分析物理試題中的數(shù)學(xué)味道

李虎

眾所周知，數(shù)學(xué)是物理學(xué)習(xí)的工具。沒(méi)有數(shù)學(xué)能力做支撐，物理的學(xué)習(xí)就像無(wú)本之木、無(wú)源之水，物理的深入學(xué)習(xí)將十分有限。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力是學(xué)生必須掌握的能力之一，也是高考考試說(shuō)明中要求的五種能力之一。而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力是一個(gè)系統(tǒng)的工程，絕非一朝一夕能養(yǎng)成。而在高三復(fù)習(xí)中，挖掘高考試題中的數(shù)學(xué)元素，卻不失為一種有效的訓(xùn)練手段。本文從五道物理試題數(shù)學(xué)元素的分析，提取了“不等式的性質(zhì)系、冪的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、解析幾何、均值不等式、平面幾何圓的知識(shí)及函數(shù)思想”等數(shù)學(xué)知識(shí)在解決物理問(wèn)題中的應(yīng)用，充分彰顯了數(shù)學(xué)的工具功能。

一、不等式的性質(zhì)在物理判斷題中的應(yīng)用

【例1】（2013·廣東卷，20，雙選）如圖1，物體P靜止于固定的斜面上，P的上表面水平?，F(xiàn)把物體Q輕輕地疊放在P上，則：（ ）

A. P向下滑動(dòng)

B. P靜止不動(dòng)

C. P所受的合外力增大

D. P與斜面間的靜摩擦力增大

分析：此題以共點(diǎn)力的平衡為載體考察了動(dòng)摩擦因數(shù)和斜面傾角的關(guān)系對(duì)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的判斷。物體靜止于固定的斜面上，則mgsin=f≤fm=mgcos?，F(xiàn)把物體Q輕輕地疊放在P上，斜劈是仍然保持靜止，還是會(huì)沿斜面加速下滑？取決于重力沿斜面向下的分力（m+m′）gsin與最大靜摩擦力fm=（m+m′）gcos大小關(guān)系?，F(xiàn)推導(dǎo)如下：

如果學(xué)生平時(shí)沒(méi)有形成如下結(jié)論：將物體由靜止放置在傾角為的斜面上，若≥tan，物體將靜止在斜面上；若

答案：BD

二、冪的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)與物理規(guī)律的圖像表述

【例2】（2010·課標(biāo)全國(guó)，20，6分）太陽(yáng)系中的8大行星的軌道均可以近似看成圓軌道.下列4幅圖是用來(lái)描述這些行星運(yùn)動(dòng)所遵從的某一規(guī)律的圖象.圖中坐標(biāo)系的橫軸是lg（T/T0），縱軸是lg（R/R0）；這里T和R分別是行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期和相應(yīng)的圓軌道半徑，T0和R0分別是水星繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期和相應(yīng)的圓軌道半徑.下列4幅圖中正確的是（ ）

分析：由開普勒第三定律，得=；變形，得=；由冪的性質(zhì)，得（）=（）兩邊取對(duì)數(shù)，得lg（）= lg（）；由對(duì)數(shù)的性質(zhì)，得3lg（）=21g（），最終得到 lg（）=lg（）為正比例函數(shù)圖像，比例系數(shù)為，故B答案正確?？忌鷱拈_普勒第三定律到推導(dǎo)出lg（）與1g（）的函數(shù)關(guān)系lg（）=1g（），除了要具備一定的直覺(jué)思維外，還要具備熟練的數(shù)學(xué)技能如冪的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)，才能快速作答。而這靠考場(chǎng)上臨場(chǎng)發(fā)揮是很難做到的，需要平時(shí)有意識(shí)的訓(xùn)練。

三、均值不等式與解析幾何拋物線的知識(shí)

【例3】（2012·大綱全國(guó)卷，26）一探險(xiǎn)隊(duì)員在探險(xiǎn)時(shí)遇到一山溝，山溝的一側(cè)豎直，另一側(cè)的坡面呈拋物線形狀。此隊(duì)員從山溝的豎直一側(cè)，以速度v0沿水平方向跳向另一側(cè)坡面。如圖3所示，以溝底的O點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Oxy。已知，山溝豎直一側(cè)的高度為2h，坡面的拋物線方程為y=x2，探險(xiǎn)隊(duì)員的質(zhì)量為m。人視為質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力，重力加速度為g。

