應(yīng)用廣泛，而且在理性、思維、培養(yǎng)等方面無可替代。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，必須經(jīng)歷數(shù)學(xué)的“抽象”過程，理解“抽象”的本質(zhì)，同時(shí)會(huì)用“已抽象的對(duì)象”理解相關(guān)問題，否則，學(xué)到的不是真正的數(shù)學(xué)，也就是說，在探索“這看起來比較復(fù)雜，抽象后又很簡(jiǎn)單的問題”中才會(huì)學(xué)到真正的數(shù)學(xué)。實(shí)際上，數(shù)學(xué)中有很多破解“抽象”的方法，例如“從特殊到一般”的認(rèn)識(shí)方法，“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想等等。下文就通過對(duì)“函數(shù)概念”抽象過程的分析，從“由特殊到一般”和“數(shù)形結(jié)合”兩個(gè)角度入手，試著尋找“數(shù)學(xué)”的“簡(jiǎn)”之道。

從特殊到一般，是認(rèn)識(shí)事物的最基本的方法。從大量的特殊問題中，梳理、歸納和提煉出規(guī)律性的屬性，進(jìn)一步得到本質(zhì)屬性，這一過程就是抽象，它是數(shù)學(xué)化的重要過程。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最重要的概念，基于學(xué)生認(rèn)知能力的漸進(jìn)發(fā)展，義務(wù)教育階段和高中基礎(chǔ)教育階段課標(biāo)中采用螺旋上升的思路進(jìn)行了整體架構(gòu)。以蘇教版為例，初中教材中，重點(diǎn)以具體的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)為載體，將函數(shù)的概念在學(xué)生可以理解的范圍內(nèi)逐步加深。高中教材中，考慮到學(xué)生的認(rèn)知能力的提高，具體的實(shí)例中增加了分段函數(shù)，進(jìn)一步又研究了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)等等，并從函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性和周期性等角度逐步深入。

“數(shù)形結(jié)合”是基本的數(shù)學(xué)思想之一。華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！睌?shù)學(xué)中，“數(shù)”和“形”是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，“數(shù)”和“形”之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透。初中教材中，為了直觀，引入直觀示意圖，如加倍：1→2，2→4，3→6，可以直觀地看出函數(shù)概念的整體框架；用坐標(biāo)系下的圖象，如氣溫隨時(shí)間的變化圖，可以直觀地顯示氣溫的整體走向。在高中教材中可以進(jìn)一步突出圖形，并研究它們之間的關(guān)系。

從以上兩方面可以看出：教材為了突破“抽象”，盡可能呈現(xiàn)“不抽象”，通過相關(guān)的“特殊”和“直觀”，逐步實(shí)現(xiàn)“有限度的一般”和“有限度的抽象”，讓抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)可以感知與體驗(yàn)，從而讓認(rèn)知變得簡(jiǎn)單。

2.適量刪除繁難的數(shù)學(xué)計(jì)算，讓數(shù)學(xué)本質(zhì)些。

數(shù)學(xué)計(jì)算的繁雜，常常讓不少學(xué)生厭煩。提到“繁雜”，大家會(huì)不約而同地想到平面解析幾何中的計(jì)算，其實(shí)任何一個(gè)內(nèi)容，都可以很繁雜的。下面就有關(guān)函數(shù)中的字母來試著說明：對(duì)于繁雜的數(shù)學(xué)，其實(shí)可以不復(fù)雜，總能找到一些“簡(jiǎn)”的路徑。

解決函數(shù)問題時(shí)，討論起來有些復(fù)雜。函數(shù)解析式中有常數(shù)，有變量，復(fù)雜的式子甚至有多個(gè)常數(shù)、多個(gè)變量。其實(shí)，數(shù)學(xué)試題的編制是有一定目的的，字母多些，是讓學(xué)生認(rèn)真分析問題，通過探索理解字母的地位，分清其主次，進(jìn)而找到解決方法。因此，對(duì)于復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，有些我們應(yīng)該回避，有些應(yīng)該改編，使數(shù)學(xué)問題的著力點(diǎn)有利于學(xué)生理解。例如字母的含義（是常數(shù)還是變量？）；變量的主次（以便抓住主要矛盾，各個(gè)擊破），即數(shù)學(xué)題應(yīng)該是“數(shù)學(xué)味”濃一點(diǎn)；等等。要對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力有幫助，不應(yīng)該糾纏于復(fù)雜的運(yùn)算和非數(shù)學(xué)本質(zhì)上。

