對形成數學能力因素的探討

韋玉

什么是數學能力？是指人們在數學活動中，使數學問題解決能夠順利完成的一種特殊的心理機能，這種特殊的心理機能直接影響著數學活動的效率.因此，只有對這種特殊的心理機能施以積極的影響或刺激，才能在教學中有效地促進學生數學能力的發(fā)展.在數學活動中，學生解決任何一個數學問題，首先，應具備相應的數學知識和數學思想方法，它是形成數學能力最基本的因素；其二，運用數學知識及思想方法對問題進行合理的判斷、推理與論證；其三，要有銳意進取的創(chuàng)新意識，在數學活動中，有獨到、靈活與強烈的開拓傾向性.顯然，若學生具備這三種因素的心理機能，就能在運算、空間想象、分析問題與解決問題中形成數學能力。

教學中有的放矢地對學生施以這三個方面的訓練、培養(yǎng)，才能使每個學生的數學能力發(fā)展到應有的水平。

一、數學知識的獲取與數學思想方法的滲透

在數學活動中，學生最關心的就是解決問題的方法，即常說的數學方法。它是指在數學思想的指導下為解決數學問題所提供的具體思維方向與操作程序，中學的數學方法可分為三類：

（1）從認識方法上講，有“觀察與實驗、比較與分類、歸納與類比、想象、直覺、頓悟”等，這些數學方法隱含于教材之中，必須引導學生挖掘，在解決問題中反復實踐，才能從感性認識上升到理性認識，最終達到靈活運。

（2）從邏輯上講，有“完全歸納法與不完全歸納法、綜合法、分析法、演繹法、反證法、同一法等。

（3）在教材中還有一類由幾個具體的操作步驟來完成的數學方法。如初中教材上的消去法、配方法、換元法、待定系數法、等積法、基本圖形法等。

數學思想是數學活動的基本觀點。在教學中，應使學生認識到它們的內在規(guī)律及本質，認識到數學思想是對數學知識內在規(guī)律及本質與數學方法的高度概括，對解決數學問題具有指導性意義，中學教材上的數學思想有：“符號與變元思想、集合與對應思想、公理化與結構思想、系統(tǒng)與統(tǒng)計思想、化歸與辯證思想”等，教學中，如何向學生滲透數學思想呢？

（1）在知識學習中提煉數學思想。

數學思想內隱于教材之中，在知識的發(fā)展點與新知識的發(fā)生點，存在著豐富的數學思想。在教學中，應該啟發(fā)學生注意提煉數學思想，如對多邊形內角和的探索，可以引導學生把多邊形轉化為三角形來處理，從中提煉化歸思想。

（2）在數學方法的學習中歸納數學思想。

在學生掌握知識的同時，應進一步引導學生歸納解決數學問題的數學方法，不僅要求學生靈活運用這些數學方法去解決數學問題，還要把這些數學方法與已有的數學方法聯系起來，歸納概括其共性，并揭示其內在規(guī)律及本質，使學生深刻認識到這樣的共性在解決數學問題時的作用。如代數中方程與方程組中的換元法，幾何中的角、線段、中間比，實際上都體現了變元思想。

（3）小結時強化數學思想。

小結時不僅讓學生整理知識結構與數學方法，還要強化數學思想的統(tǒng)攝地位與解決數學問題的作用，尤其是在章末小結，要精心編選習題，使這些習題不僅體現全章的重要知識與數學方法。還要體現這一章的主要數學思想，使學生認識到這一章的數學思想在解決數學問題中起到哪些作用。如三角函數一章小結時，在學生整理完知識結構與數學方法后，要強化符號思想、對應思想與結構思想，并用相應的習題去體現它們，特別是結構思想，要讓學生掌握在較復雜的題型或圖形中，如何建立直角三角形這種結構去解決問題。

二、數學思想品質的培養(yǎng)

由于解決數學問題是由條件向結論的轉化過程，帶有一定的方向性。因此，在教學中，集中思維與發(fā)散思維的訓練是培養(yǎng)學生思維品質的主要內容。

集中思維從形式上看，是“具有定向性、層次性與收斂性”，從內容上講，是“具有求同性與專注性”。

從教材的邏輯結構分析，方向性、層次性與收斂性比較外顯，但引導學生探索每一個知識點的過程，其求同性與專注性又內隱于其中，因此，教學中應引導學生學完一單元或一章內容后，認真系統(tǒng)地閱讀教材，結合集中思維的形式與內容，寫讀后感或制出教材的思維圖表，使學生感悟集中思維的內涵。

