Hom-Leibniz代數(shù)的導(dǎo)子

張永平，魯亞男，王欣彥

(沈陽(yáng)化工大學(xué) 數(shù)理系， 遼寧 沈陽(yáng) 110142)

李代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的基本研究對(duì)象.Hom-代數(shù)是代數(shù)形變理論中的一類(lèi).最早，Hom-代數(shù)理論是19世紀(jì)Hartwing、Larsson和Silvestrov[1]在研究Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)的一種量子形變時(shí)而引進(jìn)的.Hom-Lie代數(shù)相對(duì)于李代數(shù)多了一個(gè)雙線性同態(tài)映射α，且滿足Hom-Jacobi等式.當(dāng)α=id時(shí)，Hom-Lie代數(shù)即為李代數(shù).因此，Hom-Lie代數(shù)包含了李代數(shù).Hom-Leibniz代數(shù)是Hom-Lie代數(shù)的定義中少了一個(gè)條件：不滿足反對(duì)稱(chēng)性.這說(shuō)明Hom-Leibniz代數(shù)是比Hom-Lie代數(shù)更廣的一類(lèi)代數(shù)[2].

Hom-萊布尼茲代數(shù)是萊布尼茲代數(shù)的自然推廣，是代數(shù)的一種重要變形.它與數(shù)學(xué)的許多分支有重要聯(lián)系，特別是對(duì)非交換幾何的研究有重要的作用.近年來(lái)，Hom-代數(shù)的研究比較多.Hom-代數(shù)有Hom-Lie代數(shù)、Hom-Lie超代數(shù)、Hom-Leibniz代數(shù)、Hom-Lie color代數(shù)等.Hom-Leibniz代數(shù)的同調(diào)和泛中心擴(kuò)張、Hom-Leibniz代數(shù)的性質(zhì)在文獻(xiàn)[3-4]中已有研究，本文證明了hom-Leibniz代數(shù)導(dǎo)子的一些性質(zhì).

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[5]Leibniz代數(shù)L是一個(gè)向量空間，其上定義了一個(gè)括積運(yùn)算[,]:L×L→L，滿足等式:[x,[y,z]]=[[x,y],z]+[y,[x,z]]?x,y,z∈L.

定義2[5]Hom-代數(shù)是一個(gè)三元組(g,[,],α)，g是一個(gè)k向量空間，“[,]”是g上的一個(gè)二元運(yùn)算，α是一個(gè)線性映射，α∶g→g，滿足

α[x,y]=[α(x),α(y)] ?x,y∈g

(1)

定義3[5]一個(gè)左Hom-Leibniz代數(shù)是一個(gè)Hom-代數(shù)(g,[,],α)滿足如下等式

[α(x),[y,z]]=

[[x,y],α(z)]+[a(y),[x,z]]

(2)

以下將左Hom-Leibniz代數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)為Hom-Leibniz代數(shù).

例1設(shè)(L,[,])是一個(gè)李代數(shù)，α=idL是L的恒同映射，則(L,[,]α,α)是Hom-Leibniz代數(shù).

例2[5]設(shè)(L,[,])是一個(gè)Leibniz代數(shù)，α∶L→L是L的自同態(tài)，

α([x,y])=[α(x),α(y)]，?x,y∈L.令[,]α=α([x,y])，則(L,[,]α,α)是Hom-Leibniz代數(shù).

(g,[,],α)是一個(gè)Hom萊布尼茲代數(shù)，用αk表示α的k次復(fù)合，即

αk=α°α°…°α(k次)

特別的，α-1=0，α0=Id，α1=α

定義4對(duì)于任意k≥-1，稱(chēng)D∈gl(g)為Hom萊布尼茲代數(shù)(g,[,],α)的一個(gè)αk-導(dǎo)子，如果滿足

[D,α]=0 i.e.D°α=α°D

(3)

D[u,v]=[D(u),αk(v)]+

[αk(u),D(v)] ?u,v∈g

(4)

用Derαk(g)表示Hom萊布尼茲代數(shù)(g,[,],α)的一個(gè)αk-導(dǎo)子的集合.

2 主要結(jié)果

命題1對(duì)于任意一個(gè)u∈g，且滿足條件α(u)=u，定義adk(u)∈gl(g)

adk(u)(v)=[u,αk(v)] ?v∈g

則adk(u)是一個(gè)αk+1-導(dǎo)子.

證明:

adk(u)(α(v))=[u,αk+1(v)]=

α([u,αk(v)])=α°adk(u)(v)

這說(shuō)明滿足(3)式.又

adk(u)([v,ω])=[u,αk[v,ω]]=

[u,[αk(v),αk(ω)]]=

[[u,αk(v)],αk+1(ω)]+

[αk+1(v),[u,αk(ω)]]=

[adk(u)(v),αk+1(ω)]+

[αk+1(v),adk(u)(ω)]

滿足(4)式，則adk(u)是一個(gè)αk+1-導(dǎo)子.

稱(chēng)adk(u)是一個(gè)內(nèi)αk+1-導(dǎo)子.