3.創(chuàng)設(shè)合適的臺(tái)階，讓數(shù)學(xué)容易些。

數(shù)學(xué)技巧的高難，也讓大部分學(xué)生有“高不可攀”之感。細(xì)細(xì)剖析，那些高難之處無外乎兩個(gè)方面：一是難在某一個(gè)節(jié)點(diǎn)上，如果突破這一點(diǎn)，問題就不難了；二是難在幾個(gè)小問題的組合上，如果多花一點(diǎn)時(shí)間仔細(xì)分析，問題就可以解決了。

例如，構(gòu)造函數(shù)問題，先要構(gòu)造一個(gè)定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，使其是奇函數(shù)，但不是實(shí)數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)。對(duì)于這一問題，如果學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)，直接就可以構(gòu)造正弦函數(shù)，但是在剛剛學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，學(xué)生還沒有“三角函數(shù)”這一概念，從自己熟悉的基本函數(shù)中難以解決。其實(shí)本題是想讓學(xué)生構(gòu)造一個(gè)“分段函數(shù)”，學(xué)生如果有了這一意識(shí)，就能突破“難點(diǎn)”，很容易地進(jìn)行構(gòu)造：將實(shí)數(shù)集分成三個(gè)區(qū)間，中間的區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在此區(qū)間上構(gòu)成一個(gè)奇函數(shù)且是增函數(shù)，在其余兩個(gè)帶有無窮大端點(diǎn)的區(qū)間上構(gòu)造一個(gè)奇函數(shù)，且此函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間上都是減函數(shù)。面對(duì)這一問題，有的學(xué)生可能沒有想到分段函數(shù)，有的學(xué)生想到了，但是對(duì)同時(shí)滿足兩個(gè)條件的綜合，又難以突破。因此教師提出問題時(shí)，要注意問題提出的火候，可適當(dāng)降低難度。例如，增加帶有提示性質(zhì)的信息，添加條件“構(gòu)造一個(gè)分段函數(shù)”；或者將原問題設(shè)置臺(tái)階，先給出上面文中三個(gè)區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)，再提出這一問題。

二、“簡(jiǎn)”中求“教學(xué)”之道

相比義務(wù)教育階段，由于部分學(xué)生分流，普通高中教學(xué)的要求要高一些，但仍然屬于基礎(chǔ)教育階段，據(jù)此，教學(xué)的主要任務(wù)仍然是“打基礎(chǔ)”。有人問：什么是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)？數(shù)學(xué)教學(xué)基礎(chǔ)從哪里來？我們還得回到《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》上來。應(yīng)該說，雖然有很多不同的聲音，但隨著爭(zhēng)論的深入，大家認(rèn)識(shí)的交集也在擴(kuò)大，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》越來越多地得到大家的理解與認(rèn)同。

上世紀(jì)80年代以來，西方一些國家以“教育質(zhì)量監(jiān)控”的名義，將《課程標(biāo)準(zhǔn)》的編制作為基礎(chǔ)，并通過落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)，在整個(gè)基礎(chǔ)教育領(lǐng)域引發(fā)了一場(chǎng)“基于課程標(biāo)準(zhǔn)的改革”。我國第八次基礎(chǔ)教育改革從本世紀(jì)初開始，也同樣以《課程標(biāo)準(zhǔn)》的出臺(tái)為標(biāo)志，相繼加入到這場(chǎng)教育的系統(tǒng)變革之中。可見“基礎(chǔ)”來自《課程標(biāo)準(zhǔn)》。有了這一認(rèn)識(shí)，相對(duì)于現(xiàn)在的“盲從”，教學(xué)便可以簡(jiǎn)單些了。按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》實(shí)施教學(xué)，必須做到如下三點(diǎn)：教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)應(yīng)建立在“學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)”上，教學(xué)過程應(yīng)突出“數(shù)學(xué)思維能力”的培養(yǎng)，教學(xué)的落腳點(diǎn)應(yīng)關(guān)注“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的提高。

1.找準(zhǔn)教學(xué)出發(fā)點(diǎn)，讓學(xué)生自主地發(fā)展。

教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)應(yīng)建立在學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)上。著名美國認(rèn)知心理學(xué)家奧斯貝爾說過：“如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會(huì)說，影響學(xué)習(xí)的最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，也就是說，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況去進(jìn)行教學(xué)?！薄镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的基本理念的第一條就是：“構(gòu)建共同基礎(chǔ)，提供發(fā)展平臺(tái)?！币虼藢⑵胀ǜ咧袛?shù)學(xué)分“必修”和“選修”兩部分，“必修”是共同基礎(chǔ)，“選修”是為不同學(xué)生提供不同的發(fā)展平臺(tái)。教學(xué)中，我們盡量突出課標(biāo)中的核心部分，以此作為共同基礎(chǔ)，否則，由于現(xiàn)在我國仍然是大班教學(xué)，雖然可以采用自主學(xué)習(xí)，但整班推進(jìn)仍是教學(xué)的主流，只有將核心問題作為教學(xué)共同基礎(chǔ)，教學(xué)才能讓大部分學(xué)生積極參與，形成新的共同基礎(chǔ)，教學(xué)才能更具針對(duì)性，教學(xué)才會(huì)簡(jiǎn)單易行，才會(huì)良性發(fā)展。

