類比思維在高中數(shù)學教學和解題中的科學運用

杜玲玲

摘 要： 學習數(shù)學需要運用多種不同的數(shù)學思維，類比思維是眾多數(shù)學思維中運用普遍且有效的思維方式之一.高中數(shù)學知識點繁多，學好抽象且復雜的定理、概念、性質和解題方法都需要學生具備一定的數(shù)學思維，掌握一定的數(shù)學方法，如果培養(yǎng)學生形成良好的類比思維，運用有效的類比方法解答高考題目，就能夠在高考中收到意想不到的效果.

關鍵詞： 高中數(shù)學教學 類比思維 科學運用

類比思想由來已久，我國古代有名的木匠魯班看到有一種帶有齒狀的樹葉，因此他根據(jù)類比思維發(fā)明了一種工具——鋸，大大提高了古代勞動人民的勞動力和生產(chǎn)力.16世紀曾經(jīng)著名的科學家牛頓就曾經(jīng)運用類比思維將自由落體這一運動與天體的運動作比較，最終得到推動人類進步的偉大定律——萬有引力定律.不難發(fā)現(xiàn)，無論是古代中國的文明進化還是西方科學的發(fā)展，類比思想都伴隨著人類的智慧而不斷發(fā)展.正因為類比思想具有這樣重要的地位，所以我們在高中數(shù)學教學中，深入分析和探討類比方法在高考解題中的應用，對于提高高中數(shù)學質量，幫助學生在高考中獲勝具有非常深遠的意義.

一、類比思想和類比方法的含義

所謂類比思想就是指將本質上或者形態(tài)上存在著相似或者相同的對象進行研究，找到其共同點的一種思維方式.這種思維方法在數(shù)學中的應用比較廣泛，需要學生在不斷深入練習的時候體味.

所謂類比方法就是運用類比思想求解一些實際問題的過程中總結到的一些實際操作性強的方式.這在數(shù)學學習中表現(xiàn)為具體應用類比思維進行解題的技巧.

二、類比思想在高中數(shù)學教學中的應用

高中數(shù)學教師要在教學實踐的基礎上滲透類比思想，引導學生更好地培養(yǎng)類比思維解題意識，在教學中強調類比學習的優(yōu)勢和地位，提高學生的思維能力.

（一）教師要善于在課堂基礎概念、性質及定理中應用類比思想.高中知識點紛繁復雜，盡管如此，一些知識點是緊密聯(lián)系的，教師要善于將知識點合理遷移，通過設計圖標類板書，給學生以直觀的類比思想展示，不斷地促進學生運用類比遷移知識學習概念和性質等知識點.

例如，教師在講解橢圓和雙曲線這兩部分內容的時候，可以在板書設計上展示如下類比模型，通過類比二者的不同和相同處，讓學生透徹理解并掌握橢圓和雙曲線這兩個對象的表達式和圖像及性質.

（二）教師要善于總結思維方式，將不同的思維結構進行類比.其實，高中生的思維發(fā)展已經(jīng)基本成熟，因此他們具備很多成人式的“思維結構”.教師要善于捕捉學生在回答問題，闡述答案及解答題目過程中所展現(xiàn)出的思維結構，通過給學生列舉并做相應的類比，讓學生自身構筑提高類比思維的元認知.

例如教師可以抽出課堂的十分鐘時間，總結不同的同學對同一高中數(shù)學例題求解的思維，有的學生善于運用“由表及里”的思維，有的學生善于運用“由簡到難”的思維，而有的學生喜歡運用反證法這種“逆向”思維.通過類比，幫助學生發(fā)展思維，提高學生的思維能力.

（三）教師要善于將類比思維與教學模式相結合，增強學生互動的同時，幫助學生提高類比思維能力.當下我們在高中數(shù)學授課過程中，經(jīng)常用到的教學模式有合作學習模式、交互式學習模式、情境式學習模式、多媒體技術學習模式等，教師可以將類比思想與這些教學模式和教學方法相結合，在點滴滲透的過程中應用類比方式，真正做到科學而精妙地使用.

例如，教師在講解高中數(shù)學知識“二面角”的時候，由于涉及空間幾何知識，不妨選用多媒體課件教學模式，通過制作一些形象、生動的幾何圖形幫助學生正確理解二面角的定義，與此同時教師也要把握將初中數(shù)學知識“角的認識”，與“二面角”的知識做類比，通過不斷歸納和探討，讓學生真正掌握“二面角”的基本定義和性質及求解方法.

