選擇期權(quán)的定價(jià)

鄭州升達(dá)經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院 傅 鈺

一、期權(quán)簡介

期權(quán)作為一種金融工具是在遠(yuǎn)期業(yè)務(wù)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。它可以被看作是一種附加了特殊條件的遠(yuǎn)期業(yè)務(wù)。在這種有價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)化金融合約中規(guī)定了合約的買方有權(quán)力（并非義務(wù)）在未來一個(gè)確定的時(shí)間點(diǎn)按照事先約定的價(jià)格（即Basisprice）買入（看漲期權(quán)）或賣出（看跌期權(quán)）一種有價(jià)證券或是一種物品（即合約的標(biāo)的物）。

期權(quán)按照一般的劃分方法有兩種不同的類型：歐式期權(quán)和美式期權(quán)。在歐式期權(quán)中，合約的買方只能在合約規(guī)定的時(shí)間點(diǎn)行使其權(quán)利。而在美式期權(quán)中買方可以在約定的時(shí)間段內(nèi)的任何時(shí)刻行使這種權(quán)利。這兩種不同的類型是期權(quán)的基本形式，人們標(biāo)之為

標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)。隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，從標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)中衍生出無數(shù)的其他類型的期權(quán)，比如：柵欄期權(quán)（Barrier-Optionen），百慕達(dá)期權(quán)（Bermuda Optionen），亞洲期權(quán)（Asiatische Optionen），回看期權(quán)（Lookback Optionen），選擇期權(quán)（Chooser Optionen）等。這些非標(biāo)準(zhǔn)的期權(quán)被人們統(tǒng)稱為外來期權(quán)（或奇異期權(quán)）。這些期權(quán)實(shí)際上是包含了標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)的特點(diǎn)，同時(shí)附加了特別客戶的特定要求的特殊的金融合約。

選擇期權(quán)（Choose Option）是外來期權(quán)的一種。大約在1990年7月出現(xiàn)在倫敦，它是一種特殊的場外交易品種。選擇期權(quán)也被稱為“pay-now-choose-later-Option”。它是由一個(gè)歐式看漲期權(quán)和一個(gè)歐式看跌期權(quán)共同組成的（即所謂的“券中券”）。在這種期權(quán)中，合約的買方在簽訂合約后，同時(shí)擁有歐式買入和賣出兩種期權(quán)。然后，在合約規(guī)定的時(shí)間點(diǎn)，他有權(quán)根據(jù)標(biāo)的物價(jià)格的近期波動(dòng)做出決定，選擇一種期權(quán)類型（看漲期權(quán)或是看跌期權(quán)）以備日后執(zhí)行。在合約最后的執(zhí)行日期，買方有權(quán)決定他之前選擇的期權(quán)最終要不要行權(quán)。通過購買這種合同，投資者等于對(duì)劇烈的價(jià)格波動(dòng)做了兩個(gè)方向的保險(xiǎn)，比單純購買一份看漲或看跌期權(quán)更靈活，更安全，并且又比“l(fā)ong Straddle”（即同時(shí)購買看漲看碟兩份期權(quán)，也即多頭跨式期權(quán)）降低了成本。選擇期權(quán)有兩種類型：“簡單型”和“復(fù)雜型”。在“簡單型”選擇期權(quán)包含的的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的標(biāo)的物的執(zhí)行價(jià)格（即Basisprice）、執(zhí)行日期是相同的。在“復(fù)雜型”中包含的兩個(gè)期權(quán)（看漲期權(quán)和看跌期權(quán)）有著不同的執(zhí)行價(jià)格或執(zhí)行時(shí)間，或這兩者都不相同。

為了使分析更容易理解，本文首先推演常見的“簡單型”選擇期權(quán)（其標(biāo)的物為有價(jià)證券，比如一支股票）。然后，用同樣的方法，進(jìn)一步研究“復(fù)雜型”的選擇期權(quán)。本文中提到的選擇期權(quán)合約中的時(shí)點(diǎn)反映在下面的時(shí)間軸上（見圖1）：

圖1

在這個(gè)時(shí)間軸上，t0是期權(quán)合約簽訂的時(shí)點(diǎn)。在時(shí)點(diǎn)t1，期權(quán)合約的買方根據(jù)標(biāo)的物的價(jià)格走勢對(duì)選擇哪種期權(quán)做出決定。在T時(shí)點(diǎn)期權(quán)合約到期，買方?jīng)Q定最終要不要執(zhí)行手中持有的期權(quán)合約。

二、“簡單型”選擇期權(quán)的定價(jià)

提到期權(quán)的定價(jià)，一定會(huì)涉及到Black-Scholes模型。這是一個(gè)被廣泛接受和認(rèn)可的典型的期權(quán)定價(jià)模型。它是由費(fèi)雪布萊克（Fisher Black）和米榮綬勒斯（Myron Scholes）在1973年共同發(fā)表的。這個(gè)模型給出的定價(jià)理論無論是對(duì)金融市場或是金融市場的參與者都產(chǎn)生了很大的影響。該模型建立在一些限定的假設(shè)上，比如假設(shè)作為期權(quán)合約標(biāo)的物的價(jià)格是呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布的，金融市場中的利率是非隨機(jī)變化的。同時(shí)模型中不考慮稅收、交易和其他的費(fèi)用。模型假設(shè)市場在任何時(shí)點(diǎn)都是開放的，任何時(shí)候任何金額和單位的交易都可以執(zhí)行，并且對(duì)當(dāng)時(shí)的交易價(jià)格不產(chǎn)生影響。

