可分解帶約束的強部分平衡2-設計的構造

孫信秀

(蘇州市職業(yè)大學 數理部，江蘇 蘇州 215104)

可分解帶約束的強部分平衡2-設計的構造

孫信秀

(蘇州市職業(yè)大學 數理部，江蘇 蘇州 215104)

很多學者已經研究了帶約束的強部分平衡t-設計. 但是關于可分解帶約束的強部分平衡t-設計的結果卻很少.利用分裂弱橫截設計建立可分解帶約束的強部分平衡2-設計的若干構造方法，從而得到兩類新的可分解帶約束的強部分平衡2-設計.

帶約束的強部分平衡t-設計； 可分解帶約束的強部分平衡t-設計； 分裂弱橫截設計

1 可分解帶約束的強部分平衡t-設計

帶約束的強部分平衡t-設計是由Pei Dingyi、Li Yuqiang、Wang Yejing等[1]在研究帶仲裁的認證碼時首先引入的.2012年Liang Miao和Du Beiliang[2]利用帶約束的強部分平衡t-設計給出了t-階完善分裂認證碼的組合刻畫.

定義1.1 設v，b，k，c，λ，t為正整數，t≤k，帶約束的部分平衡t-設計RPBD t-(v，b，k×c；λ，0)是一個二元組(X，B)，其中X是v元集(稱為點集)，B是X的大小為kc的子集的集合(稱為區(qū)組集)，且滿足下列條件:

1)每個區(qū)組B∈B都可以表示成k個長為c的互不相交的子區(qū)組的并，即B=B1∪B2∪…∪Bk；

2)X中任意t元點集{x1，x2，…，xt}或在λ個區(qū)組B=B1∪B2∪…∪Bk中同時出現，且x1∈Bi1，x2∈Bi2，xtBit(i1，i2，…，it兩兩不同)或不在任一區(qū)組中出現.

本文中RPBD t-(v，b，k×c；λ，0)的區(qū)組記作，稱|X|=v為帶約束的部分平衡t-設計的階.

定義1.2 帶約束的部分平衡t-設計RPBD t-(v，b，k×c；λ，0)，如果同時也是帶約束的部分平衡s-設計RPBD s-(v，b，k×c；λs，0)，0

易見，帶約束的強部分平衡t-設計同時也是一個1-設計，λ1=r是包含某一固定點的區(qū)組的個數.

定義1.3 帶約束的強部分平衡t-設計RSPBD t-(v，b，k×c；λ1，λ2，…，λt，0)是可分解的，如果它的區(qū)組集能劃分成若干個類，使得該設計中任一元素在每個類中恰出現1次，記為RRSPBD t-(v，b，k×c；λ1，λ2，…，λt，0).

很多學者已經研究了RSPBD t-(v，b，k×c；λ1，λ2，…，λt，0)s(見文獻[3]-[12]). 本文將研究可分解帶約束的強部分平衡2-設計，建立可分解帶約束的強部分平衡2-設計的兩個構造方法，得到兩類新的可分解帶約束的強部分平衡2-設計.

2 兩個新的構造方法

為了給出這兩個新的構造，需要引入分裂弱橫截設計的概念.

定義2.1 設k，c，m為正整數，分裂橫截設計splitting WTD(k×c，m)是一個三元組(X，G，B)，其中:X是kcm元集(稱為點集)；G是X的大小為m的子集的集合(稱為組集)；B是X的大小為kc的子集的集合(稱為區(qū)組集)，且滿足下列條件:

1)G構成X的一個劃分，且G被分成k個部分，使得每個部分包含c個組，即G=G1∪G2∪…∪Gk；

2)每個區(qū)組B∈B都可以表示成k個長為c的互不相交的子區(qū)組的并，即B=B1∪B2∪…∪Bk，且Bi=B∩Gi，0≤i≤k；

3)B∈B，G∈G，|B∩G|=1；

4)X中任意不在同一部分的點對{x，y}，即x∈Gs，y∈Gt，s≠t，恰存在唯一的一個區(qū)組B=B1∪B2∪…∪Bk使得x∈Bi，y∈Bj，i≠j.

定義2.2 分裂橫截設計splitting WTD(k×c，m)是可分解的，如果它的區(qū)組集能劃分成若干個類，使得該設計中任一元素在每個類中恰出現1次，記為RSWTD(k×c，m).

引理2.3 對任意正整數c和m，存在可分解分裂弱橫截設計 RSWTD(2×c，m)[13].

下面給出第一個構造方法.