三、類比思想在高中數(shù)學解題中的應用

高中數(shù)學解題過程中基本上百分之十的題目都會用到類比思想，因此類比思想在高中數(shù)學解題中的重要作用顯而易見.

（一）類比思想與數(shù)形結合思想在數(shù)與數(shù)解題過程中的應用.

例如：y=■的最值問題。

解：

y=■？圯2y+ysinx=3-cosx？圯ysinx+cosx=3-2y？圯

■sin（x+θ）=3-2y？圯sin（x+θ）=■？圯|■|≤1

？圯|3-2y|≤■？圯（3-2y）■≤y■ +1？圯3y■ -12y+8≤0？圯

■≤y≤■？圯y■=■，y■=■.我們也可以將原式類比于斜率公式k=■，因此我們不妨迅速地運用數(shù)形結合思想進行求解.

（二）類比思想在三角函數(shù)中的應用.

例如化簡：

y=sin2xsin2ysin2z+sin（x+y）sin（y+z）sin（z+x）+

sin（x+z）sin（y+z）sin（y+x）-sin（y+x）sin2zsin（x+y）-

sin（y+z）sin（z+y）sin2x-sin（z+x）sin（x+z）sin2y

在解這道例題的時候我們要注意類比

sin（α±β）=sinα±sinβ和cos（α±β）=cosα±cosβ與

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ和cos（α±β）=cosαcosβ？芎sinαsinβ

二者之間誰對誰錯，不要用錯.

（三）類比思想在立體幾何中的應用.

例如已知：在三角形中存在余弦定理：a■=b■ +c■ -2bccosA，那么，在三棱柱ABC-A■ B■ C■ 中存在關系（假設α表示平面BCC■ B■ 與平面ACC■ A■ 所成的二面角）：S■■=S■■+2S■■-2S■S■cosα.不難發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學解題過程中還有很多技巧都要運用到類比思想，筆者通過多年在高中數(shù)學教學一線實踐的經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)在教學過程中滲透類比思想往往能夠幫助學生樹立解題的自信心，掌握一定的類比方法解題技巧，針對不同的題目采用對應的方式，使得解題快速而高效.

綜上所述，本文從三個方面分析了類比思維在高中數(shù)學教學中的廣泛應用，無論是在教學上還是解題上都顯示出類比方法的不可替代性，因此，努力拓展類比思維的不同應用是每一位高中數(shù)學教師展開教研工作的一大方向，同時在教學中不斷滲透類比思維方法，幫助學生構筑類比思維，提高學生的思維能力和創(chuàng)造能力，我們責無旁貸.希望本文的闡述能夠為廣大教育同仁帶來幫助，也愿意與同行共同探討這方面的理論與方法.

參考文獻：

[1]任子超.能力測試與試題設計[J].北京教育出版社，2003.

[2]顧國章.高考對類比推理的考查[J].中學數(shù)學，2008，2.endprint

摘 要： 學習數(shù)學需要運用多種不同的數(shù)學思維，類比思維是眾多數(shù)學思維中運用普遍且有效的思維方式之一.高中數(shù)學知識點繁多，學好抽象且復雜的定理、概念、性質和解題方法都需要學生具備一定的數(shù)學思維，掌握一定的數(shù)學方法，如果培養(yǎng)學生形成良好的類比思維，運用有效的類比方法解答高考題目，就能夠在高考中收到意想不到的效果.

關鍵詞： 高中數(shù)學教學 類比思維 科學運用

類比思想由來已久，我國古代有名的木匠魯班看到有一種帶有齒狀的樹葉，因此他根據(jù)類比思維發(fā)明了一種工具——鋸，大大提高了古代勞動人民的勞動力和生產(chǎn)力.16世紀曾經(jīng)著名的科學家牛頓就曾經(jīng)運用類比思維將自由落體這一運動與天體的運動作比較，最終得到推動人類進步的偉大定律——萬有引力定律.不難發(fā)現(xiàn)，無論是古代中國的文明進化還是西方科學的發(fā)展，類比思想都伴隨著人類的智慧而不斷發(fā)展.正因為類比思想具有這樣重要的地位，所以我們在高中數(shù)學教學中，深入分析和探討類比方法在高考解題中的應用，對于提高高中數(shù)學質量，幫助學生在高考中獲勝具有非常深遠的意義.

