復(fù)變函數(shù)課程的有效教學(xué)策略探究

羅世堯

摘 要： 復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本、?？频囊婚T重要基礎(chǔ)課程。復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)定理多，概念抽象，學(xué)習(xí)難點(diǎn)多，由于受傳統(tǒng)教學(xué)模式的制約，歷來都存在難教難學(xué)的問題。作者結(jié)合自己多年的教學(xué)經(jīng)歷，就在教學(xué)中如何改革教學(xué)模式，進(jìn)一步提高教學(xué)效率，讓學(xué)生全面系統(tǒng)地理解和掌握復(fù)變函數(shù)的理論和方法，并提出教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞： 復(fù)變函數(shù) 重點(diǎn) 難點(diǎn) 教學(xué)策略

引言

復(fù)變函數(shù)課程是高等師范大學(xué)和綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)類專業(yè)本、專科的一門重要基礎(chǔ)課。復(fù)變函數(shù)論主要研究對(duì)象是解析函數(shù)，是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程，是實(shí)變函數(shù)微積分理論的推廣和發(fā)展；復(fù)變函數(shù)論又稱復(fù)分析，它不僅在內(nèi)容上與實(shí)變函數(shù)微積分有許多類似之處，而且在研究問題方面與邏輯結(jié)構(gòu)方面非常類似。復(fù)變函數(shù)論不僅是我們所學(xué)數(shù)學(xué)分析的理論推廣，而且作為一種強(qiáng)有力的工具，已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的眾多領(lǐng)域，如理論物理、空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)及自動(dòng)控制學(xué)等，目前被廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、電子工程等領(lǐng)域。

作為高師數(shù)學(xué)專業(yè)復(fù)變函數(shù)課程的主講老師，我在多年的教學(xué)實(shí)踐中不斷進(jìn)行深入的思考、探索，積累了一些經(jīng)驗(yàn)，在教學(xué)模式的改革方面進(jìn)行了一些嘗試，下面談?wù)勛约旱慕虒W(xué)體會(huì)。

1.加強(qiáng)復(fù)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)

教材第一章主要講有關(guān)復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)的基本概念，雖然學(xué)生在高中學(xué)過復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，但由于該內(nèi)容不是高考內(nèi)容，中學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)這部分內(nèi)容一般都是略講，大多數(shù)學(xué)生都沒有學(xué)好；而這部分內(nèi)容作為復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，不僅是復(fù)變函數(shù)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)關(guān)鍵，而且對(duì)學(xué)生以后從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)很重要。以前在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)計(jì)劃中，我們把第一章的課時(shí)安排為4～6課時(shí)，教學(xué)實(shí)踐證明這個(gè)課時(shí)安排不合理，由于課時(shí)少，復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)沒學(xué)好，嚴(yán)重影響后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)，所以在近幾年的教學(xué)中，我們一般都安排8～10課時(shí)，其目的是夯實(shí)基礎(chǔ)，深刻理解復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)的有關(guān)概念，相關(guān)方法，重點(diǎn)理解幅角的無窮多值性、區(qū)域的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的幾何表示，掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算方法及復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)的研究方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)解析函數(shù)打下良好的基礎(chǔ)。

2.加強(qiáng)知識(shí)類比與同化

數(shù)學(xué)分析與復(fù)變函數(shù)相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)比：

從上面我們可以看出數(shù)學(xué)分析和復(fù)變函數(shù)的一些知識(shí)點(diǎn)的關(guān)系，復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程，復(fù)變函數(shù)課程中有很多概念、性質(zhì)、定理都是從數(shù)學(xué)分析平移過來的，因此，在復(fù)變函數(shù)教學(xué)時(shí)要加強(qiáng)與數(shù)學(xué)分析的聯(lián)系，即利用學(xué)生已有的分析基礎(chǔ)，發(fā)揮知識(shí)的遷移作用，促使知識(shí)的同化。在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)中，通過與數(shù)學(xué)分析中的相關(guān)知識(shí)作對(duì)比，可以把數(shù)學(xué)分析中的一些知識(shí)延拓到復(fù)變函數(shù)中。比如數(shù)學(xué)分析中極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分和級(jí)數(shù)有關(guān)概念、性質(zhì)和定理都可以延拓到復(fù)變函數(shù)中，這樣可以極大地提高教學(xué)效率，促進(jìn)學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)理論與方法的理解和掌握。

