雙自由度壓電振動能量采集器的力-電輸出特性分析

展永政， 王光慶

(浙江工商大學(xué)信息與電子工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

引 言

便攜設(shè)備和無線傳感器使用傳統(tǒng)電池供電，這種電池不僅供能壽命有限、需要頻繁更換[1，2]，還引起環(huán)境污染。能量采集器通過從周圍環(huán)境(如風(fēng)能、熱能和振動等)獲取能量，向超低功率的微處理設(shè)備供電。振動能量采集器由于成本低和高功率等特點(diǎn)引起研究者的興趣。目前，振動機(jī)電轉(zhuǎn)換機(jī)制主要通過靜電、電磁和壓電三種機(jī)制來實(shí)現(xiàn)[3～5]，其中，壓電式振動能量采集器(Piezoelectric vibration energy harvester, 簡稱PVEH)轉(zhuǎn)換電能時(shí)不需要額外的功率，還具有易制作，簡易機(jī)電結(jié)構(gòu)和高功率密度等優(yōu)點(diǎn)。因此，壓電振動能量采集器成為微能源研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)。

傳統(tǒng)壓電振動能量采集器由壓電雙晶片或壓電單晶片懸臂梁構(gòu)成，它是單自由度系統(tǒng)(Single-degree-of-freedom，簡稱SDOF)。雖然這種壓電振動能量采集器能夠在諧振狀態(tài)下輸出高功率，但是激發(fā)條件易受環(huán)境影響，難于保證在諧振時(shí)刻輸出高功率。因此，為了提高壓電振動能量采集器的能量轉(zhuǎn)換效率，必須研究寬頻壓電采集技術(shù)，使壓電振動能量采集器在一定的頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生諧振或近似諧振。Liao和Sodano采用了優(yōu)化參數(shù)的方法來建立數(shù)學(xué)理論模型以拓寬頻率，但是忽略了能量采集器內(nèi)部阻抗與最優(yōu)負(fù)載阻抗的關(guān)系，不能準(zhǔn)確地表明輸出功率最大化的本質(zhì)[6]。Challa和Wu等利用調(diào)整頻率的方法對寬頻進(jìn)行了研究[7，8]，但是這種情況只能工作于頻率變化緩慢的情況下，對頻率調(diào)節(jié)器的精度要求更高，且智能型微調(diào)節(jié)器難以實(shí)現(xiàn)。另外，Ma引進(jìn)動態(tài)放大器建立數(shù)學(xué)模型來研究寬頻壓電振動能量采集器，但忽略了能量采集器的機(jī)電耦合效應(yīng)[9]。Aldraihem和Baz利用動態(tài)放大器確定了機(jī)電模型，并研究了動態(tài)放大器對輸出功率的影響，但是忽略了系統(tǒng)阻尼和負(fù)載電阻對系統(tǒng)性能的影響[10]。

本文在原有單自由度壓電振動能量采集器模型基礎(chǔ)上增加一個彈性放大器，形成具有雙自由度 (Two-degrees-of-freedom，簡稱TDOF)的壓電振動能量采集器(簡稱PVEH)，達(dá)到提高能量采集器的輸出功率和拓寬工作頻帶的目的。為了能夠清楚地解析雙自由度壓電能量采集器的各參數(shù)對其輸出性能的影響，指導(dǎo)其輸出性能的精確預(yù)測及優(yōu)化設(shè)計(jì)，本文利用有限元方法，綜合考慮采集器本體結(jié)構(gòu)與負(fù)載電路間、電極與壓電陶瓷間以及采集器本體結(jié)構(gòu)與彈簧間的相互耦合作用，建立了帶有彈簧放大器的雙自由度高效壓電懸臂梁振動能量采集器的有限元機(jī)電模型，并利用ANSYS有限元軟件研究了系統(tǒng)參數(shù)(如質(zhì)量比、阻尼比以及負(fù)載電阻等)對振動特性以及電輸出特性的影響。

