重大疾病保險(xiǎn)的保險(xiǎn)需求與最優(yōu)免賠額的確定

田 乾， 金懷玉， 胡宏兵

(1.安徽科技學(xué)院 財(cái)經(jīng)學(xué)院， 安徽 蚌埠 233100 ；2.中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 金融學(xué)院 湖北 武漢 430073)

一、引言

重大疾病保險(xiǎn)，是指當(dāng)被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期間內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)合同約定的疾病、達(dá)到約定的疾病狀態(tài)或?qū)嵤┝思s定的手術(shù)時(shí)給付保險(xiǎn)金的健康保險(xiǎn)產(chǎn)品。

1983年，南非外科醫(yī)生馬里優(yōu)斯巴納德最先提出了重大疾病保險(xiǎn)這一產(chǎn)品創(chuàng)意，我國(guó)內(nèi)地市場(chǎng)在1995年引入了重大疾病保險(xiǎn)，并逐漸成為人身保險(xiǎn)市場(chǎng)上重要的保障型產(chǎn)品。[1]目前，關(guān)于重大疾病險(xiǎn)國(guó)內(nèi)的定義一般是保險(xiǎn)公司經(jīng)辦的以特定重大疾病為保險(xiǎn)對(duì)象的商業(yè)保險(xiǎn)，但對(duì)于特定重大疾病，不同的險(xiǎn)種有不同的定義，但可以確定的是，投保人購(gòu)買重大疾病保險(xiǎn)獲得的給付保險(xiǎn)金主要有兩方面的用途：一是為被保險(xiǎn)人支付因疾病、疾病狀態(tài)或手術(shù)治療所花費(fèi)的高額醫(yī)療費(fèi)用；二是為被保險(xiǎn)人患病后提供經(jīng)濟(jì)保障，盡可能避免被保險(xiǎn)人的家庭在經(jīng)濟(jì)上陷入困境。

隨著醫(yī)療費(fèi)用的上漲、大眾對(duì)健康管理關(guān)注度的不斷上升以及癌癥等重大疾病發(fā)病率的高漲，我國(guó)健康保險(xiǎn)市場(chǎng)出現(xiàn)了對(duì)重大疾病保險(xiǎn)的強(qiáng)烈需求。然而，重大疾病風(fēng)險(xiǎn)相比較其他的健康風(fēng)險(xiǎn)而言，具有低概率、高損失(LPHL)的特性，故對(duì)于重大疾病保險(xiǎn)的需求決策在本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是不確定條件下的決策。

首先，對(duì)于重大疾病保險(xiǎn)的需求客觀存在，這一點(diǎn)無(wú)論是從理論上還是在實(shí)踐中都是可以證明的。一方面，從理論上看，在保費(fèi)精算公平的情況下，對(duì)于單一的風(fēng)險(xiǎn)而言，投保人選擇最優(yōu)保險(xiǎn)需求時(shí)，選擇的應(yīng)該是全額保險(xiǎn)，而非部分保險(xiǎn)。無(wú)論是從預(yù)期效用模型(Arrow 1965)[2]還是從基于二階隨機(jī)占優(yōu)的非預(yù)期效用模型(Machina 1995)[3]，都能證明此結(jié)論。但是，當(dāng)保費(fèi)并非等于純保費(fèi)(保單精算價(jià)值)，而是等于純保費(fèi)附加一個(gè)正比例的附加費(fèi)用時(shí)，投保人選擇的最優(yōu)保險(xiǎn)需求則是部分保險(xiǎn)。另一方面，從現(xiàn)實(shí)情況看，重大疾病風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于普通疾病，但這并不是說(shuō)沒(méi)有必要對(duì)其進(jìn)行防范，相反，每個(gè)人尤其是工薪階層，須將重大疾病風(fēng)險(xiǎn)作為必須防范的風(fēng)險(xiǎn)，體現(xiàn)在家庭或個(gè)人的理財(cái)規(guī)劃之中。

這是因?yàn)?，盡管重大疾病風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的概率比較小，但一旦發(fā)生，對(duì)每個(gè)人、每個(gè)家庭帶來(lái)的損失是巨大的，甚至可能使一個(gè)富有的家庭背上沉重的債務(wù)負(fù)擔(dān)。[4]因而，無(wú)論是從理論分析還是實(shí)際條件分析角度看，可以肯定的一點(diǎn)是，重疾保險(xiǎn)需求是實(shí)際存在的。