（1）求此人落到坡面時(shí)的動(dòng)能；

（2）此人水平跳出的速度為多大時(shí)，他落在坡面時(shí)的動(dòng)能最小？動(dòng)能的最小值為多少？

分析：設(shè)該運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，在坡面上落點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）依題意，得y=x2 ①

由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，得x=v0t ②

2h-y=gt2 ③

對(duì)人做平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由動(dòng)能定理，得：

mg（2h-y）=Ek-mv02 ④

聯(lián)立①②③④解得Ek=m（v02+） ⑤

（2）由⑤式得Ek=m[（v02+gh）+-gh]

≥m·[2-gh]=mgh

當(dāng)且僅當(dāng)v02+gh=即v0=時(shí)取“=”

故此人跳出的速度為v0=時(shí)，他落在斜坡時(shí)的動(dòng)能最小，最小值為mgh此題不是難在物理，而是難在數(shù)學(xué)，障礙有：（1）位置的坐標(biāo)表示，落在斜坡上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線方程；（2）應(yīng)用均值不等式求最值和取最值的條件。如果考生不具備良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在考場(chǎng)是很難做出的，是一道數(shù)學(xué)味道很濃的物理高考題。

四、尺規(guī)作圖與平面幾何圓的知識(shí)

【例4】（2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ，18）如圖4，半徑為R的圓是一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面（紙面），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，一電荷量為q（q>0）、質(zhì)量為的粒子沿平行于直徑ab的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，射入點(diǎn)與ab的距離為。已知粒子射出磁場(chǎng)與射入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角為60°，則粒子的速率為（不計(jì)重力）

A. B.

C. D.

分析：帶電粒子垂直磁感線進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡圓和磁場(chǎng)區(qū)域圓相交，兩圓心的連線與弦（射入點(diǎn)、射出點(diǎn)連線）垂直平分。運(yùn)動(dòng)方向改變了60°，故磁偏轉(zhuǎn)的圓心角為60°，據(jù)此可先做出軌跡圓的示意圖，再做相匹配的磁場(chǎng)區(qū)域圓的示意圖，通過(guò)幾何證明：磁場(chǎng)區(qū)域圓的圓心、軌跡圓的圓心及射入點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形，即可順利求解。本題設(shè)置的障礙是：先給出了磁場(chǎng)區(qū)域圓的示意圖，考生據(jù)此畫軌跡圓的示意圖，卻很難畫出符合要求的圖形來(lái)，造成解題的困難，正中了命題者的圈套。如果考生能將數(shù)學(xué)平面幾何中的圓相交的知識(shí)應(yīng)用到此題來(lái)，主動(dòng)跳出題目陷阱，解答此題便是順理成章的事。通過(guò)幾何作圖和幾何證明，軌跡圓的半徑r=R，由牛頓第二定律，得qvB=m，聯(lián)立求解v=，故B答案正確。

五、應(yīng)用函數(shù)思想分析取最值的條件

【例5】（2013·揭陽(yáng)模擬）如圖5所示為某娛樂(lè)場(chǎng)的滑道示意圖，其中AB為曲面滑道，BC為水平滑道，水平滑道BC與半徑為1.6 m的圓弧滑道CD相切，DE為放在水平地面上的海綿墊.某人從坡頂滑下，經(jīng)過(guò)高度差為20 m的A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)的速度分別為2 m/s和12 m/s，在C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，最后落在海綿墊上E點(diǎn).人的質(zhì)量為70 kg，在BC段的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2.問(wèn)：

（1）從A到B的過(guò)程中，人克服阻力做的功是多少？

（2）為保證在C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，BC的最大值是多少？

（3）若BC取最大值，則DE的長(zhǎng)是多少？

分析：（1）設(shè)克服阻力做的功為Wf，則阻力做功為-Wf

對(duì)人從A→B過(guò)程，由動(dòng)能定理，得mgh-Wf =mvB2-mvA2 ①

解得Wf =9100J ②

（2）從C點(diǎn)飛出曲率半徑恰好為圓弧半徑時(shí)，BC的長(zhǎng)度取最大值在C點(diǎn)，只有重力提供向心力，由牛頓第二定律，得mg=m ③

對(duì)人從B→C過(guò)程，由動(dòng)能定理，得

-umgl=mvC2-mvB2 ④

聯(lián)立③④解得l=32m ⑤

即BC的最大值為32m.