1 TDOF壓電振動能量采集器的構(gòu)造及其建模

1.1 TDOF壓電振動能量采集器的構(gòu)造

圖1是TDOF壓電懸臂梁振動能量采集器的結(jié)構(gòu)示意圖。

圖1 TDOF壓電懸臂梁振動能量采集器

整個能量采集器由末端帶有集中質(zhì)量Mt的SDOF壓電雙晶片懸臂梁系統(tǒng)和一個彈簧-質(zhì)量-阻尼構(gòu)成的彈性放大器系統(tǒng)(Elastic amplifier system, 簡稱EAS) 組成。壓電懸臂梁系統(tǒng)由金屬基板、雙壓電晶片、末端集中質(zhì)量Mt和負(fù)載電路組成。雙壓電晶片PZT1，PZT2通過環(huán)氧樹脂黏結(jié)到金屬基板的上、下表面，它們沿厚度方向極化，且極化方向相反(如圖1“↓”、“↑”所示)，并通過串聯(lián)形式連接于外加負(fù)載電阻RL(注：該電阻為能量采集器電輸出端連接的AC-DC電路、濾波電路和電阻R等電路的等效阻抗，負(fù)載電阻RL的改變反映了電輸出端的等效阻抗的變化)。彈性放大器系統(tǒng)是由質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù)分別為Mb，Kb和Cb的彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)組成。壓電雙晶片懸臂梁的左端固定在彈性放大器的質(zhì)量塊Mb上，彈性放大器安裝在基礎(chǔ)上。y為基礎(chǔ)振動位移，i為流經(jīng)負(fù)載電阻RL的電流?；A(chǔ)產(chǎn)生的振動，通過彈性放大器系統(tǒng)放大傳遞到壓電雙晶片懸臂梁系統(tǒng)，使得壓電雙晶片懸臂梁系統(tǒng)的彎曲振動位移被放大，達(dá)到提高系統(tǒng)輸出能力的目的。

1.2 TDOF壓電振動能量采集器的建模

TDOF壓電振動能量采集器的結(jié)構(gòu)模型中壓電晶體與金屬基體滿足本構(gòu)關(guān)系：

Ts=csS，

(1)

式中T為應(yīng)力矢量；S為應(yīng)變矢量；E為電場矢量；D為電位移矢量；cs為金屬基體的剛度矩陣；cE為恒定場下壓電晶體的剛度矩陣；e為壓電常數(shù)矩陣；εS為介電常數(shù)矩陣；下標(biāo)s和p分別代表金屬材料和壓電材料。

利用Hamilton原理和拉格朗日方程推導(dǎo)得到TDOF壓電系統(tǒng)的機(jī)電耦合動力方程[11]

(2)

利用ANSYS有限元軟件建立TDOF壓電振動能量采集器的有限元模型，表1是壓電振動能量采集器的結(jié)構(gòu)參數(shù)，其中壓電陶瓷PZT壓電材料特性參數(shù)如下：

剛度矩陣(×1010N/m2)

介電常數(shù)矩陣

壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣(C/m2)

表1 TDOF壓電振動能量采集器的結(jié)構(gòu)參數(shù)