在建立一個(gè)金融市場模型之前，首先需要定義一些概念和符號(hào)Sandmann.（2001）：

（Ω，F(xiàn)，P*）是本文研究的樣本空間，其中Ω表示所有隨機(jī)事件的集合。{Ft}t∈[t0，T]是由 n維布朗運(yùn)動(dòng)（Brownian Motion）產(chǎn)生的Filtration，F(xiàn)t包含了截止到t時(shí)點(diǎn)的所有關(guān)于價(jià)格波動(dòng)過程的信息。P*表示等價(jià)于原始客觀概率Martingal單位的同價(jià)衍生的Martingal單位，在概率P*下的所有價(jià)格波動(dòng)過程中都不能進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)的套利活動(dòng)。

{W*（t）}t∈[t0，T]表示了在同價(jià)衍生 Martingal單位下的 n維布朗運(yùn)動(dòng)的路徑。W*（t）的每一時(shí)段的增量 W*（t1）-W*（t0），W*（t2）-W*（t1），…，W*（tn）-W*（tn-1）之間呈隨機(jī)不相關(guān)的分布。并且對(duì)于任意一個(gè)時(shí)間段 u-t＞0來說，W*（t）的增量 W*（u）-W*（t）呈正態(tài)分布。

即：W*（u）-W*（t）～N（0，（u-t））

{S（t）}t∈[t0，T]是作為標(biāo)的物的有價(jià)證券（股票）的隨機(jī)價(jià)格波動(dòng)過程。它與同時(shí)點(diǎn)的Filtration{Ft}t∈[t0，T]相對(duì)映，并且是下面隨機(jī)微分方程的解：

dS（t）=μ·S（t）·dt+σS·S（t）dW*（t）

其中，μ表示價(jià)格隨機(jī)變化的趨勢（即價(jià)格的期望值）；σS表示這個(gè)有價(jià)證券價(jià)格的不穩(wěn)定程度（即價(jià)格的波動(dòng)率）。

在同價(jià)衍生Martingal單位P*下，這支股票的瞬時(shí)價(jià)格為：

其中，μ=r；r是以對(duì)數(shù)形式表示的無風(fēng)險(xiǎn)利率（conform interest），即是無風(fēng)險(xiǎn)的年利率。

在Black-Scholes模型中，看漲和看跌期權(quán)的無套利價(jià)格（Arbitrageprice）分別是：

Call[S（t），K，t，T]=S（t）·e-di(T-t)·N（d1）-K·e-r(T-t)·N（d2）

Put[S（t），K，t，T]=K·e-r(T-t)·N（-d2）-S（t）·e-di(T-t)·N（-d1）

在利率非隨機(jī)變化的假設(shè)下，一個(gè)標(biāo)的物為一支股票S（t），到期日為T，執(zhí)行價(jià)格（即Basisprice）為K的簡單型選擇期權(quán)在t1時(shí)的無套利價(jià)格（即Arbitrageprice）為：

其中：Call[S（t1），K，t1，T]是 t1點(diǎn)時(shí)看漲期權(quán)的無套利價(jià)格；Put[S（t1），K，t1，T]是 t1點(diǎn)時(shí)看跌期權(quán)的無套利價(jià)格

為了在T時(shí)點(diǎn)得到較大的預(yù)期收益，期權(quán)合約的購買者會(huì)在t1點(diǎn)比較看漲和看跌期權(quán)在這一時(shí)點(diǎn)對(duì)T點(diǎn)的預(yù)期收益，即他們會(huì)比較t1點(diǎn)時(shí)看漲和看跌期權(quán)的無套利價(jià)格，然后選擇那個(gè)有較大值的期權(quán)繼續(xù)持有。因此可以對(duì)上述簡單型選擇期在t1時(shí)的無套利價(jià)格進(jìn)行改寫：

在“簡單型”選擇期權(quán)合約中，看漲和看跌期權(quán)有同樣的標(biāo)的物，同樣的執(zhí)行價(jià)格，同樣的執(zhí)行日期。所以可以用HansR.Stoll的“Put-Call Parity”（即看漲看跌期權(quán)等價(jià)關(guān)系）來表示它們之間的這種關(guān)系。1969年，Hans R.Stoll定義了看漲和看跌期權(quán)無套利價(jià)格之間的等價(jià)關(guān)系：

Put[S（t1），K，t1，T]=Call[S（t），K，t，T]-S（t）·e-di(T-t)+K·e-r(T-t)

現(xiàn)在，這中等價(jià)關(guān)系是在時(shí)點(diǎn)t1，因此有：

Put[S（t1），K，t1，T]=Call[S（t1），K，t1，T]-S（t1）·e-di(T-t1)+K·e-r(T-t1)