（3）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得R=gt2 ⑥

s+R=vCt ⑦

聯(lián)立③⑥⑦解得s=0.66m ⑧

點(diǎn)評(píng)：此題難在第（2）問(wèn)，第（2）問(wèn)又難在分析取值的條件：要保證在C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，飛出時(shí)只有重力提供向心力，mg=m（為曲率半徑），推出“曲率半徑越小，C點(diǎn)的速度越?。籆點(diǎn)速度越小，BC的長(zhǎng)度越大（可由-umgl= mvC2-mvB2l=推出）”；結(jié)合圓弧軌道限制條件，≥R，故曲率半徑恰好為圓弧軌道的半徑時(shí)，BC取最大值。函數(shù)關(guān)系就是變量和變量之間的依賴關(guān)系；而物理中的關(guān)系式是物理量和物理量之間關(guān)系，當(dāng)一個(gè)物理量變化，必然引起相關(guān)的物理量發(fā)生變化，其實(shí)就是一種函數(shù)變化關(guān)系。

除此之外，像解直角三角形與矢量的合成與分解、三角函數(shù)與正弦交流電、平面向量與矢量運(yùn)算、數(shù)量積與功的表達(dá)式、y=asinx+bcosx求最值等都是數(shù)學(xué)物理結(jié)合的典型題材。以上幾個(gè)例子只是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的一個(gè)縮影，但卻很好地詮釋了恰當(dāng)應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題的方便性、快捷性和有效性，往往可以達(dá)到出奇制勝、事半功倍的效果。因此，廣大物理教師在平時(shí)的教學(xué)中要善于挖掘數(shù)學(xué)與物理的結(jié)合點(diǎn)，盡可能地將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到物理中來(lái)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具功能，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的理論探究水平和能力，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展和提高思維品質(zhì)。

（作者單位：臺(tái)山一中大江實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

責(zé)任編校 李平安endprint

【例5】（2013·揭陽(yáng)模擬）如圖5所示為某娛樂(lè)場(chǎng)的滑道示意圖，其中AB為曲面滑道，BC為水平滑道，水平滑道BC與半徑為1.6 m的圓弧滑道CD相切，DE為放在水平地面上的海綿墊.某人從坡頂滑下，經(jīng)過(guò)高度差為20 m的A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)的速度分別為2 m/s和12 m/s，在C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，最后落在海綿墊上E點(diǎn).人的質(zhì)量為70 kg，在BC段的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2.問(wèn)：

（1）從A到B的過(guò)程中，人克服阻力做的功是多少？

（2）為保證在C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，BC的最大值是多少？

（3）若BC取最大值，則DE的長(zhǎng)是多少？

分析：（1）設(shè)克服阻力做的功為Wf，則阻力做功為-Wf

對(duì)人從A→B過(guò)程，由動(dòng)能定理，得mgh-Wf =mvB2-mvA2 ①

解得Wf =9100J ②

（2）從C點(diǎn)飛出曲率半徑恰好為圓弧半徑時(shí)，BC的長(zhǎng)度取最大值在C點(diǎn)，只有重力提供向心力，由牛頓第二定律，得mg=m ③

對(duì)人從B→C過(guò)程，由動(dòng)能定理，得

-umgl=mvC2-mvB2 ④

聯(lián)立③④解得l=32m ⑤

即BC的最大值為32m.

（3）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得R=gt2 ⑥

s+R=vCt ⑦

聯(lián)立③⑥⑦解得s=0.66m ⑧

點(diǎn)評(píng)：此題難在第（2）問(wèn)，第（2）問(wèn)又難在分析取值的條件：要保證在C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，飛出時(shí)只有重力提供向心力，mg=m（為曲率半徑），推出“曲率半徑越小，C點(diǎn)的速度越??；C點(diǎn)速度越小，BC的長(zhǎng)度越大（可由-umgl= mvC2-mvB2l=推出）”；結(jié)合圓弧軌道限制條件，≥R，故曲率半徑恰好為圓弧軌道的半徑時(shí)，BC取最大值。函數(shù)關(guān)系就是變量和變量之間的依賴關(guān)系；而物理中的關(guān)系式是物理量和物理量之間關(guān)系，當(dāng)一個(gè)物理量變化，必然引起相關(guān)的物理量發(fā)生變化，其實(shí)就是一種函數(shù)變化關(guān)系。

