從函數(shù)定義域培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

李金寨

（泉州經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，福建 泉州 362000）

一、定義域與函數(shù)關(guān)系式

確定函數(shù)的關(guān)系式時(shí)，必須要考慮函數(shù)的定義域。

例l：判斷函數(shù)f（x）=sinx與g（x）=cosxtanx是否表示同一函數(shù)?

解：f（x）=sinx的定義域是R，

由于 f（x）與 g（x）的定義域不同，所以 f（x）與 g（x）不是相同函數(shù)。

例2：有一塊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮，將它的四周剪去大小相等的正方形，制成一只無(wú)蓋盒子。求盒子的體積與小正方形邊長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系式。

解：設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)為x，盒子的體積為υ，則有 υ=x（a-2x）2。

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的取值范圍。因?yàn)楫?dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不少于V的值是負(fù)數(shù)或盒子不存在，這與實(shí)際問(wèn)題是矛盾的。所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量x的取值范圍

二、定義域與函數(shù)最大（?。┲?/h2>

函數(shù)最大（?。┲凳侵负瘮?shù)在給定的定義域區(qū)問(wèn)上能否取到最大（小）值的問(wèn)題，如果不注意其定義域，或只注意其定義域，都將會(huì)導(dǎo)致求最大（?。┲档腻e(cuò)誤。

例3：求函數(shù)f（x）=x2-4x +l在[1，7]上的最大值與最小值。

解 1：∵f（x）=x2-4x+1=（x-2）2-3

∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）min=-3

解2：由于f（x）=x2-4x+1=（x-2）2-3

∵1≤x≤7，-1≤x-2≤5，1≤（x-2）2≤25

∴-2≤（x-2）2-3≤22

此時(shí) f（x）min=-2，f（x）min=22

以上兩種解法都是錯(cuò)誤的。初看結(jié)論，本題解1中沒(méi)有求得最大值，只有最小值；解2中求得最大值和最小值。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生只是按照求二次函數(shù)最大（小）值的思路，或只按照不等式的性質(zhì)來(lái)思考問(wèn)題，而沒(méi)有注意到已知條件，沒(méi)有深入挖掘函數(shù)在指定區(qū)間上的實(shí)質(zhì)，說(shuō)明學(xué)生思維缺乏靈活性。

其實(shí)，對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）在指定的定義域區(qū)間[p，q]上，它的最大（?。┲祽?yīng)分為以下情況：

此時(shí) f（x）min=f（p），f（x）=f（q）

此時(shí) f（x）min=f（q），f（x）min=f（p）

因此本題的解法是：

1998年6月19日，寧夏自治區(qū)政府決定設(shè)立寧夏扶貧揚(yáng)黃灌溉工程紅寺堡開(kāi)發(fā)區(qū)，行政隸屬關(guān)系上隔斷其與有關(guān)市縣的聯(lián)系。同年11月，決定成立寧夏揚(yáng)黃灌溉移民工作小組，下設(shè)紅寺堡區(qū)管理委員會(huì)，為縣級(jí)機(jī)構(gòu)統(tǒng)一管轄開(kāi)發(fā)范圍內(nèi)的鄉(xiāng)、村各級(jí)組織。成立了紅寺堡區(qū)揚(yáng)黃灌溉指揮部，開(kāi)始了長(zhǎng)達(dá)10多年移民工程。

∵f（x）=x2-4x+1=（x-2）2-3

∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）min=-3

又 l≤x≤7，

∴f（1）=-2，f（7）=22

因而 f（x）min=max{f（1），f（7）}=f（7）=22

這個(gè)例子說(shuō)明在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，若能注意定義域?qū)瘮?shù)最大（?。┲档挠绊?、在解題過(guò)程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的合理性。

三、定義域與函數(shù)值域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合。當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定以后，函數(shù)值域也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)把握函數(shù)的定義域。

剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0

而函數(shù)y=2（t2+1）+t=2t2+t+2在[0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)

