類冪等矩陣及其若干性質(zhì)的研究

申士海,冀 珂,董肖凱,秦 波,趙 良

(安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽馬鞍山243032)

冪等矩陣是矩陣?yán)碚撝蟹浅Ｖ匾囊活惥仃嘯1]，近年來取得較豐碩的研究成果。Tian等人給出冪等矩陣的差和積的若干秩的等式[2]，Baksalary等人研究冪等矩陣的乘積是冪等矩陣的條件，得到冪等矩陣的線性組合的一些刻畫[3]，?zdemir與Song等人對(duì)冪等矩陣線性組合和Boolean代數(shù)上冪等矩陣進(jìn)行了進(jìn)一步研究[4-5]。冪等矩陣具有多種推廣形式，陳梅香等人研究數(shù)域上(m,l)冪等矩陣的l次方冪的代數(shù)等價(jià)和多項(xiàng)式相等的關(guān)系[6]。陳孝娟和張錦等人研究斜冪等矩陣，給出斜冪等矩陣秩的一些等式[7]。吳炎還進(jìn)一步研究了局部環(huán)上冪等矩陣線性組合廣義逆之間的關(guān)系[8]?；谝陨涎芯拷Y(jié)果，本文定義并研究冪等矩陣的一種新的推廣形式，所得結(jié)果將推廣冪等矩陣的秩、冪等矩陣的特征值以及冪等矩陣的對(duì)角化等相應(yīng)結(jié)果。

設(shè)矩陣A，B?Pn×n(Pn×n是數(shù)域P上n×n矩陣的集合)，若矩陣A滿足A2=BA，則稱A是關(guān)于B的類冪等矩陣，簡稱A為B-類冪等矩陣。顯然，當(dāng)矩陣B為單位矩陣En時(shí)，就是通常的冪等矩陣。文中，En表示n階單位矩陣，O表示零矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，detA表示 A的行列式（記作detA=||A），diag[a1，a2，…，ar]表示由 a1，a2，…，ar形成的對(duì)角陣，diag[J1，J2，…，Jr]表示由 J1，J2，…，Jr形成的準(zhǔn)對(duì)角陣，Pn×n是數(shù)域P上n×n矩陣的集合。

1 類冪等矩陣的性質(zhì)

定理1 若A是B-類冪等矩陣，則對(duì)于任意的可逆矩陣P，P-1AP是P-1BP-類冪等矩陣。

定理2 對(duì)任給的一個(gè)非零復(fù)矩陣B，總存在非零復(fù)矩陣A使得A2=BA，其中A≠B。

證明 因?yàn)榫仃嘊是復(fù)矩陣，從而存在可逆矩陣P使得P-1BP=B0為若爾當(dāng)形矩陣，記B0=diag[J1，J2，…，Jr]。若矩陣 B 可對(duì)角化且有唯一的一重非零特征值 λ，則 B0=diag[λ，0，…，0]，只需取，其中a12，a13，…，a1n不全為零。令 A=PA0P-1，顯然有 A≠B且 A≠O，此時(shí) A2=BA即可。否則取 A0=diag[S1，S2，…，Sr]，其中Si是Ji的任意階若爾當(dāng)子塊，Si不全為O且Si不全等于Ji，顯然A0≠B且 A0≠O。令 A=PA0P-1，所以A≠B且A≠O，且有

另一方面，由于

從而A2=BA。綜上可知，對(duì)任給的一個(gè)非零復(fù)矩陣B，總存在非零復(fù)矩陣A使得A2=BA，其中A≠B。

推論1在復(fù)數(shù)域中，任意一個(gè)矩陣均可分解為兩個(gè)類冪等矩陣之和。

定理3 若A為B-類冪等矩陣，則r(B)≤r(A)+r(B-A)≤n；特別地，如果矩陣B可逆，則

證明 因A2=BA，所以( )B-A A=O，由矩陣秩的不等式顯然。

定理4 設(shè)A是B-類冪等矩陣(A，B?Cn×n，C為復(fù)數(shù)域)，且B可逆，記 A0為與 A所相似的若爾當(dāng)形矩陣，形式為diag[A1，A2，…，Ar]，則 A1，A2，…，Ar中不會(huì)含有2階或2階以上的零若爾當(dāng)塊（即對(duì)角線元素為0的若爾當(dāng)塊）。