除此之外，像解直角三角形與矢量的合成與分解、三角函數(shù)與正弦交流電、平面向量與矢量運(yùn)算、數(shù)量積與功的表達(dá)式、y=asinx+bcosx求最值等都是數(shù)學(xué)物理結(jié)合的典型題材。以上幾個(gè)例子只是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的一個(gè)縮影，但卻很好地詮釋了恰當(dāng)應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題的方便性、快捷性和有效性，往往可以達(dá)到出奇制勝、事半功倍的效果。因此，廣大物理教師在平時(shí)的教學(xué)中要善于挖掘數(shù)學(xué)與物理的結(jié)合點(diǎn)，盡可能地將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到物理中來(lái)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具功能，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的理論探究水平和能力，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展和提高思維品質(zhì)。

（作者單位：臺(tái)山一中大江實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

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【例5】（2013·揭陽(yáng)模擬）如圖5所示為某娛樂(lè)場(chǎng)的滑道示意圖，其中AB為曲面滑道，BC為水平滑道，水平滑道BC與半徑為1.6 m的圓弧滑道CD相切，DE為放在水平地面上的海綿墊.某人從坡頂滑下，經(jīng)過(guò)高度差為20 m的A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)的速度分別為2 m/s和12 m/s，在C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，最后落在海綿墊上E點(diǎn).人的質(zhì)量為70 kg，在BC段的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2.問(wèn)：

（1）從A到B的過(guò)程中，人克服阻力做的功是多少？

（2）為保證在C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，BC的最大值是多少？

（3）若BC取最大值，則DE的長(zhǎng)是多少？

分析：（1）設(shè)克服阻力做的功為Wf，則阻力做功為-Wf

對(duì)人從A→B過(guò)程，由動(dòng)能定理，得mgh-Wf =mvB2-mvA2 ①

解得Wf =9100J ②

（2）從C點(diǎn)飛出曲率半徑恰好為圓弧半徑時(shí)，BC的長(zhǎng)度取最大值在C點(diǎn)，只有重力提供向心力，由牛頓第二定律，得mg=m ③

對(duì)人從B→C過(guò)程，由動(dòng)能定理，得

-umgl=mvC2-mvB2 ④

聯(lián)立③④解得l=32m ⑤

即BC的最大值為32m.

（3）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得R=gt2 ⑥

s+R=vCt ⑦

聯(lián)立③⑥⑦解得s=0.66m ⑧

點(diǎn)評(píng)：此題難在第（2）問(wèn)，第（2）問(wèn)又難在分析取值的條件：要保證在C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，飛出時(shí)只有重力提供向心力，mg=m（為曲率半徑），推出“曲率半徑越小，C點(diǎn)的速度越??；C點(diǎn)速度越小，BC的長(zhǎng)度越大（可由-umgl= mvC2-mvB2l=推出）”；結(jié)合圓弧軌道限制條件，≥R，故曲率半徑恰好為圓弧軌道的半徑時(shí)，BC取最大值。函數(shù)關(guān)系就是變量和變量之間的依賴關(guān)系；而物理中的關(guān)系式是物理量和物理量之間關(guān)系，當(dāng)一個(gè)物理量變化，必然引起相關(guān)的物理量發(fā)生變化，其實(shí)就是一種函數(shù)變化關(guān)系。

除此之外，像解直角三角形與矢量的合成與分解、三角函數(shù)與正弦交流電、平面向量與矢量運(yùn)算、數(shù)量積與功的表達(dá)式、y=asinx+bcosx求最值等都是數(shù)學(xué)物理結(jié)合的典型題材。以上幾個(gè)例子只是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的一個(gè)縮影，但卻很好地詮釋了恰當(dāng)應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題的方便性、快捷性和有效性，往往可以達(dá)到出奇制勝、事半功倍的效果。因此，廣大物理教師在平時(shí)的教學(xué)中要善于挖掘數(shù)學(xué)與物理的結(jié)合點(diǎn)，盡可能地將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到物理中來(lái)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具功能，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的理論探究水平和能力，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展和提高思維品質(zhì)。

（作者單位：臺(tái)山一中大江實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

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