用Innαk(g)表示內(nèi)αk-導(dǎo)子的集合，即

Innαk(g)=

{[u,αk-1(·)]|u∈g,α(u)=u}

對(duì)于任意D∈Derαk(g)和D′∈DerDs(g)，定義它們的換位子[D,D′]如下：

[D,D′]=D°D′-D′°D

(5)

命題2對(duì)于任意D∈Derαk(g)和D′∈DerDs(g)，且k+s≥-1，則有

[D,D′]∈DerDk+s(g)

證明：對(duì)于任意u,v∈g，有

[D,D′]([u,v])=D°D′([u,v])-

D′°D([u,v])=

D°([D′(u),αs(v)]+

[αs(u),D′(v)])-

D′([D(u),αk(v)]+[αk(u),D(v)])=

[D°D′(u),αk+s(v)]+

[αk°D′(u),D(αs(v))]+

[D°αs(u),αk°D′(v)]+

[αk+s(u),D°D′(v)]-

[D′°D(u),αk+s(v)]-

[αs°D(u),D′°αk(v)]-

[D′°αk(u),αs°D(v)]-

[αk+s(u),D′°D(v)]

因?yàn)镈°α=α°D,D′°α=α°D′

所以αk°D′=D′°αk,D°αs=αs°D

因此得到

[D,D′]([u,v])=

[αk+s(u),[D,D′](v)]+

[[D,D′](u),αk+s(v)]

又有

[D°D′]°α=D°D′°α-D′°D°α=

α°D°D′-α°D′°D=α°[D,D′]

得證[D,D′]∈DerDk+s(g).

注記，若D∈Derα-1(g)，則

D[u,v]=[D(u),0]+[0,D(v)]=0

i.e.D([u,v])=0

記Derα-1(g)={D∈gl(v)|D°α=

α°D,D([u,v])=0,?u,v∈g}

下面，給出Hom-萊布尼茲代數(shù)(g,[,],α)的導(dǎo)子擴(kuò)張代數(shù)Der(g)⊕g，對(duì)于任意D1,D2,D∈Der(g)，v1,v2,v∈g,在Der(g)⊕g上面定義一個(gè)雙線性型括積運(yùn)算[,]D和線性映射αD:

[(D1,v1),(D2,v2)]D=([D1,D2],[v1,v2])

αD(D,v)=(D,α(v))

命題3(Der(g)⊕g,[,]D,αD)是一個(gè)Hom-萊布尼茲代數(shù).

證明:對(duì)于任意D1,D2,D3∈Der(g)，

v1,v2,v3∈g有

αD[(D1,v1),(D2,v2)]D=

αD([D1,D2],[v1,v2])=

([D1,D2],α[v1,v2])=

([D1,D2],[α(v1),α(v2)])

又

[αD(D1,v1),αD(D2,v2)]=

[(D1,α(v1)),(D2,α(v2))]=

([D1,D2],[α(v1),α(v2)])

因此αD是同態(tài)，(1)式成立.

另一方面，

[αD(D1,v1),[(D2，v2),(D3,v3)]D]D=

[(D1,α(v1)),([D2,D3],[v2,v3])]D=

([D1,[D2,D3]],[α(v1),[v2,v3]])

又因?yàn)镈er(g)和g分別是李代數(shù)和Hom-Leibniz代數(shù)，所以

[[(D1,v1),(D2,v2)]D,αD(D3,v3)]D+

[αD(D2,v2),[(D1,v1),(D3,v3)]D]D=

[([D1,D2],[v1,v2]),(D3,α(v3))]D+

[(D2,α(v2)),([D1,D3],[v1,v3])]D=

([[D1,D2],D3],[[v1,v2],α(v3)])+

([D2,[D1,D3]],[α(v2),[v1,v3]])=

([D1,[D2,D3]],[α(v1),[v2,v3]])

這說(shuō)明(2)式成立.

綜上，結(jié)論成立.

對(duì)于命題3，Hom-Leibniz代數(shù)導(dǎo)子擴(kuò)張代數(shù)的括積及線性運(yùn)算是將李代數(shù)導(dǎo)子擴(kuò)張代數(shù)的定義[6]進(jìn)行簡(jiǎn)化，從而得到結(jié)論.如果按照李代數(shù)導(dǎo)子擴(kuò)張代數(shù)的定義，那么Hom-Leibniz代數(shù)導(dǎo)子擴(kuò)張代數(shù)則不是Hom-Leibniz代數(shù).

參考文獻(xiàn)：

[1] Hartwig J T，Larsson D，Sliverstrov S D.Deformation of Lie Algebras Using α-derivations[J].J Algebra，2005，295(2):314-361.

[2] Makhlouf A，Silvestrov S D.Hom-algebra Structure[J].J.Gen.Lie Theory Appl，2008，2(2):51-64.

[3] Cheng Yongsheng，Su Yu cai.(Co)Homology and Universal Central Extension of Hom-Leibniz Algebras[J].Acta Mathematica Sinica，English Series，2011，27(5):813-830.

[4] Nourou ISSA A.Some Characterizations of Hom-leibniz Algebras[J/OL].(2010-11-08)[2013-09-01].http://arxiv.org/abs/1011.1731.

[5] 徐麗媛，王春月，張若蘭，等.低維Hom-Leibniz代數(shù)分類(lèi)[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2013，51(1):74-82.

[6] 孟道驥.復(fù)半單李代數(shù)引論[M].北京:北京大學(xué)出版社，1998:26-28.