一、類比思想和類比方法的含義

所謂類比思想就是指將本質上或者形態(tài)上存在著相似或者相同的對象進行研究，找到其共同點的一種思維方式.這種思維方法在數(shù)學中的應用比較廣泛，需要學生在不斷深入練習的時候體味.

所謂類比方法就是運用類比思想求解一些實際問題的過程中總結到的一些實際操作性強的方式.這在數(shù)學學習中表現(xiàn)為具體應用類比思維進行解題的技巧.

二、類比思想在高中數(shù)學教學中的應用

高中數(shù)學教師要在教學實踐的基礎上滲透類比思想，引導學生更好地培養(yǎng)類比思維解題意識，在教學中強調類比學習的優(yōu)勢和地位，提高學生的思維能力.

（一）教師要善于在課堂基礎概念、性質及定理中應用類比思想.高中知識點紛繁復雜，盡管如此，一些知識點是緊密聯(lián)系的，教師要善于將知識點合理遷移，通過設計圖標類板書，給學生以直觀的類比思想展示，不斷地促進學生運用類比遷移知識學習概念和性質等知識點.

例如，教師在講解橢圓和雙曲線這兩部分內容的時候，可以在板書設計上展示如下類比模型，通過類比二者的不同和相同處，讓學生透徹理解并掌握橢圓和雙曲線這兩個對象的表達式和圖像及性質.

（二）教師要善于總結思維方式，將不同的思維結構進行類比.其實，高中生的思維發(fā)展已經(jīng)基本成熟，因此他們具備很多成人式的“思維結構”.教師要善于捕捉學生在回答問題，闡述答案及解答題目過程中所展現(xiàn)出的思維結構，通過給學生列舉并做相應的類比，讓學生自身構筑提高類比思維的元認知.

例如教師可以抽出課堂的十分鐘時間，總結不同的同學對同一高中數(shù)學例題求解的思維，有的學生善于運用“由表及里”的思維，有的學生善于運用“由簡到難”的思維，而有的學生喜歡運用反證法這種“逆向”思維.通過類比，幫助學生發(fā)展思維，提高學生的思維能力.

（三）教師要善于將類比思維與教學模式相結合，增強學生互動的同時，幫助學生提高類比思維能力.當下我們在高中數(shù)學授課過程中，經(jīng)常用到的教學模式有合作學習模式、交互式學習模式、情境式學習模式、多媒體技術學習模式等，教師可以將類比思想與這些教學模式和教學方法相結合，在點滴滲透的過程中應用類比方式，真正做到科學而精妙地使用.

例如，教師在講解高中數(shù)學知識“二面角”的時候，由于涉及空間幾何知識，不妨選用多媒體課件教學模式，通過制作一些形象、生動的幾何圖形幫助學生正確理解二面角的定義，與此同時教師也要把握將初中數(shù)學知識“角的認識”，與“二面角”的知識做類比，通過不斷歸納和探討，讓學生真正掌握“二面角”的基本定義和性質及求解方法.

三、類比思想在高中數(shù)學解題中的應用

高中數(shù)學解題過程中基本上百分之十的題目都會用到類比思想，因此類比思想在高中數(shù)學解題中的重要作用顯而易見.

（一）類比思想與數(shù)形結合思想在數(shù)與數(shù)解題過程中的應用.

例如：y=■的最值問題。

解：

y=■？圯2y+ysinx=3-cosx？圯ysinx+cosx=3-2y？圯

■sin（x+θ）=3-2y？圯sin（x+θ）=■？圯|■|≤1

？圯|3-2y|≤■？圯（3-2y）■≤y■ +1？圯3y■ -12y+8≤0？圯

■≤y≤■？圯y■=■，y■=■.我們也可以將原式類比于斜率公式k=■，因此我們不妨迅速地運用數(shù)形結合思想進行求解.

（二）類比思想在三角函數(shù)中的應用.

例如化簡：

y=sin2xsin2ysin2z+sin（x+y）sin（y+z）sin（z+x）+

sin（x+z）sin（y+z）sin（y+x）-sin（y+x）sin2zsin（x+y）-

sin（y+z）sin（z+y）sin2x-sin（z+x）sin（x+z）sin2y

在解這道例題的時候我們要注意類比

sin（α±β）=sinα±sinβ和cos（α±β）=cosα±cosβ與

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ和cos（α±β）=cosαcosβ？芎sinαsinβ

二者之間誰對誰錯，不要用錯.

