一類分?jǐn)?shù)階差分方程正解的存在性

祝相宇， 孫明哲

( 延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 吉林 延吉 133002 )

近年來，差分方程被廣泛應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)等研究領(lǐng)域中，并逐步成為了一個獨立的理論體系.目前為止，關(guān)于有限分?jǐn)?shù)階差分問題的研究成果還較少.其中： Miller和Ross[1]將線性有序的υ階分?jǐn)?shù)階微分方程作為一般的整數(shù)階線性有序分?jǐn)?shù)階微分方程的模型來考慮問題，并取得了一些有意義的成果.文獻(xiàn)[2]采用一種改進(jìn)的方法來求解了該類問題；文獻(xiàn)[3]研究了上述問題的一種適定的初始值問題，并給出了多種解決算法.本文在借鑒前人研究方法的基礎(chǔ)上，對一類有限分?jǐn)?shù)階非線性差分方程邊值問題正解的存在性進(jìn)行研究，獲得了該類問題存在正解的充分性條件.

本文中考慮的有限分?jǐn)?shù)階差分方程邊值問題為：

-Δυy(t)=f(t+υ-1,y(t+υ-1)),t=1,2,3,…,b+1；

(1)

y(υ-3)=0,y(υ+b+1)=0,y(υ-2)=g(y).

(2)

其中 2<υ≤3,b是整數(shù)且滿足b≥2，f∶[υ-1,υ+b]Nυ-1×R→R是連續(xù)函數(shù).記

Η={(y(υ-3),y(υ-2),…,y(υ+b+1))Τ|y(υ+i-3)∈R,i=0,1,2,…,b+4}.

g∶Η→R是給定的映射.

為方便，本文記Na={a,a+1,a+2,…}, [a,b]Na={a,a+1,a+2,…,b}, 其中b-a∈N1.

1 預(yù)備知識

定義1[4]對于υ>0， 定義函數(shù)f的υ階分?jǐn)?shù)和為

定義2[4]對于N∈N, 0≤N-1<υ≤N, 定義函數(shù)f的υ階分?jǐn)?shù)差分為

Δυf(t)=ΔNΔυ-Nf(t),t∈Na+N-υ.

引理1[4]對于?t,υ∈R， 如果t(υ),t(υ-1)都有定義，那么Δt(υ)=υt(υ-1).

引理2[5]設(shè)f是定義在Na上的實函數(shù)，令μ,υ>0， 則有

Δ-υ(Δ-μf(t))=Δ-(υ+μ)f(t)=Δ-μ(Δ-υf(t)),t∈Na+μ+υ.

引理4[5]對于任意的實數(shù)υ和任意的正整數(shù)P， 有

引理5[4]令0≤N-1<υ≤N,ci∈R,i=1,2,3,…,N， 方程Δυy(t)=0有N個線性無關(guān)的解，其解可以表示為y(t)=c1t(υ-1)+c2t(υ-2)+…+cNt(υ-N)， 且有Δ-υΔυy(t)=y(t)+c1t(υ-1)+c2t(υ-2)+…+cNt(υ-N).

(i) ‖Ax‖≤‖x‖,?x∈P∩?Ω1； ‖Ax‖≥‖x‖，?x∈P∩?Ω2.

(ii) ‖Ax‖≥‖x‖,?x∈P∩?Ω1； ‖Ax‖≤‖x‖，?x∈P∩?Ω2.

引理7[5]設(shè)υ是任意正實數(shù)，a和b是兩個實數(shù)且有x

(ii) (a-x)(υ)/(b-x)(υ)是關(guān)于x的遞減函數(shù)，其中x∈[0,a-υ)N.

2 Green函數(shù)及其性質(zhì)

構(gòu)造帶有邊值條件(2)的分?jǐn)?shù)階差分方程

-Δυy(t)=h(t+υ-1),t=1,2,3,…,b+1, 2<υ≤3

(3)

的Green函數(shù)，其中h∶[υ-1,υ+b+1]Nυ-1→R是連續(xù)的.

定理1設(shè)2<υ≤3，g∶Rb+5→R， 則分?jǐn)?shù)階差分方程(3)及(2)式有唯一解:

(4)

定理2Green函數(shù)G(t,s)具有以下性質(zhì)：

(i)G(t,s)>0, (t,s)∈[υ-1,υ+b+1]Nυ-1×[0,b+1]N0；

(ii) maxt∈[υ-1,υ+b+1]Nυ-1G(t,s)=G(s+υ-1,s)， 其中s∈[0,b+1]N0；

(iii) 存在γ∈(0,1)， 使得

即G(t,s)>0.因此，結(jié)論(i)成立.

(iii)易知

3 正解的存在性

由定理1知，求分?jǐn)?shù)階差分方程(1)和(2)的解等價于在(2)式條件下求解求和方程

(5)

的解,其中t∈[υ-1,υ+b+1]Nυ-1.

定義Banach空間

B={y∶[υ-3,υ+b+1]Nυ-3→R|y(υ-3)=y(υ+b+1)=0,y(υ-2)=g(y)},

(6)

并賦范數(shù)為‖y‖=max|y(t)|，t∈[υ-3,υ+b+1]Nυ-3.

引理8若g(y)≥0， 則存在常數(shù)γ′∈(0,1)使得

引理9假設(shè)條件①成立，那么對于?y∈p有Ay∈P0； 特別的，算子A是錐P0到P0上的映射.

定理3(i)假設(shè)條件①和②成立，那么分?jǐn)?shù)階差分方程(1)和方程(2)至少有一個非零解y∈P0； (ii) 假設(shè)條件①和③成立，那么分?jǐn)?shù)階差分方程(1)和方程(2)至少有一個非零解y∈P0.

(7)

對于Ω4的構(gòu)造，按以下兩種情況來考慮:

MKH(b+2)

(8)

(9)

設(shè)Ω4={y∈B∶‖y‖

參考文獻(xiàn)：

[1] Miller K S, Ross B. Fractional difference calculus[C]//Procedings of the internations symposium on univalent functions. Koriyama: Fractional Calculus and Their Applications Nihon University, 1988:139-152.

[2] Atici F M, Eloe P W. A transform method in discrete fractional calculus[J]. Int J Difference Equ, 2007,2(2):165-176.

[3] Atici F M, Eloe P W. Initial value problems in discrete fractional calculus[J]. Proc Amer Math Soc, 2009,137:981-989.

[4] Goodrich C S. Existence and uniqueness of solutions to a fractional difference equation with nonlocal conditions[J] . J Comput Math Appl, 2011,61(21)：191-202.

[5] Atici F M， Eloe P W. Two-point boundary value problems for finite fractional difference equations[J]. J Difference Equ Appl, 2011,17(4)：445-456.

[6] Zhao Yige, Sun Shurong，Han Zhenlai. The existence of multiple positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations[J]. J Commun Nonlinear Sci Number Simulat, 2011(16):2086-2097.

[7] 時寶，張德存，蓋久明.微分方程理論及其應(yīng)用[M].北京：國防工業(yè)出版社，2005:13.

[8] 程金發(fā).分?jǐn)?shù)階差分方程理論[M].廈門:廈門大學(xué)出版社，2010.

[9] Chen F Q. Extreme solutions of initial value problems for nonlinear second order integrodifferential equations in Banach spaces[J]. Acta Math Appl Sinica, 2001,17:289-298.