證明 對(duì)任意的復(fù)矩陣A，存在可逆矩陣P使得P-1AP=A0為若爾當(dāng)形矩陣，即A=PA0P-1，進(jìn)而有又因?yàn)锳2=BA，所以，即

推論2 若A是B-類冪等矩陣且B可逆，則A的秩等于A的非零特征值的個(gè)數(shù)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。

定理5 A是B-類冪等矩陣(A，B?Cn×n)，且B可逆，則若矩陣B可對(duì)角化，A一定可對(duì)角化。

證明 由定理4知，若A僅含有唯一的特征值0，即A0所含的若爾當(dāng)塊全為零若爾當(dāng)塊，則A可對(duì)角化。若矩陣A含有非零的特征值，假設(shè)此時(shí)A不可對(duì)角化，由定理4可知一定存在某個(gè)非零的特征值λ在A的若爾當(dāng)矩陣中形式為Js(s≤r)，且Js為2階或2階以上的可逆的若爾當(dāng)塊。對(duì)復(fù)矩陣A，一定存在可逆矩陣 P 使得 A0=P-1AP=diag[J1，J2，…，Jr]。所以有令C=P-1BP，可得

由于矩陣C中含有若爾當(dāng)塊Css，故C不可對(duì)角化。另一方面，由C=P-1BP和B可對(duì)角化可得C可對(duì)角化，矛盾。故A可對(duì)角化，所以若A是關(guān)于B的類冪等矩陣且B可逆，則由B可對(duì)角化可得A可對(duì)角化。推論3冪等矩陣一定可對(duì)角化。

定理6 若 A為B-類冪等矩陣，其中 A，B?Cn×n，則 A的非零特征值全部為B的特征值，且若λ(λ≠0)是 A的r(r＞0)重特征值，則λ也至少是B的r重特征值。

證明 若 λ是 A的一非零特征值，則存在非零向量 α 使得 Aα=λα 。故 A2α=A·λα=λ·λα=BAα=B(Aα)=B(λα)。即存在非零向量λα使得B(λα)=λ·λα，故A的非零特征值全部為B的特征值。對(duì)復(fù)矩陣 A而言，一定存在可逆矩陣 P使得為若爾當(dāng)形矩陣，A′的形式為diag[J1，J2，…，Js]，其中J1，J2，…Jr，…，Js為若爾當(dāng)塊。可將 J1，J2，…Jr，…，Js分為對(duì)角線元素為零的若爾當(dāng)塊和對(duì)角線元素為非零的若爾當(dāng)塊。記A0=diag[J的一個(gè)排列為對(duì)角線元素非零的若爾當(dāng)塊，為對(duì)角線為零的若爾當(dāng)塊。顯然A′和A0相似，即存在可逆矩陣A使得A0=Q-1A′Q=(PQ)-1A(PQ)。令T=PQ，則A0=T-1AT，所以A=TA0T-1。記，顯然 Ar可逆。因?yàn)?A2=BA，所以，故

推論4 A是B-類冪等矩陣，則A的非零特征值的個(gè)數(shù)不大于B的非零特征值的個(gè)數(shù)。

推論5 若A是冪等矩陣，即A2=A，則A的特征值只能為0和1。

推論6 A是B-類冪等矩陣，若B是正定矩陣，則A是半正定矩陣；若B是負(fù)定矩陣，則A半負(fù)定矩陣。

定理7 若 A是 B-類冪等矩陣(A，B?Cn×n)，且B可逆，則 A+kB(k≠0且k≠-1)可逆，且|A+kB|=(k+1)r·kn-r·|B|，其中r=r(A)。

又因?yàn)閨B|=|Ar|·|C4|，所以有| A+kB|=(k+1)r·kn-r·|B|(k≠0且k≠-1)。

[1]Horn RA,Johnson C R.MatrixAnalysis[M].London:Cambridge University Press,1985.

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