對人教版初中數(shù)學(xué)教材“銳角三角函數(shù)”部分的分析

陳術(shù)金

摘 要： 初中數(shù)學(xué)中“銳角三角函數(shù)”部分的教學(xué)對中學(xué)生打好幾何基礎(chǔ)有著極其關(guān)鍵的作用，對學(xué)生一生的幾何能力也至關(guān)重要?？梢?，搞好這部分內(nèi)容的教學(xué)是極其必要和重要的。本文對人教版教材中這部分內(nèi)容作教學(xué)分析，給同行作參考。

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 三角函數(shù) 基礎(chǔ)內(nèi)容 正弦函數(shù)

初中數(shù)學(xué)中“銳角三角函數(shù)”部分的教學(xué)對中學(xué)生的幾何基礎(chǔ)有著極其關(guān)鍵的作用，雖然初中生之前有過一些幾何知識的初步了解，但這一部分仍然對初中生的幾何知識起奠基作用，對他們一生的幾何能力有著至關(guān)重要的影響?？梢姡愫眠@部分內(nèi)容的教學(xué)是極其必要和重要的。筆者對人教版教材中這部分內(nèi)容作教學(xué)分析，給同行作參考。

一、教材分析

1.內(nèi)容總體安排

本章的主要內(nèi)容是銳角三角函數(shù)的概念（主要指正弦、余弦和正切的概念），以及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形，這些內(nèi)容是中學(xué)階段三角學(xué)的基礎(chǔ)知識。本章內(nèi)容是在同學(xué)們學(xué)習(xí)了相似三角形、勾股定理和函數(shù)等有關(guān)知識的基礎(chǔ)上研究的，這些知識是學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的直接基礎(chǔ)。

本章內(nèi)容分為兩節(jié)，第一節(jié)主要內(nèi)容有三部分：一是學(xué)習(xí)正弦、余弦和正切等銳角三角函數(shù)的概念；二是研究了幾個特殊角（30°，45°，60°）的三角函數(shù)的求法；三是介紹了用計算器求銳角三角函數(shù)的方法。第二節(jié)首先主要研究了直角三角形中的邊角關(guān)系和解直角三角形的知識；然后通過具體的實例說明了解直角三角形的應(yīng)用，并總結(jié)出用三角函數(shù)的知識解決實際問題的一般過程。這個過程強調(diào)了數(shù)學(xué)建模的構(gòu)建，凸顯了數(shù)學(xué)建模的思想，強化了數(shù)形結(jié)合思想?？梢哉f第一節(jié)是第二節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)，后面的內(nèi)容是第一節(jié)內(nèi)容的應(yīng)用，通過第二節(jié)的學(xué)習(xí)，鞏固和提高了學(xué)生對基礎(chǔ)內(nèi)容的認(rèn)識，使同學(xué)們對函數(shù)的概念及其本質(zhì)有了更深層次的認(rèn)識。

2.本章知識大致結(jié)構(gòu)

從生活中的實際問題出發(fā)，引出三角函數(shù)，進(jìn)一步著手解決銳角三角函數(shù)問題，最后，由解決問題的方法又回到生活中的實際問題中，引導(dǎo)學(xué)生解決具體問題。

3.課程目標(biāo)

知識技能：（1）提高實例認(rèn)識銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)，由已知三角函數(shù)的值求它對應(yīng)的銳角；（2）能在簡單條件下（已知一邊和一銳角或兩邊）解直角三角形；（3）能運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實際問題。

數(shù)學(xué)思考：（1）能收集、選擇和處理不同三角形中的相關(guān)信息，通過對比、歸納，抽象出銳角三角函數(shù)的概念；（2）在銳角三角函數(shù)概念的形成過程中，發(fā)展數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維能力；（3）經(jīng)歷銳角三角函數(shù)概念的形成過程，初步形成對應(yīng)與函數(shù)思想。

解決問題：（1）能結(jié)數(shù)形和數(shù)字等信息發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題；（2）能嘗試評價不同三角函數(shù)之間的差異；（3）在概念的形成與應(yīng)用中，學(xué)會與人合作，并與他人交流思維過程與結(jié)果；（4）通過解直角三角形在生活中的應(yīng)用，提高解決實際問題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識。