定理2.4 假設存在

1)可分解帶約束的強部分平衡2-設計RRSPBD 2-

3)可分解分裂弱橫截設計RSWTD(k×c，v2)，

則存在可分解帶約束的強部分平衡2-設計RRSPBD 2-

證明 設(X，A)和(Y，B)分別為R R S P B D 2-和R R S P B D 2-.記A1，A2，…，Aλ1是A的λ1個平行類. 對任意A={a1，a2，…，ac；b1，b2，…，bc；…；d1，d2，…，dc}={A1，A2，…，Ak}∈A，在A×Y上以{a}×Y，a∈A為組，以Ai×Y，1≤i≤k為部分構造可分解分裂弱橫截設計RSWTD(k×c，v2)，其區(qū)組集記為DA，且DA被劃分成v2個平行類，1≤i≤v2.記.在 {x}×Y上構造RRSPBD 2-({x}×Y，Bx)，記是Bx的個平行類，并記.易見，(X×Y，DA∪BX)是RSPBD 2-

為了給出第二個構造方法，需要引入部分平行類的概念.

定義2.5 如果帶約束的強部分平衡t-設計的區(qū)組集B的子集B'B，是由兩兩不相交的區(qū)組組成，則該子集B'被稱為部分平行類.

定理 2.6 假設

1)(X，A)是可分解帶約束的強部分平衡2-設計RRSPBD 2-

2)(Y，B)是帶約束的強部分平衡2-設計RSPBD 2-且B能被劃分成s個部分平行類B1，B2，…，Bs，s≤λ1+λ1'，

3)可分解分裂弱橫截設計RSWTD(k×c，v2)，

則存在可分解帶約束的強部分平衡2-設計RRSPBD 2-

證明 設A1，A2，…，Aλ1是A的λ1個平行類.對任意A={a1，a2，…，ac；b1，b2，…，bc；…；d1，d2，…，dc}={A1，A2，…，Ak}∈A，在A×Y上以{a}×Y，a∈A為組，以Ai×Y，1≤i≤k為部分構造可分解分裂弱橫截設計RSWTD(k×c，v2)，其區(qū)組集記為DA，且DA被劃分成v2個平行類DAi，1≤i≤v2.記.在 {x}×Y上構造RSPBD 2-({x}×Y，Bx)，并記.易見，(X×Y，DA∪BX)是 RSPBD 2-

3 結論

利用以上兩個構造方法得到兩類區(qū)組大小為2×4可分解帶約束的強部分平衡2-設計.

引理3.1 存在RRSPBD 2-(8，2，2×4；2，2，0).

證明 易見X=Z8，B={{0，1，2，3；4，5，6，7}，{0，1，2，3；4，5，6，7}}是一個RRSPBD 2-(8，2，2×4；2，2，0).

引理3.2 存在RSPBD 2-(12，6，2×4；4，2，0).

證明 易見X=Z12，B={{0，1，2，3；4，5，6，7}，{0，1，2，3；8，9，10，11}，{4，5，6，7；8，9，10，11}，{0，1，2，3；4，5，6，7}，{0，1，2，3；8，9，10，11}，{4，5，6，7；8，9，10，11}} 是一個RSPBD 2-(12，6，2×4；4，2，0).

定理 3.3 對任意正整數n≥2，存在RRSPBD 2-(8n，8n-1(5×2n-2)，2×4；5×2n-2，2，0).

證明 由引理 3.1和引理2.3知，存在RRSPBD 2-(8，2，2×4；2，2，0)和 RSWTD(2×4，8). 應用定理2.4即得所需設計.

定理 3.4 對任意正整數n≥2，存在RRSPBD 2-(12×8n，30×8n(3×2n-1)，2×4；20(3×2n-1)，2，0).

證明 由定理3.3和引理2.3知，存在RRSPBD 2-(8n，8n-1(5×2n-2)，2×4；5×2n-2，2，0)和RSWTD(2×4，12). 由引理3.2知，存在RSPBD 2-(12，6，2×4；4，2，0)，且它的區(qū)組集能被劃分成6個部分平行類. 應用定理2.6即得所需設計.

[1] Pei Dingyi，Li Yuqiang，Wang Yeying，et al. Characterization of authentication codes with arbitration[C]//Lecture Notes in Computer Science. Berlin-Heidelberg-New York:Springer-Verlag，1999，1587:303-313.

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[4] Du Beiliang.Splitting balanced incomplete block designs with block size 3 2[J]. J. Combin. Designs，2004，12(6):404-420.

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[13] Liang Miao. Some constructions of resolvable splitting BIBDs[J]. 蘇州大學學報:自然科學版，2006，22(1):15-18.

(責任編輯:沈鳳英)

Constructions of Resolvable Restricted Strong Partially Balanced 2-Designs

SUN Xin-xiu
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

Many researchers have studied the existence and constructions of restricted strong partially balanced t-designs. But much less is known about resolvable restricted strong partially balanced t-designs. Splitting weak transversal design can establish some constructions of resolvable restricted strong partially balanced 2-designs，and obtain two infnite classes of them.

restricted strong partially balanced t-designs；resolvable restricted strong partially balanced t-designs；splitting weak transversal designs

O157.2

A

1008-5475(2014)04-0007-04

2014-08-05；

2014-08-25

國家自然科學基金資助項目（11301370）；蘇州市職業(yè)大學青年基金資助項目（2010SZDQ11）

孫信秀（1976-），女，江蘇鹽城人，副教授，碩士，主要從事應用數學研究.