所以當(dāng)t=0時(shí)，ymin=2

故所求的函數(shù)值域應(yīng)是[2，+∞）

例4說(shuō)明，變量的允許值范圍對(duì)正確思維是何等重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，拓寬解題思維的過(guò)程，就可以避免錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生。

四、定義域與函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，是指在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨之增減情況。因而討論函數(shù)的單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行。

例5：求函數(shù)y=log2（6-x-x2）的單調(diào)區(qū)間。

解：先求定義域

∵6-X-X2>0，

∴-3

即y=10g2（6-x-x2）的定義域是（-3，2）

又u=6-x-x2的對(duì)稱軸是x= -

因此y=log2（6-x-x2）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-3，-單調(diào)遞減區(qū)間是：[-，2）

如果在解題時(shí)，沒(méi)有在定義域區(qū)間內(nèi)考慮函數(shù)的單調(diào)性，說(shuō)明學(xué)生對(duì)單調(diào)性的概念一知半解，學(xué)生的思維缺乏深刻性。

五、定義域與函數(shù)的奇偶性

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，如果定義區(qū)間與坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對(duì)稱，則函數(shù)的奇偶性無(wú)從談起。否則，可以用奇偶性的定義進(jìn)行判斷。

例6：判斷函數(shù) f（x）=x2，x∈[-l，3]的奇偶性

解：由于函數(shù)定義域區(qū)間[-l，3]關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，所以函數(shù)f（x）=x2，x∈[-l，3]是非奇非偶函數(shù)。

若學(xué)生像這樣思維解題，能體現(xiàn)思維的敏捷。如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，只是從函數(shù)奇偶性的定義照搬硬套，可能會(huì)得出如下結(jié)果：

∴函數(shù) f（x）=x2，x∈[-1，3]是偶函數(shù)

產(chǎn)生此類錯(cuò)誤是沒(méi)有判斷該函數(shù)定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱作為前提，直接加以判斷所造成的，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)果錯(cuò)誤的原因。

六、定義域與分段函數(shù)

分段函數(shù)是指函數(shù)在定義域中，對(duì)自變量z的不同取值范圍，它的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，也就是分段函數(shù)在定義域區(qū)間中的不同小區(qū)間有不同的表達(dá)式。如果求分段函數(shù)中自變量若取某一個(gè)值時(shí)的函數(shù)值，就必須判斷自變量取該值時(shí)所對(duì)應(yīng)的小區(qū)間，才能準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算。

解：∵-4＜0

∴f（-4）=-4+4=0

F[f（-4）]=f（0）=1

于是 f{f[f（-4）]}=f[f（0）]=f（1）=12+4=5

如果沒(méi)有準(zhǔn)確地理解分段函數(shù)與定義域之間的內(nèi)在關(guān)系，解題時(shí)就無(wú)從下手。

綜上所述，在求解函數(shù)關(guān)系式問(wèn)題，求函數(shù)最大(小)值、值域問(wèn)題，函數(shù)單調(diào)性、奇偶性問(wèn)題以及分段函數(shù)等，若能嚴(yán)密思辨函數(shù)定義域、定義域?qū)Y(jié)果有無(wú)影響，就能提高學(xué)生的質(zhì)疑辨析能力，有利于學(xué)生拓寬思維空間，對(duì)提高和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維能力是十分有益的。

[1] 呂濤，等.拓展函數(shù)定義域教學(xué) 提高學(xué)生的思維品質(zhì)[J]. 成都教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2004.

[2] 杜寶慶，等. 注重函數(shù)定義域 正確解決相關(guān)問(wèn)題[J]. 中學(xué)生數(shù)理化（高中版），2005.

[3] 王振民，等. 通過(guò)函數(shù)定義域培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)[J]. 都市家教，2011.

[4] 金建忠. 淺淡函數(shù)在教學(xué)解題中的應(yīng)用[J]. 職業(yè)，2010.

[5] 張金強(qiáng). 略談函數(shù)定義域教學(xué)[J]. 世界華商經(jīng)濟(jì)年鑒-科學(xué)教育家，2009.