TDOF壓電振動能量采集器的有限元模型建立步驟如下：

(1) 通過命令流的形式建立壓電振動能量采集器的幾何模型；

(2) 對該幾何模型定義單元類型與材料屬性；

(3) 運(yùn)用在體上生成體單元和體掃描的方法劃分網(wǎng)格，并進(jìn)行機(jī)電耦合處理和約束處理，最終生成有限元模型。

圖2為TDOF壓電振動能量采集器的有限元模型。

圖2 TDOF壓電能量采集器有限元模型

在該模型中，采用8節(jié)點(diǎn)六面體耦合場SOLID5 單元對壓電陶瓷進(jìn)行建模，采用8節(jié)點(diǎn)線性結(jié)構(gòu)SOLID45 單元對金屬基板建模?？紤]到復(fù)合材料黏結(jié)層的影響，即壓電陶瓷和金屬基板并不是理想黏結(jié)，并且黏結(jié)層的厚度很小，僅在幾十微米到幾百微米之間，因此采用SHELL63薄膜單元對黏結(jié)層進(jìn)行建模。質(zhì)點(diǎn)單元MASS21用于TDOF系統(tǒng)的集中質(zhì)量Mb的建模，彈性單元COMBIN14用于TDOF系統(tǒng)彈簧-阻尼元件的建模。采用CIRCU94壓電電路單元對負(fù)載電阻RL單元建模，以便產(chǎn)生電壓、電流和輸出功率。極化方向是由PZT壓電材料特性中壓電常數(shù)矩陣決定的。PZT1和PZT2極化方向的不同主要通過改變PZT陶瓷的壓電常數(shù)d31，d33和d15的符號實(shí)現(xiàn)的，由于PZT1和PZT2是串聯(lián)連接的，因此PZT2的壓電常數(shù)d31，d33和d15與PZT1的壓電常數(shù)d31，d33和d15的符號相反。將圖2所示有限元模型中壓電電極的各個面進(jìn)行節(jié)點(diǎn)耦合，耦合點(diǎn)設(shè)置為電壓自由度；與金屬基板相黏結(jié)的兩個壓電電極耦合成一個參考點(diǎn)，其參考電勢設(shè)為0，即參考地；上層壓電片電極的節(jié)點(diǎn)電壓自由度耦合為通用節(jié)點(diǎn)“1”，下層壓電片電極的節(jié)點(diǎn)電壓自由度耦合為通用節(jié)點(diǎn)“2”，節(jié)點(diǎn)“1”與節(jié)點(diǎn)“2”之間連接負(fù)載電阻RL。

2 數(shù)值仿真分析

Meq=βMρAL+Mt

(3)

(4)

式中 系數(shù)βM和βK可由Rayleigh-Ritz方法推導(dǎo)得到；ρ，E，I，A和L分別為壓電懸臂梁的等效密度、等效彈性模量、等效轉(zhuǎn)動慣量、截面面積和長度。

首先對模型添加約束條件和施加外力載荷，然后再對TDOF壓電振動能量采集器有限元模型進(jìn)行仿真分析。先利用有限元仿真軟件ANSYS對所建立的有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析。通過命令流來設(shè)置電壓差以控制圖2中節(jié)點(diǎn)“1”和節(jié)點(diǎn)“2”之間的電路狀態(tài)，分別進(jìn)行求解，并計(jì)算出相應(yīng)的1階振動模態(tài)和諧振頻率。本文主要關(guān)注的是TDOF壓電振動能量采集器系統(tǒng)1階振型，因此，當(dāng)節(jié)點(diǎn)“1”與節(jié)點(diǎn)“2”之間的電壓差為0時(shí)，即負(fù)載電阻處于短路(RL→0)狀態(tài)，此時(shí)模態(tài)頻率為42.74 Hz，如圖3所示；當(dāng)節(jié)點(diǎn)“1”與節(jié)點(diǎn)“2”之間的電壓差為∞時(shí)，負(fù)載電阻處于開路(RL→∞)狀態(tài)，此時(shí)模態(tài)頻率為44.52 Hz，如圖4所示。

圖3 TDOF壓電振動能量采集器負(fù)載短路振動模態(tài)

圖4 TDOF壓電振動能量采集器負(fù)載開路振動模態(tài)

當(dāng)基礎(chǔ)振動角頻率ω分別與彈性放大器的固有角頻率ωb及懸臂梁固有角頻率ωeq一致時(shí)，可以推導(dǎo)可知剛度比與質(zhì)量比相等，整個TDOF系統(tǒng)達(dá)到諧振狀態(tài)，壓電懸臂梁的振動位移也達(dá)到最大。

圖5為當(dāng)負(fù)載電阻RL=1 kΩ、基礎(chǔ)振動加速度為40 m/s2(注：下文未特別說明，基礎(chǔ)振動加速度均為40 m/s2)時(shí)，不同質(zhì)量比a下的懸臂梁末端速度v和放大器加速度G隨激振頻率f的變化情況。

