一類分數階泛函差分邊值問題解的存在性

吳雙， 慎闖， 侯成敏

( 延邊大學理學院 數學系， 吉林 延吉 133002 )

差分方程廣泛應用于各領域，如計算機科學、動力系統、機械系統及經濟系統等.近年來，由于分數階差分方程模型的不斷出現以及對微分方程近似計算的需要,分數階差分方程逐漸成為學者們關注的研究課題，其基礎理論也得到了進一步的發(fā)展.例如：文獻[1-2]分別研究了離散型分數階微積分初值問題和有限分數階差分方程的兩點邊值問題； C.S.Goodrich[3]研究了帶有非局部條件的離散型分數階邊值問題解的存在性和唯一性；文獻[4-5]分別對正定非線性項的差分邊值問題進行了研究，得到了正定差分邊值問題正解的存在性；文獻[6-7]分別對非線性項具有混合單調性的差分方程正解的存在性進行了研究.Miller 和Ross[9]最先對有限分數階差分問題進行了研究，但目前為止，相關結果并不多.最近，文獻[10]的作者進一步研究了有限分數階差分問題，并提供了一種改進的方法.本文將對一類分數階泛函差分方程邊值問題(1)—(3)的解的存在性進行研究.

本文考慮如下的離散分數階方程邊值問題：

Δνx(t)=f(t+ν-1，xt+ν-2,Δx(t+ν-2)),t∈[0,T+1]N0；

(1)

x(s+ν-2)=φ(s+ν-2),s∈[-N，0]N-N；

(2)

x(T+ν+1)=A.

(3)

其中f∶[ν-1,T+ν]Nν-1×FN×R→R是連續(xù)的，且φ∈FN,FN={x|x∶[-N+ν-2,ν-2]N-N+ν-2→R}, 1<ν<2,A∈R.

1 預備知識

引理2[2]令C為一個帶有模的線性空間E的凸子集，并設0∈C; 設F∶C→C是一個完全連續(xù)的算子，并令ε(F)={x∈C|x=λFx,?λ∈(0,1)}, 則ε(F)是無界的，或者F有一個不動點.

2 主要結果及其證明

定理1設f∶[0,T+1]N0×FN×R→R, 則函數x(t)是差分方程(1)帶有邊界條件(2)和(3)的解的充要條件是x(t)有以下形式：

T1={(t,s)∈[ν-2,T+ν+1]Nν-2×[0,T+1]N0:0≤s

T2={(t,s)∈[ν-2,T+ν+1]Nν-2×[0,T+1]N0:0≤t-ν+1≤s≤T+2}.

定義變換S如下：

定理2令f∶[0,T+1]×FN×R→R是連續(xù)的，若對于任意的0<λ<1, 存在M>0, 使對于滿足條件(5)和(6)的方程(4)的解x, 有‖x‖[ν-2,T+ν+1]Nν-2≤M, 則邊值問題(1)—(3)至少有一個解.

Δνx(t)=λf(t+ν-1，xt+ν-2,Δx(t+ν-2))，t∈[0,T+1]N0;

(4)

x(s+ν-2)=φ(s+ν-2)，s∈[-N，0]N-N;

(5)

x(T+ν+1)=λA.

(6)

證明當λ=0時，邊值問題(4)—(6)即為(1)—(3).不妨設λ≠0, 則證明過程分為φ(ν-2)=0和φ(ν-2)≠0兩種情況.

2) 當φ(ν-2)≠0時,令y=x-φ(ν-2), 那么

(7)

(8)

(9)

下面討論高階離散分數階方程邊值問題(10)—(12)，其中N-1<ν

Δνx(t)=f(t+ν-N+1，xt+ν-N,…,ΔN-1x(t+ν-N)) ，t∈[0,T+1]N0；

(10)

x(s+ν-N)=φ(s+ν-N) ，s∈[-N，0]N-N;

(11)

Δix(T+ν+3-N)=Ai，i=0,1,2,…,N-2.

(12)

類似于定理2，得以下定理：

Δνx(t)=λf(t+ν-N+1，xt+ν-N,…,ΔN-1x(t+ν-N))，t∈[0,T+1]N0;

(13)

x(s+ν-N)=φ(s+ν-N)，s∈[-N，0]N-N;

(14)

Δix(T+ν+3-N)=λAi，i=0,1,2,…,N-2.

(15)

證明先求解邊值問題(10)—(12)，由引理1知其解為

(16)

參考文獻：

[1] Atici F M, Eloe P W. Initial value problems in discrete fractional calculus[J]. Proc Amer Math Soc, 2009,137(3):981-989.

[2] Atici F M, Eloe P W. Two-point boundary value problems for finite fractional difference equations[J]. J Difference Equ Appl, 2011,17(4):445-456.

[3] Goodrich C S. Existence and uniqueness of solutions to a fractional difference equation with nonlocal conditions[J]. J Comput Math Appl, 2011,61(21):191-202.

[4] Li W T, Niu M F, Sun J P. Existence of positive solutions of boundary value problems for second-order nonlinear difference systems[J]. Appl Math Comp, 2004,152:779-798.

[5] Sun J P, Li W T. Existence of positive solutions of boundary value problems for a discrete difference system[J]. Appl Math Comp, 2004,156:857-870.

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[8] Atici F M, Eloe P W. Initial value problems in discrete fractional calculus[J]. Proc Amer Math Soc, 2009,137:981-989.

[9] Miller K S, Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations[M]. New York： Wiley, 1993.

[10] Atici F M, Eloe P W. A transform method in discrete fractional calculus[J]. Int J Difference Equ, 2007,2(2):165-176.