從解決數學問題的過程分析，創(chuàng)設集中思維的情境，引導學生綜合分析條件中的已有信息，朝著結論的方向，把問題分成幾個依次遞進的小問題，每解決一個小問題，讓學生明白，其結論直接影響下一個小問題的思維方向，其思維搜索范圍將隨之縮小，并逐步向結論推進，最終使問題得到解決。顯然，學生在解決問題的過程中，集中思維的品質得到了培養(yǎng)。

對概念、性質、定理的教學，也可給學生提供一個發(fā)散思維的情境，讓學生去探索解決問題的途徑，這種思維從方向上看，“具有逆向性、橫向性與多向性”；從內容上講，“具有變通性與開放性”，常說的逆向思維、求異思維，不過是在解決數學問題的過程中，分析問題的切人點不同，目的都是設法從條件向結論轉化。因此，教學中應根據不同的教學內容，創(chuàng)設不同的發(fā)散情境，使學生運用已有的數學知識及思想方法，從不同的角度，勇于提出自己的想法，使學生發(fā)散性思想品質得到充分的錘煉。

在教學中，發(fā)散性思維的培養(yǎng)主要有以下途徑：

（1）條件發(fā)散，結論不變。啟發(fā)學生運用已知數學知識及思想方法，盡可能地從不同的角度去探索問題，把結論成立的各種可能的數量關系或圖形的位置關系都尋找出來。

（2）結論發(fā)散，條件完備。啟發(fā)學生在探索過程中，利用想象、猜想、嘗試與直覺等，把符合條件的結論都探索出來。

（3）解決數學問題的過程發(fā)散，即條件完備，結論一定。引導學生從條件與結論中，以不同的信息作為切入點，運用已知的數學知識及思想方法，把解決問題的各種途徑都探索出來。

三、創(chuàng)新意識的培養(yǎng)

所謂創(chuàng)新意識，指在解決數學問題的過程中表現出的獨到性、變通性、靈活性與開拓性，進而形成的個人能動的傾向性，這種個人能動的傾向性，不僅僅與學生的先天條件有關，還與教師精心培育與正確啟發(fā)、引導、鼓勵有關，因此，教學中應利用學生的好奇心，啟發(fā)學生獨立地發(fā)現問題，引導學生運用已有的數學知識及思想方法，靈活地探索未知，鼓勵學生開拓，使學生逐漸形成個人能動的傾向性。

從教材上可以看出數學知識的發(fā)生與發(fā)展過程是一個動態(tài)過程，因此在教學中應給學生創(chuàng)設一個動態(tài)的思維情境，創(chuàng)設由簡單到復雜、由特殊到一般或由一般到特殊的各種情形，在這個動態(tài)過程中，啟發(fā)學生去“發(fā)現”現實生活中哪些實際問題與學習的數學內容有關，使學生在動態(tài)探索中，其獨到、變通與靈活的個人能動傾向性得到培養(yǎng)。

教學中不僅啟發(fā)學生用發(fā)散性思維去探索問題，還要引導學生把條件與結論中的一些特殊的條件（或結論）一般化，一般的條件（或結論）特殊化，引導學生從數量關系與圖形位置關系的動態(tài)變化中，錘煉獨到、變通與靈活的個人能動傾向性。

怎樣培養(yǎng)學生開拓數學思路的習慣？

（1）對已有數學模型性質進行開拓。

一些數學模型性質是因一些特殊的數學元素而形成，教學中，可以引導學生利用這些特殊的數學元素，去發(fā)現“新的性質”。如在平面幾何復習時，已知三角形三邊，可求出三角形的高與三邊的關系，那么已知三邊，某一邊的中線，某一角的平分線是否可求？

（2）對學過的數學知識的應用開拓。

當學生學完某一知識點之后，可引導學生利用剛學習的概念、性質等自擬習題并作答，有時可引導學生把自擬習題的范圍適當拓寬。如代數問題拓展到幾何問題，幾何問題拓展到代數問題等，使學生展開思維的翅膀，自由地將所學到的知識進行開拓應用，對違背科學常識的現象要糾正。

（3）對教材上的例習題進行開拓。

教材上的例習題具有典型性與深刻性，引導學生充分利用例習題揭示其深刻性，領悟其典型性。使學生的學習達到舉一反三的效果。