商業(yè)保險(xiǎn)公司的保費(fèi)不但要覆蓋保險(xiǎn)產(chǎn)品交易過(guò)程中的一系列費(fèi)用，作為商業(yè)團(tuán)體，還需要獲得至少是正常的市場(chǎng)利潤(rùn)，因而，部分保險(xiǎn)的保險(xiǎn)需求在現(xiàn)實(shí)的保險(xiǎn)市場(chǎng)中是最常見到的，對(duì)于重大疾病保險(xiǎn)當(dāng)然也不例外。因而，對(duì)于保險(xiǎn)公司，到底以多大的比例承保，對(duì)于投保人，以多大的比例投保，是值得深入研究的。將重大疾病保險(xiǎn)定義在一個(gè)更廣更一般的領(lǐng)域，也就是LPHL風(fēng)險(xiǎn)的大領(lǐng)域中，可以運(yùn)用多種相關(guān)模型對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行探討。

在過(guò)去的幾十年中，眾多學(xué)者對(duì)個(gè)人關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)與保護(hù)機(jī)制的決策框架進(jìn)行了研究，并逐步形成了比較完善的決策框架，這些研究也包括了重大疾病風(fēng)險(xiǎn)在內(nèi)的一些LPHL風(fēng)險(xiǎn)事件。根據(jù)Mc-Clelland的試驗(yàn)，公眾對(duì)于LPHL風(fēng)險(xiǎn)主要采取兩種態(tài)度：一是置之不理，即對(duì)這種風(fēng)險(xiǎn)采取放任態(tài)度，不會(huì)通過(guò)保險(xiǎn)等方式進(jìn)行分散或轉(zhuǎn)移；二是支付過(guò)高，即對(duì)這種風(fēng)險(xiǎn)采取過(guò)度的方式進(jìn)行分散或轉(zhuǎn)移[5]。人們?yōu)槭裁磳?duì)LPHL風(fēng)險(xiǎn)置之不理，其原因包括概率提出的背景、財(cái)富效應(yīng)、過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)、有限理性，等等?？偠灾碚摲矫娴难芯窟€不能夠很好地解釋公眾面臨風(fēng)險(xiǎn)，尤其是LPHL風(fēng)險(xiǎn)時(shí)具體應(yīng)該如何進(jìn)行有效地決策。

在實(shí)際中，人們往往面臨多種多樣的健康風(fēng)險(xiǎn)，單一風(fēng)險(xiǎn)情形是不存在的。例如，健康風(fēng)險(xiǎn)引發(fā)的相關(guān)醫(yī)療費(fèi)用風(fēng)險(xiǎn)除了有重大疾病的醫(yī)療費(fèi)用風(fēng)險(xiǎn)(LPHL)，還有發(fā)生可能性更高，但費(fèi)用損失程度較低的一般住院費(fèi)用風(fēng)險(xiǎn)(一般風(fēng)險(xiǎn))，本文的分析基于隨機(jī)占優(yōu)偏好的效用理論和預(yù)期效用理論，分析重大疾病保險(xiǎn)最優(yōu)免賠額的確定，并考慮在不完全市場(chǎng)中的非單一健康風(fēng)險(xiǎn)條件對(duì)重大疾病保險(xiǎn)需求的影響。

二、重大疾病保險(xiǎn)最優(yōu)免賠額分析

(一)模型分析

為了簡(jiǎn)化模型，假設(shè)決策者面臨兩種不同性質(zhì)的純粹風(fēng)險(xiǎn)，分別定義為風(fēng)險(xiǎn)x1和x2，兩者發(fā)生的概率以及損失不同，并且兩者是相互獨(dú)立的。然后，進(jìn)一步假設(shè)x1發(fā)生概率為p1，損失為L(zhǎng)1，x2發(fā)生概率為p2，損失為L(zhǎng)2，并且L1>L2，p1

在這種假設(shè)條件下，決策者(或稱投保人)在為這兩種風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行投保時(shí)，最優(yōu)的免賠金額D1和D2應(yīng)各自為多少？