所以上述選擇期權(quán)在t1時(shí)的無套利價(jià)格就可以改寫成：

A（t1）=Call[S（t1），K，t1，T]+max{K·e-r(T-t1)-S（t1）·e-di(T-t1)，0；t1}

其中：max{K·e-r(T-t1)-S（t1）·e-di(T-t1)，0；t1}可以看作是一個(gè)標(biāo)的物為 S（t1）·e-di(T-t1)，執(zhí)行價(jià)格為 K·e-r(T-t1)，執(zhí)行日期為 t1的新的看跌期權(quán)在 t1時(shí)點(diǎn)的無套利價(jià)格，即 max{K·e-r(T-t1)-S（t1）·e-di(T-t1)，0；t1}=Putneu[S（t1）·e-di(T-t1)，K·e-r(T-t1)，t1，t1]

則上述選擇期權(quán)在t1時(shí)的無套利價(jià)格可以進(jìn)一步寫成：

A（t1）=Cal[S（t1），K，t1，T]+Putneu[S（t1）·e-di(T-t1)，K·e-r(T-t1)，t1，t1]

那么在t0時(shí)這個(gè)簡單選擇期權(quán)的無套利價(jià)格為：

A（t0）=Cal[S（t0），K，t0，T]+Putneu[S（t0）·e-di(T-t1)，K·e-r(T-t1)，t0，t1]

所以一個(gè)簡單型的選擇期權(quán)在t0時(shí)的無套利價(jià)格（Arbitrageprice）可以看作其包含的看漲期權(quán)和一個(gè)新的看跌期權(quán)的無套利價(jià)格和。這個(gè)新的看跌期權(quán)具有一個(gè)和原來看跌期權(quán)不同的股票（在t0時(shí)股票價(jià)格為S（t0）·e-di(T-t1)），不同的執(zhí)行價(jià)格（在t0時(shí)執(zhí)行價(jià)格為K·e-r(T-t1)）和不同的執(zhí)行期間（t0點(diǎn)簽訂合約，t1點(diǎn)執(zhí)行）。

在Black-Scholes模型中，t0時(shí)這個(gè)簡單選擇期權(quán)的無套利價(jià)格為：

三、“復(fù)雜型”選擇期權(quán)的定價(jià)

在“復(fù)雜型”選擇期權(quán)中，看漲和看跌期權(quán)有著不同的執(zhí)行價(jià)格（即Basisprice）或者不同的執(zhí)行時(shí)間，或者兩者都不一致。本文研究兩者都不一致的情況。

利率非隨機(jī)變化的條件下，一個(gè)復(fù)雜型選擇期權(quán)的在t0時(shí)的無套利價(jià)格為：

ACOM（t0）=max{Call[S（t0），KC，t0，TC]，Put[S（t0），KP，t0，TP]；t1}

這里KC和KP分別表示看漲期權(quán)（C）和看跌期權(quán)（P）的執(zhí)行價(jià)格，TC和TP分別表示它們的執(zhí)行時(shí)間。

Rubinstein在他的題為“Option for the Undecided”（1991）的論文中曾經(jīng)證明，利率非隨機(jī)變化的條件下復(fù)雜型選擇期權(quán)的無套利價(jià)格可以通過二元正態(tài)分布計(jì)算出來：

m1/2中的參數(shù)“I”是下面方程的解：

N（a，b，ρ）表示一個(gè)二元正態(tài)分布的概率，它表示兩個(gè)隨機(jī)變量共同的分布情況。其中每一個(gè)隨機(jī)變量自身都是呈正態(tài)分布的。

對(duì)于包含兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y的二元正態(tài)分布（X，Y）～N（μ，∑）：

它們共同的密度函數(shù)為：

本文只研究標(biāo)準(zhǔn)二元正態(tài)分布的情況，即兩個(gè)隨機(jī)函數(shù)的期待值和方差分別為：E[zX]=0，Var[zX]=1，E[zY]=0，Var[zY]=1。

四、結(jié)論

重要參數(shù)“I”的值可以通過“Newton-Raphson”的方法計(jì)算出來。利用Mathematica5.0軟件這個(gè)值可以很容易算出。并且對(duì)于任

本文研究了期權(quán)場外交易的重要品種——選擇期權(quán)的定價(jià)問題，分別就“簡單型”和“復(fù)雜型”選擇期權(quán)的定價(jià)展開討論。文章推演了“簡單型”選擇期權(quán)的定價(jià)，即通過Black-Scholes模型和Hans R.Stoll的“Put-Call Parity”來解決。針對(duì)“復(fù)雜型”選擇期權(quán)的定價(jià)，本文選擇了Rubinstein和“Newton-Raphson”的方法來計(jì)算。該模型對(duì)于我國銀行和投資者個(gè)人都具有一定的適用價(jià)值。

［1］ Black,F.und Scholes,M.(1973):The Pricing of Options and Corporate Liabilities,Journal of Political Economy 81,S.637-654.