例如在講授復(fù)變函數(shù)極限概念的過程中可以與二元是函數(shù)的極限概念對(duì)比，利用實(shí)極限幫助學(xué)生對(duì)復(fù)極限的理解。復(fù)變函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）的實(shí)部u（x，y）和虛部v（x，y）都是二元實(shí)函數(shù)，可以把復(fù)變函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)分析中的二元函數(shù)的極限問題，利用不等式|u（x，y）|≤|f（z）|，|v（x，y）|≤|f（z）|，|f（z）|≤|u（x，y）|+|v（x，y）|，可以得到結(jié)論：f（z）在一點(diǎn)z=x+iy有極限的充要條件是u（x，y），v（x，y）這兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)在在該點(diǎn)的極限都存在。

3.抓住重點(diǎn)，注意知識(shí)的系統(tǒng)化

雖然復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程，但復(fù)變函數(shù)不僅僅是數(shù)學(xué)分析的延拓，還有許多和數(shù)學(xué)分析不同的概念與方法，比如：多值函數(shù)、洛朗級(jí)數(shù)與孤立奇點(diǎn)、留數(shù)理論等。在復(fù)變函數(shù)中學(xué)習(xí)的知識(shí)和數(shù)學(xué)分析中學(xué)習(xí)的知識(shí)側(cè)重點(diǎn)也不一樣，比如微分與導(dǎo)數(shù)，數(shù)學(xué)分析主要講微分的概念、意義和計(jì)算，而在復(fù)變函數(shù)中，對(duì)于微分與導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)及計(jì)算是一帶而過，復(fù)變函數(shù)課程重點(diǎn)研究解析函數(shù)。復(fù)變函數(shù)概念多，性質(zhì)定理多，在教學(xué)過程中，既要抓好雙基的教學(xué)，又要突出重點(diǎn)，更要通過總結(jié)、復(fù)習(xí)等教學(xué)環(huán)節(jié)，順著知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)，理清知識(shí)脈絡(luò)，這樣才能讓學(xué)生系統(tǒng)地掌握復(fù)變函數(shù)理論和方法。

例如：在教學(xué)柯西積分定理這一節(jié)時(shí)，柯西積分定理及推廣一共有四個(gè)定理，教學(xué)總結(jié)時(shí)一定要理順這四個(gè)定理的邏輯關(guān)系，即后面的定理包含前面的定理，并指出四個(gè)定理的本質(zhì)是：f（z）在由周線（或復(fù)周線）C圍成的區(qū)域內(nèi)解析，并且連續(xù)到邊界，那么？蘩■f（z）dz=0。在復(fù)習(xí)周線積分？蘩■f（z）dz的計(jì)算時(shí)，可按下列順序逐步判斷并計(jì)算，若f（z）在C內(nèi)不解析，則一般用參數(shù)法計(jì)算；若f（z）在C內(nèi)解析且連續(xù)到邊界，由柯西積分定理有？蘩■f（z）dz=0；若f（z）在C內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn)，利用柯西積分公式計(jì)算；若f（z）在C內(nèi)有多個(gè)奇點(diǎn)，則利用柯西留數(shù)定理計(jì)算。

4.改革教學(xué)模式，充分利用現(xiàn)代教學(xué)手段，突破教學(xué)難點(diǎn)

復(fù)變函數(shù)這門課程，歷來都存在難教難學(xué)的問題，其主要原因：一是這門課程內(nèi)容中存在一些較難的知識(shí)點(diǎn)。比如：初等多值函數(shù)、柯西積分定理、解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)等，這些概念、性質(zhì)、定理抽象、思想方法復(fù)雜，學(xué)生難理解難掌握。二是傳統(tǒng)的教學(xué)模式以教師講授為主，由于板書及語言表述的局限性，不能展現(xiàn)知識(shí)的變化過程，嚴(yán)重影響學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握，滿堂灌的講授更是無法調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。在教學(xué)中要改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，利用現(xiàn)代媒體技術(shù)積極探索新的教學(xué)模式。對(duì)于復(fù)變函數(shù)中的一些難點(diǎn)，我們一方面要充分利用現(xiàn)代教學(xué)手段，利用多媒體動(dòng)態(tài)展示數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過程及變化規(guī)律，另一方面要調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生主動(dòng)參與探究知識(shí)的活動(dòng)，感悟知識(shí)的變化過程，掌握應(yīng)用知識(shí)解決問題的方法，同時(shí)體會(huì)到領(lǐng)悟知識(shí)的愉悅，這樣就能達(dá)到突破教學(xué)難點(diǎn)的目的。

結(jié)語

在復(fù)變函數(shù)課程的教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們要改革傳統(tǒng)的教學(xué)模式，積極探索有效的教學(xué)模式；用先進(jìn)的教學(xué)理念指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程；在教學(xué)過程中既要讓學(xué)生積極參與知識(shí)的探究過程，體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的快樂，又要充分利用現(xiàn)代教學(xué)手段，突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，這樣就能實(shí)現(xiàn)三位一體的教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握復(fù)變函數(shù)的理論和方法。

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