免賠額的高低對(duì)決策者的預(yù)期效用主要有兩個(gè)方面的影響。一方面，較高的免賠額意味著較低的保費(fèi)支出，可以減輕投保人投保時(shí)的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)；而另一方面，較高的免賠額也意味著較大的風(fēng)險(xiǎn)敞口，也就是說(shuō)，一旦有損失發(fā)生，決策者從保險(xiǎn)公司獲得的賠償將變少，決策者將不得不自己承擔(dān)重大的經(jīng)濟(jì)損失。因此，作為理性效用最大化的決策者，其決策目標(biāo)就是選擇最優(yōu)的免賠金額，使得這兩種影響的邊際效應(yīng)正好互相抵消，從而獲得最大的效用。

為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)x1和x2是相互獨(dú)立的①，風(fēng)險(xiǎn)i的分布為(0,1-pi,Li,pi)，并且L1p1=L2p2，即兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)的期望損失相等。保險(xiǎn)人為這兩種風(fēng)險(xiǎn)提供保險(xiǎn)，免賠金額為Di，即若損失發(fā)生，受益人或投保人能夠獲得的實(shí)際賠償金額等于扣除免賠額后的損失金額。

假設(shè)保險(xiǎn)人的附加費(fèi)用與保單精算價(jià)值成正比，且兩種保險(xiǎn)的附加系數(shù)d>1是相等的，則免賠額為Di的保險(xiǎn)其保費(fèi)計(jì)算應(yīng)為：

Pi(Di)=d×pi(Li-Di)

如果決策者(或稱投保人)購(gòu)買兩種保險(xiǎn)的免賠額分別為D1,D2，則保險(xiǎn)合同到期時(shí)其財(cái)富為：

?(D1,D2)=?0-L1+max(0,L1-D1)-

L2+max(0,L2-D2)-P1(D1)-P2(D2)

式中，?0代表的是決策者的初始(或稱購(gòu)買兩種保險(xiǎn)合同前)財(cái)富，P1(D1)和P2(D2)分別代表的是兩種保險(xiǎn)的保費(fèi)。

因此，決策者的決策目標(biāo)是在一定的保費(fèi)預(yù)算限制下：

maxU(?(D1,D2))

式中，U代表的是決策者的效用函數(shù)。

本文的研究中，不對(duì)效用函數(shù)作過(guò)多的限制，僅假設(shè)決策者具有二階隨機(jī)占優(yōu)的偏好。

如果d≠1，最優(yōu)的保險(xiǎn)需求D1， 相對(duì)于D2，又應(yīng)該為多少呢？

首先應(yīng)該考慮的是D1和D2相對(duì)大小。假設(shè)存在兩個(gè)保險(xiǎn)策略，分別為(D,D)和(D1,D2)，并且D1>D2，同時(shí)兩個(gè)保險(xiǎn)策略的保費(fèi)預(yù)算相等。于是得出如下結(jié)論：在上述的限制性條件下，保險(xiǎn)策略(D,D)是二階隨機(jī)優(yōu)于保險(xiǎn)策略(D1,D2)的。這是因?yàn)椋?/p>

設(shè)z0=?0-P1(D1)-P2(D2)， 則策略(D,D)的支付如表1：

表1 策略(D，D)的支付情況

策略(D1,D2)且D1>D2的支付如表2：

表2 策略(D1，D2)的支付情況

則這兩種策略期末財(cái)富的期望分別為：

E(?(D,D))=z0-Dp1-Dp2

E(?(D1,D2))=z0-D1p1-D2p2

又因?yàn)檫@兩種策略的保險(xiǎn)預(yù)算是相等的，即Dp1+Dp2=D1p1+D2p2，所以，E(?(D,D))=E(?(D1,D2))，也就是兩種策略的期末財(cái)富的期望是相等的。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，對(duì)這種風(fēng)險(xiǎn)采取放任態(tài)度的決策者(即風(fēng)險(xiǎn)中立者)而言，這兩種保險(xiǎn)策略是不存在差別的；而對(duì)這種風(fēng)險(xiǎn)采取支付過(guò)高的決策者(即風(fēng)險(xiǎn)厭惡者)而言，分析哪種策略更優(yōu)，則需要對(duì)這種策略的期末財(cái)富的方差進(jìn)行分析。