圖5 不同質(zhì)量比a下的懸臂梁末端速度v與放大器加速度G變化曲線

從圖5(a)中可以看出，不同的質(zhì)量比a下，每條懸臂梁末端振動速度隨頻率的變化曲線都有兩個峰值，峰值點(diǎn)的橫軸位置、縱軸大小以及兩峰值間的間距都受到質(zhì)量比的影響。隨著質(zhì)量比a的增大，峰值點(diǎn)的縱軸大小增大，兩峰值點(diǎn)間的間距變窄，逐漸形成一個寬頻帶窗口，這有利于拓寬壓電采集器的工作頻帶。特別指出，在質(zhì)量比a=1×10-10(即a→0)和剛度比r=1×1010(即r→∞)下，TDOF壓電能量采集器縮減成SDOF懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)，其末端振動速度如圖5(a)中a=1×10-10，r=1×1010曲線所示。另外，在某個質(zhì)量比a下，會使得末端振動速度的谷值等于SDOF系統(tǒng)末端振動速度的最大值。由此說明，SDOF系統(tǒng)加入彈性放大器后，不僅拓寬了整個系統(tǒng)的工作頻帶，還提高了末端振動速度。從圖5(b)可以看出，不同的質(zhì)量比a下，每條放大器相對加速度曲線都有兩個峰值，隨著質(zhì)量比a的增加，左峰點(diǎn)的幅值減小，這表明部分彈性放大器的機(jī)械能轉(zhuǎn)換成了懸臂梁的振動能量；右峰點(diǎn)的幅值隨質(zhì)量比a增大，這表明部分壓電懸臂梁的機(jī)械能轉(zhuǎn)換成了彈性放大器的振動能量；另外，左右峰值間距變窄，逐漸形成一個寬頻帶窗口。特別指出，在質(zhì)量比a=1×10-10(即a→0)和剛度比r=1×1010(即r→∞)下，彈性放大器變成剛性，沒有起到放大作用。由圖5分析可知，合適的質(zhì)量比，不僅可以提高末端振動速度，還可以拓寬頻率工作帶。

圖6為當(dāng)負(fù)載電阻RL=1 kΩ時(shí)不同質(zhì)量比a下的負(fù)載輸出電壓U與負(fù)載輸出功率P隨頻率f的變化情況。圖中為了便于觀察，縱坐標(biāo)采用了對數(shù)形式。

由圖6可知，負(fù)載輸出電壓變化曲線和負(fù)載輸出功率變化曲線的變化趨勢與圖5(a)末端振動速度曲線趨勢相同。在質(zhì)量比a=20時(shí)，負(fù)載電壓和功率輸出曲線的谷值等于SDOF系統(tǒng)的最大值。另外，隨著質(zhì)量比a的增大， 負(fù)載的輸出電壓和功率也隨之增大。

圖6 不同質(zhì)量比a下的輸出電壓U與輸出功率P變化曲線

圖7是當(dāng)質(zhì)量比a=20和負(fù)載電阻RL=1 kΩ時(shí)，不同阻尼比c對TDOF系統(tǒng)輸出功率P的影響仿真曲線。由圖7可知，隨著阻尼比c的增大，TDOF系統(tǒng)的輸出功率左右峰值逐漸減小，當(dāng)彈性放大器的阻尼系數(shù)增大到遠(yuǎn)超于懸臂梁系統(tǒng)的阻尼系數(shù)時(shí)，彈性放大器的放大作用就會失去，TDOF系統(tǒng)輸出功率的左右峰值就會合并為一個峰值。這說明小的阻尼比c能夠使輸出功率有所提高。

圖7 不同阻尼比c下的輸出功率P變化曲線

3 負(fù)載輸出功率優(yōu)化

在SDOF壓電振動能量采集系統(tǒng)中引入彈簧放大器后，使得振動特性和電輸出特性有明顯的改善。對于給定的激勵條件下，負(fù)載電阻與TDOF壓電振動系統(tǒng)的阻抗匹配時(shí)，能夠使TDOF壓電振動系統(tǒng)輸出最大功率。因此，對負(fù)載輸出功率最大化進(jìn)一步仿真分析與研究。

圖8是TDOF壓電振動能量采集器系統(tǒng)輸出功率P隨負(fù)載電阻RL的變化關(guān)系。由圖8可知，當(dāng)系統(tǒng)的負(fù)載電阻RL趨于0時(shí)，即TDOF系統(tǒng)處于短路狀態(tài)，最佳匹配負(fù)載電阻為Rsc=42.3 kΩ，此時(shí)，系統(tǒng)負(fù)載輸出功率最大；當(dāng)系統(tǒng)的負(fù)載電阻RL趨于∞時(shí)，即TDOF系統(tǒng)處于開路狀態(tài)，最佳匹配負(fù)載電阻為Roc=90.8 kΩ，此時(shí)系統(tǒng)負(fù)載輸出功率最大。