（三）類比思想在立體幾何中的應用.

例如已知：在三角形中存在余弦定理：a■=b■ +c■ -2bccosA，那么，在三棱柱ABC-A■ B■ C■ 中存在關系（假設α表示平面BCC■ B■ 與平面ACC■ A■ 所成的二面角）：S■■=S■■+2S■■-2S■S■cosα.不難發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學解題過程中還有很多技巧都要運用到類比思想，筆者通過多年在高中數(shù)學教學一線實踐的經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)在教學過程中滲透類比思想往往能夠幫助學生樹立解題的自信心，掌握一定的類比方法解題技巧，針對不同的題目采用對應的方式，使得解題快速而高效.

綜上所述，本文從三個方面分析了類比思維在高中數(shù)學教學中的廣泛應用，無論是在教學上還是解題上都顯示出類比方法的不可替代性，因此，努力拓展類比思維的不同應用是每一位高中數(shù)學教師展開教研工作的一大方向，同時在教學中不斷滲透類比思維方法，幫助學生構筑類比思維，提高學生的思維能力和創(chuàng)造能力，我們責無旁貸.希望本文的闡述能夠為廣大教育同仁帶來幫助，也愿意與同行共同探討這方面的理論與方法.

參考文獻：

[1]任子超.能力測試與試題設計[J].北京教育出版社，2003.

[2]顧國章.高考對類比推理的考查[J].中學數(shù)學，2008，2.endprint

摘 要： 學習數(shù)學需要運用多種不同的數(shù)學思維，類比思維是眾多數(shù)學思維中運用普遍且有效的思維方式之一.高中數(shù)學知識點繁多，學好抽象且復雜的定理、概念、性質和解題方法都需要學生具備一定的數(shù)學思維，掌握一定的數(shù)學方法，如果培養(yǎng)學生形成良好的類比思維，運用有效的類比方法解答高考題目，就能夠在高考中收到意想不到的效果.

關鍵詞： 高中數(shù)學教學 類比思維 科學運用

類比思想由來已久，我國古代有名的木匠魯班看到有一種帶有齒狀的樹葉，因此他根據(jù)類比思維發(fā)明了一種工具——鋸，大大提高了古代勞動人民的勞動力和生產(chǎn)力.16世紀曾經(jīng)著名的科學家牛頓就曾經(jīng)運用類比思維將自由落體這一運動與天體的運動作比較，最終得到推動人類進步的偉大定律——萬有引力定律.不難發(fā)現(xiàn)，無論是古代中國的文明進化還是西方科學的發(fā)展，類比思想都伴隨著人類的智慧而不斷發(fā)展.正因為類比思想具有這樣重要的地位，所以我們在高中數(shù)學教學中，深入分析和探討類比方法在高考解題中的應用，對于提高高中數(shù)學質量，幫助學生在高考中獲勝具有非常深遠的意義.

一、類比思想和類比方法的含義

所謂類比思想就是指將本質上或者形態(tài)上存在著相似或者相同的對象進行研究，找到其共同點的一種思維方式.這種思維方法在數(shù)學中的應用比較廣泛，需要學生在不斷深入練習的時候體味.

所謂類比方法就是運用類比思想求解一些實際問題的過程中總結到的一些實際操作性強的方式.這在數(shù)學學習中表現(xiàn)為具體應用類比思維進行解題的技巧.

二、類比思想在高中數(shù)學教學中的應用

高中數(shù)學教師要在教學實踐的基礎上滲透類比思想，引導學生更好地培養(yǎng)類比思維解題意識，在教學中強調類比學習的優(yōu)勢和地位，提高學生的思維能力.

（一）教師要善于在課堂基礎概念、性質及定理中應用類比思想.高中知識點紛繁復雜，盡管如此，一些知識點是緊密聯(lián)系的，教師要善于將知識點合理遷移，通過設計圖標類板書，給學生以直觀的類比思想展示，不斷地促進學生運用類比遷移知識學習概念和性質等知識點.

例如，教師在講解橢圓和雙曲線這兩部分內容的時候，可以在板書設計上展示如下類比模型，通過類比二者的不同和相同處，讓學生透徹理解并掌握橢圓和雙曲線這兩個對象的表達式和圖像及性質.