通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)，在這兩種保險(xiǎn)策略下，每一種策略下的四種狀態(tài)分布的概率都是相同的，但相比較第一種策略而言，第二種策略的分布狀況更加離散，由此可以認(rèn)為，第二種策略的方差相比較第一種策略而言，方差更大。

(二)結(jié)論分析

通過(guò)上述分析，可以得出以下結(jié)論：如果決策者(或稱投保人)具有二階隨機(jī)占優(yōu)偏好，他選擇的保險(xiǎn)策略是LPHL風(fēng)險(xiǎn)的免賠金額不應(yīng)該大于其他一般風(fēng)險(xiǎn)的免賠金額。換言之，在同時(shí)存在重大疾病風(fēng)險(xiǎn)和一般住院風(fēng)險(xiǎn)的情況下，決策者應(yīng)該選擇對(duì)這兩種風(fēng)險(xiǎn)同時(shí)進(jìn)行投保，而不是僅僅投保一般住院風(fēng)險(xiǎn)。此外，重大疾病風(fēng)險(xiǎn)保險(xiǎn)的免賠金額不應(yīng)大于一般住院費(fèi)用風(fēng)險(xiǎn)。同時(shí)得出以下的3個(gè)推理：

(1)當(dāng)兩種風(fēng)險(xiǎn)具有相同期望損失時(shí)，任何具有二階隨機(jī)占優(yōu)偏好的決策者對(duì)重大疾病風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn)比率大于其它風(fēng)險(xiǎn)。這是因?yàn)椋?/p>

(2)對(duì)于保險(xiǎn)費(fèi)用而言，重大疾病風(fēng)險(xiǎn)所占的保險(xiǎn)費(fèi)用一般應(yīng)大于住院風(fēng)險(xiǎn)所占的保險(xiǎn)費(fèi)用，換言之，重大疾病風(fēng)險(xiǎn)所占的保險(xiǎn)費(fèi)用應(yīng)該占到總保費(fèi)的1/2以上。這是因?yàn)椋?/p>

上述兩式相減等于：

根據(jù)前面的假設(shè)，p1L1=p2L2，則：

即在最優(yōu)保險(xiǎn)策略下，重大疾病風(fēng)險(xiǎn)的保費(fèi)預(yù)算應(yīng)該大于一般住院風(fēng)險(xiǎn)的保費(fèi)預(yù)算。

(3)由于在最優(yōu)保險(xiǎn)策略下，購(gòu)買重大疾病風(fēng)險(xiǎn)的免賠額不應(yīng)該大于購(gòu)買一般住院風(fēng)險(xiǎn)的免賠額，所以，如果通過(guò)購(gòu)買一般住院風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn)能夠增加決策者的效用水平的話，同時(shí)購(gòu)買重大疾病風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn)則能進(jìn)一步提高決策者的效用水平。

上述分析從理論上證明了，對(duì)于理性的決策者而言，其存在對(duì)重大疾病風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn)需求，這也為我國(guó)重大疾病保險(xiǎn)的進(jìn)一步發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)。

三、基于不完全保險(xiǎn)市場(chǎng)的重大疾病保險(xiǎn)的保險(xiǎn)需求分析

(一)模型分析

以上研究是基于完全保險(xiǎn)市場(chǎng)假設(shè)的，即決策者可以自行為自己所面臨的健康風(fēng)險(xiǎn)決定保險(xiǎn)策略，但事實(shí)上，保險(xiǎn)公司實(shí)際提供的保險(xiǎn)產(chǎn)品并沒(méi)有覆蓋所有的健康風(fēng)險(xiǎn)。例如，在我國(guó)目前的健康險(xiǎn)市場(chǎng)中，小額門診費(fèi)用并不包含在一般的商業(yè)醫(yī)療保險(xiǎn)負(fù)擔(dān)范圍中，由于小額門診支出頻繁，不好控制，商業(yè)保險(xiǎn)公司對(duì)其敬而遠(yuǎn)之。這樣，可以將其看成是不可保的健康風(fēng)險(xiǎn)。