情感與態(tài)度：（1）通過三角函數(shù)概念的建立及其應(yīng)用，體驗數(shù)字、符號是有效地描述現(xiàn)實世界的重要手段，認(rèn)識到數(shù)學(xué)是解決實際問題和進(jìn)行交流的重要工具；（2）在解決直角三角形的廣泛應(yīng)用中，體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，增強參與數(shù)學(xué)活動的自覺性、積極性；（3）進(jìn)一步體驗數(shù)學(xué)活動中充滿著探索與創(chuàng)造；（4）在計算器的使用中，體驗現(xiàn)代信息技術(shù)的價值。

從以上描述可以看出，對目標(biāo)的要求不僅停留在知識技能方面，還特別注重讓學(xué)生參入數(shù)學(xué)活動的過程性方面。注重數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的形成和培養(yǎng)，將教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)有機地融入到精心創(chuàng)設(shè)的情境中、過程中和應(yīng)用中。上述目標(biāo)涵蓋了數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的各個緯度，體現(xiàn)了新課程的價值追求。

4.學(xué)習(xí)重點和難點

本章的重點是銳角三角函數(shù)的概念和直角三角形的解法；學(xué)生學(xué)習(xí)的難點是銳角三角函數(shù)的概念，因為銳角三角函數(shù)的概念反映了一個銳角的度數(shù)與實數(shù)值之間對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，這種角與數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，以及sinA，cosA，tanA等函數(shù)的符號表示方法，學(xué)生都是第一次接觸，理解和認(rèn)識起來都有一定的難度。學(xué)習(xí)本章的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，遵循“從特殊到一般，從實踐探索到證明”的方式呈現(xiàn)正弦函數(shù)概念，在學(xué)生通過實驗、觀察、歸納、猜想等求知過程的基礎(chǔ)上，建立起角度與數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，從而正確掌握銳角三角函數(shù)的概念，真正理解直角三角形中邊、角之間的關(guān)系。

二、學(xué)情與學(xué)法分析

1.常見的認(rèn)知誤區(qū)和思維障礙

（1）不能正確理解三角函數(shù)的意義及表示方法；不能正確區(qū)分正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，在實際計算中出現(xiàn)混淆現(xiàn)象。

（2）由于過于依賴計算器，記錯特殊角（30°，45°，60°）的三角函數(shù)。

（3）在解直角三角形時，錯用直角三角形中的邊與角之間的關(guān)系。

（4）混淆坡度與正弦函數(shù)。

（5）解決實際問題時，對于通過審題建立數(shù)學(xué)模型，學(xué)生普遍感到困難。

2.學(xué)法指導(dǎo)

（1）對于三角函數(shù)概念的教學(xué)，要突出正弦函數(shù)概念的教學(xué)，其他兩個三角函數(shù)的概念可引導(dǎo)學(xué)生通過類比學(xué)習(xí)。要結(jié)合圖形，通過計算、推導(dǎo)，讓學(xué)生理解∠A的“對邊和斜邊的比值”僅與∠A的大小有關(guān)，在給出正弦函數(shù)概念之前，要留給予學(xué)生充分的時間和空間，引導(dǎo)他們經(jīng)歷知識再發(fā)現(xiàn)的過程，在這個過程中理解、掌握正弦函數(shù)的本質(zhì)。在給出了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的概念后，引導(dǎo)學(xué)生歸納規(guī)律，以便記憶和應(yīng)用，避免出現(xiàn)混淆的現(xiàn)象。如，三角函數(shù)的定義都是比值，其中正弦函數(shù)、正切函數(shù)的“分子”都是“對邊”；正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的“分母”都是“斜邊”；正切函數(shù)的定義中沒有“斜邊”，等等。

（2）對于30°，45°，60°角的三角函數(shù)，要引導(dǎo)學(xué)生按照教材里“思考”欄目中給出的兩塊三角板問題，結(jié)合具體的圖形，自己計算出來，以“合作交流”的形式，先讓學(xué)生自己找規(guī)律，然后相互交流，發(fā)現(xiàn)這些比值之間的規(guī)律，這樣便于形成長久記憶。

（3）在解直角三角形時，能根據(jù)較復(fù)雜的圖形，找到或通過添加輔助線構(gòu)造出欲求元素所在的直角三角形，結(jié)合圖形，根據(jù)已知元素及三角函數(shù)的概念正確選擇邊與角的關(guān)系。

（4）適當(dāng)增加坡度與正弦函數(shù)的辨析題目，讓學(xué)生在實際練習(xí)中對二者加以理解與區(qū)別。

（5）在解決實際問題時，結(jié)合具體的題目，養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣：一邊讀題，一邊畫圖或在給定的圖形中準(zhǔn)確找到對應(yīng)的信息。特別強調(diào)解題的思路是構(gòu)造直角三角形。

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