2.注重教學(xué)過程，讓思維自然地生成。

教學(xué)過程應(yīng)突出“數(shù)學(xué)思維能力”的培養(yǎng)。雖然教學(xué)有一個(gè)共同指向——讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，為學(xué)生的終身發(fā)展奠基，但作為數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)，首先是做好分內(nèi)事，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已不僅僅是工具，而且是培養(yǎng)“理性思維”能力的重要學(xué)科，這已成為越來越多普通人的認(rèn)識(shí)?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的基本理念的第四條是：“注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力?！备鶕?jù)這一理念，教學(xué)中，注重基礎(chǔ)的同時(shí)，必須關(guān)注數(shù)學(xué)思維能力。實(shí)際教學(xué)中，這一理念沒有得到很好的落實(shí)，究其原因，還是“應(yīng)試教育”太強(qiáng)勢(shì)，教師過分關(guān)注考試，往往注重具體試題的解答，學(xué)生整天在做題、糾錯(cuò)中循環(huán)。由于思維能力的培養(yǎng)需要長(zhǎng)期的積累，而實(shí)際的課堂教學(xué)中被注重不夠。

實(shí)際上，如果正確協(xié)調(diào)好兩者之間的關(guān)系，也能做到兩者同步發(fā)展?，F(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)教學(xué)一切以考試成績(jī)?yōu)橹行?，時(shí)間安排并不合理，文科學(xué)生一年半結(jié)束新課，另外一年半就反復(fù)機(jī)械訓(xùn)練，理科也有一年時(shí)間復(fù)習(xí)。數(shù)學(xué)的理性思維的培養(yǎng)，學(xué)生必須有“悟”的過程，教學(xué)必須“慢下來”，只有經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生和發(fā)展過程，學(xué)生在“慢節(jié)奏”的“火熱的思考”中，理解問題的來龍去脈，形成理性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能感受數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”。在這一過程中，不但需要演繹推理，而且需要合情推理，學(xué)生在推理中，數(shù)學(xué)思維能力也就強(qiáng)了。因此，教學(xué)不應(yīng)該功利性太強(qiáng)，不要行走得太匆忙，應(yīng)該“慢”下來，要讓學(xué)生有思考的時(shí)空，思維才能“活”起來。

3.關(guān)注教學(xué)的落腳點(diǎn)，逐步地提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

教學(xué)的落腳點(diǎn)應(yīng)關(guān)注“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的提高，但這是很多教師都認(rèn)同的“空話”。“數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升”如何度量與評(píng)價(jià)，這是當(dāng)今的數(shù)學(xué)課堂難以把控的。然而“提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，逐漸為大家所關(guān)注，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也特別將其作為重中之重，在總目標(biāo)中明確要求：在學(xué)生接受九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高作為未來公民所必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以滿足個(gè)人發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步需要。那么數(shù)學(xué)素養(yǎng)如何提高呢？

我認(rèn)為，首先應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。學(xué)生通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，數(shù)學(xué)素養(yǎng)就能得到發(fā)展與提升。對(duì)于一般學(xué)生能夠理解的教學(xué)內(nèi)容，教師不包辦，由學(xué)生自己學(xué)習(xí)；對(duì)于學(xué)生不能理解的教學(xué)內(nèi)容，教師提供條件，由學(xué)生通過探究，去了解、理解和掌握；對(duì)于學(xué)生探究過程中出現(xiàn)的難點(diǎn)，必要時(shí)教師適當(dāng)導(dǎo)引，讓學(xué)生“跳一跳”去解決問題，重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷“體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造”的過程，迸發(fā)出數(shù)學(xué)的火花，數(shù)學(xué)素養(yǎng)在不知不覺中就得到提高，這其中的關(guān)鍵是舍得騰出時(shí)空，尊重學(xué)生，相信學(xué)生，學(xué)生在相對(duì)輕松的環(huán)境中，各方面的潛能得到充分的開發(fā)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高就順理成章了。

（作者單位：江蘇省靖江高級(jí)中學(xué)）