圖8 不同電阻下的輸出功率P變化曲線

圖9是當(dāng)質(zhì)量比a=20時(shí)，最佳匹配電阻對TDOF壓電振動系統(tǒng)的電輸出特性(輸出電壓U、輸出電流I和輸出功率P)的影響。從圖9(a)，(b)和(c)中可以看出，TDOF能量采集器在負(fù)載電阻Rsc=42.3 kΩ和負(fù)載電阻Roc=90.8 kΩ下電輸出曲線都有兩個峰值，且每條曲線的谷值都明顯地大于SDOF壓電系統(tǒng)的相應(yīng)電輸出曲線的最大值。從圖9(a)和(b)中得出TDOF壓電系統(tǒng)和SDOF壓電系統(tǒng)的共同點(diǎn)：負(fù)載電阻Rsc=42.3 kΩ時(shí)的輸出電壓小于負(fù)載電阻Roc=90.8 kΩ時(shí)的輸出電壓，但輸出電流恰恰相反。除此之外，還可以知道圖9(a)中最大的峰值電壓出現(xiàn)在負(fù)載電阻Roc=90.8 kΩ時(shí)，而圖9(b)中最大的峰值電流出現(xiàn)在負(fù)載電阻Rsc=42.3 kΩ時(shí)。這說明，TDOF系統(tǒng)處于反諧振狀態(tài)下，能夠輸出較大的工作電壓；處于諧振狀態(tài)下，能夠輸出較大的工作電流。

圖9 不同負(fù)載電阻下電輸出的變化曲線

根據(jù)結(jié)合圖9(c)得到最佳匹配電阻下的TDOF和SDOF的對比表，結(jié)果如表2所示。表2中f代表相應(yīng)匹配電阻下的諧振頻率，P代表相應(yīng)匹配電阻下的輸出功率,fB代表系統(tǒng)的工作頻率帶寬。

表2 最佳匹配電阻下的TDOF和SDOF對比

從表中看出，系統(tǒng)在短路最佳匹配電阻和開路最佳匹配電阻條件下，TDOF系統(tǒng)的左峰值輸出功率約是SDOF系統(tǒng)輸出功率的10倍；TDOF系統(tǒng)左右峰值間的最小輸出功率(即谷值輸出功率)是SDOF系統(tǒng)的2倍。并且TDOF系統(tǒng)的工作頻率帶寬也是SDOF的5倍。

將圖9(c)與Wang等所作的單自由彈性體系壓電懸臂梁能量采集器的研究結(jié)果(如圖10所示)進(jìn)行了比較[13]。雖然兩者壓電晶體的材料特性不一樣，導(dǎo)致兩者短路狀態(tài)和開路狀態(tài)下的諧振頻率不一樣。但是，兩者的電輸出特性和振動特性隨頻率的變化趨勢和輸出功率隨負(fù)載電阻的變化趨勢是相同的，這間接驗(yàn)證了本文有限元模型仿真結(jié)果的有效性。

圖10 文獻(xiàn)[13]模型不同負(fù)載下的輸出功率

4 結(jié) 論

本文通過有限元軟件ANSYS對TDOF壓電振動能量采集器建立有限元模型和研究，利用有限元分析方法研究了系統(tǒng)參數(shù)(如質(zhì)量比、阻尼比以及負(fù)載電阻等)對振動特性以及電輸出特性的影響。綜合所得出的曲線關(guān)系圖，得出以下結(jié)論：

(1) 彈性放大器不僅提高了末端振動速度，還可以拓寬頻率工作帶和提高輸出功率。在基礎(chǔ)振動加速度為40 m/s2條件下，系統(tǒng)短路諧振和開路諧振最大輸出功率分別達(dá)到4 386.5和4 263.4 mW，是SDOF系統(tǒng)輸出功率的10倍。TDOF系統(tǒng)工作頻帶寬度達(dá)到10 Hz，是SDOF系統(tǒng)的5倍。

(2) 大質(zhì)量比a和小阻尼比c可以拓寬工作頻帶和輸出較大的功率。

(3) 反諧振狀態(tài)下的匹配電阻能夠使TDOF系統(tǒng)輸出較大的工作電壓；而諧振狀態(tài)下的匹配電阻能夠使TDOF系統(tǒng)輸出較大的工作電流。

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