（二）教師要善于總結思維方式，將不同的思維結構進行類比.其實，高中生的思維發(fā)展已經(jīng)基本成熟，因此他們具備很多成人式的“思維結構”.教師要善于捕捉學生在回答問題，闡述答案及解答題目過程中所展現(xiàn)出的思維結構，通過給學生列舉并做相應的類比，讓學生自身構筑提高類比思維的元認知.

例如教師可以抽出課堂的十分鐘時間，總結不同的同學對同一高中數(shù)學例題求解的思維，有的學生善于運用“由表及里”的思維，有的學生善于運用“由簡到難”的思維，而有的學生喜歡運用反證法這種“逆向”思維.通過類比，幫助學生發(fā)展思維，提高學生的思維能力.

（三）教師要善于將類比思維與教學模式相結合，增強學生互動的同時，幫助學生提高類比思維能力.當下我們在高中數(shù)學授課過程中，經(jīng)常用到的教學模式有合作學習模式、交互式學習模式、情境式學習模式、多媒體技術學習模式等，教師可以將類比思想與這些教學模式和教學方法相結合，在點滴滲透的過程中應用類比方式，真正做到科學而精妙地使用.

例如，教師在講解高中數(shù)學知識“二面角”的時候，由于涉及空間幾何知識，不妨選用多媒體課件教學模式，通過制作一些形象、生動的幾何圖形幫助學生正確理解二面角的定義，與此同時教師也要把握將初中數(shù)學知識“角的認識”，與“二面角”的知識做類比，通過不斷歸納和探討，讓學生真正掌握“二面角”的基本定義和性質及求解方法.

三、類比思想在高中數(shù)學解題中的應用

高中數(shù)學解題過程中基本上百分之十的題目都會用到類比思想，因此類比思想在高中數(shù)學解題中的重要作用顯而易見.

（一）類比思想與數(shù)形結合思想在數(shù)與數(shù)解題過程中的應用.

例如：y=■的最值問題。

解：

y=■？圯2y+ysinx=3-cosx？圯ysinx+cosx=3-2y？圯

■sin（x+θ）=3-2y？圯sin（x+θ）=■？圯|■|≤1

？圯|3-2y|≤■？圯（3-2y）■≤y■ +1？圯3y■ -12y+8≤0？圯

■≤y≤■？圯y■=■，y■=■.我們也可以將原式類比于斜率公式k=■，因此我們不妨迅速地運用數(shù)形結合思想進行求解.

（二）類比思想在三角函數(shù)中的應用.

例如化簡：

y=sin2xsin2ysin2z+sin（x+y）sin（y+z）sin（z+x）+

sin（x+z）sin（y+z）sin（y+x）-sin（y+x）sin2zsin（x+y）-

sin（y+z）sin（z+y）sin2x-sin（z+x）sin（x+z）sin2y

在解這道例題的時候我們要注意類比

sin（α±β）=sinα±sinβ和cos（α±β）=cosα±cosβ與

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ和cos（α±β）=cosαcosβ？芎sinαsinβ

二者之間誰對誰錯，不要用錯.

（三）類比思想在立體幾何中的應用.

例如已知：在三角形中存在余弦定理：a■=b■ +c■ -2bccosA，那么，在三棱柱ABC-A■ B■ C■ 中存在關系（假設α表示平面BCC■ B■ 與平面ACC■ A■ 所成的二面角）：S■■=S■■+2S■■-2S■S■cosα.不難發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學解題過程中還有很多技巧都要運用到類比思想，筆者通過多年在高中數(shù)學教學一線實踐的經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)在教學過程中滲透類比思想往往能夠幫助學生樹立解題的自信心，掌握一定的類比方法解題技巧，針對不同的題目采用對應的方式，使得解題快速而高效.

綜上所述，本文從三個方面分析了類比思維在高中數(shù)學教學中的廣泛應用，無論是在教學上還是解題上都顯示出類比方法的不可替代性，因此，努力拓展類比思維的不同應用是每一位高中數(shù)學教師展開教研工作的一大方向，同時在教學中不斷滲透類比思維方法，幫助學生構筑類比思維，提高學生的思維能力和創(chuàng)造能力，我們責無旁貸.希望本文的闡述能夠為廣大教育同仁帶來幫助，也愿意與同行共同探討這方面的理論與方法.

參考文獻：

[1]任子超.能力測試與試題設計[J].北京教育出版社，2003.

[2]顧國章.高考對類比推理的考查[J].中學數(shù)學，2008，2.endprint