簡(jiǎn)化消費(fèi)者面臨的健康風(fēng)險(xiǎn)狀況，設(shè)消費(fèi)者面臨兩種純粹風(fēng)險(xiǎn)，重大疾病醫(yī)療費(fèi)用風(fēng)險(xiǎn)可能損失I(風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率為πi)，不可保醫(yī)療費(fèi)用風(fēng)險(xiǎn)可能損失N(風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率為πN)，決策者初始財(cái)富為A。這樣，在未來(lái)，他所面臨4種可能狀態(tài)見表3：

表3 決策者面臨的4種可能狀態(tài)

保費(fèi)支出P=α*πi*I(I+d)。

其中，α是可保風(fēng)險(xiǎn)的投保程度；d是附加費(fèi)率。

決策者的預(yù)期效用函數(shù)為

EU=π1*U[A-α*πi*I*(1+d)]+π2*U[A-απi*I*(1+d)-I(1-α)]+π3*U[A-α*πi*I*(1+d)-N]+π4*U[A-α*πi*I*(1+d)-I(1-α)-N]

由于重大疾病保險(xiǎn)是補(bǔ)償性質(zhì)的保險(xiǎn)，所以α不可能大于1，所以只要上式是非負(fù)的，就可以認(rèn)為決策者投保完全保險(xiǎn)是最優(yōu)的。

但在有附加保費(fèi)的情況下，即d>0時(shí)(現(xiàn)實(shí)中也是如此)，對(duì)于負(fù)相關(guān)的重大疾病風(fēng)險(xiǎn)和不可保健康風(fēng)險(xiǎn)，不完全投保結(jié)果仍成立，但對(duì)于兩者存在正相關(guān)關(guān)系的情況下，則要考慮d的大小和兩者正相關(guān)的程度。如果d很小，兩者正相關(guān)的程度很大，使得πN在乘以(1+d)倍后仍小于πN/i，則完全投保是理性的，但如果d很大以至于πN在乘以(1+d)倍后大于πN/i，則不完全投保是正確選擇。

(二)結(jié)論分析

以上是對(duì)與重大疾病風(fēng)險(xiǎn)有相關(guān)關(guān)系的不可保健康風(fēng)險(xiǎn)存在的現(xiàn)實(shí)保險(xiǎn)市場(chǎng)中，重大疾病風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn)需求的理論分析，基于的假設(shè)是決策者的期望效用函數(shù)符合遞增性和凹性，決策者的目標(biāo)是預(yù)期效用最大化。

在現(xiàn)實(shí)中，即使理性的保險(xiǎn)需求者滿足以上假設(shè)，在做健康風(fēng)險(xiǎn)管理的保險(xiǎn)決策時(shí)，決策者也很難準(zhǔn)確地把握重大疾病風(fēng)險(xiǎn)和其他不可保健康風(fēng)險(xiǎn)的相關(guān)性和程度，尤其是在附加費(fèi)率存在的情況下。比如，雖然在現(xiàn)實(shí)中，直覺告訴人們平時(shí)住院較頻繁的決策者患重大疾風(fēng)險(xiǎn)的可能性更大，但事實(shí)上并非如此，畢竟，有一點(diǎn)容易忽視，許多重大疾病的醫(yī)療費(fèi)用巨大損失是由于病情沒(méi)能及時(shí)發(fā)現(xiàn)，而住院頻繁的決策者由于會(huì)接受住院期間相關(guān)健康檢查，早期發(fā)現(xiàn)重疾風(fēng)險(xiǎn)的可能性更大。

注釋：

①雖然兩者很顯然存在一定的相關(guān)關(guān)系，但由于在此處只是想探討重大疾病保險(xiǎn)最優(yōu)免賠額的確定，一般醫(yī)療保險(xiǎn)在此只用于做一個(gè)參照，因而對(duì)兩者獨(dú)立性的假設(shè)是可以用的。

②預(yù)期效用函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)小于0。

③對(duì)于損失補(bǔ)償性質(zhì)的保險(xiǎn)，投保人不能購(gòu)買超額保險(xiǎn)，投保人或受益人得到的實(shí)際補(bǔ)償金額不會(huì)超過(guò)發(fā)生的實(shí)際損失金額。

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