拋物線形斷面正常水深簡化解析式

張麗偉

（齊齊哈爾市河道管理處，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

拋物線形斷面渠道是水利水電灌排及城市供排水工程中的應(yīng)用最廣泛斷面形式之一［1-2］。由于該種斷面水力計算涉及繁復(fù)的超越方程求解，為了提高計算工作效率及成果精度，相關(guān)科研人員已開展了大量卓有成效的研究［3-8］，有關(guān)研究成果也較好地解決了常規(guī)計算方法存在的不足。

由于三次拋物線形斷面正常水深計算涉及不可積分函數(shù)，且為超越方程，因此，到目前為止，有關(guān)拋物線形斷面渠道正常水深簡化計算方面的研究僅限于在半立方拋物線及二次拋物線形兩種斷面［9-10］。在實際工程中，由于受地形、地質(zhì)及過流條件的制約，也因三次拋物線形渠道斷面更接近水力最優(yōu)的U形斷面，因此，三次拋物線形渠道也是實際工程常常采用的斷面形式之一［11］。

本文利用三次拋物線近似積分法完成了三次拋物線形斷面正常水深計算公式中不可積函數(shù)的積分求解，進而完成了相關(guān)無量綱參數(shù)計算，并依據(jù)參數(shù)關(guān)系采用優(yōu)化擬合的方法［12-15］，以標準剩余差最小為目標函數(shù)，經(jīng)逐次逼近擬合，獲得了一種較為簡捷、適用范圍廣、計算精度較高的近似解析式，便于實際推廣應(yīng)用。

1 正常水深基本計算公式

式中 Q為過水流量（m3）；n′為渠床糙率；i為渠底坡降；A 為過水?dāng)嗝婷娣e（m2）；X 為過水濕周（m）。

三次拋物線形斷面曲線方程為：

式中 a為拋物線形斷面形狀參數(shù)。以曼寧公式表示明渠均勻流方程為［16］：其過水?dāng)嗝婷娣e及濕周為

式中 a為拋物線形狀參數(shù)（m2）；B為過水?dāng)嗝嫠鎸挾鹊?1/2（m）。

在式（4）中，僅當(dāng)指數(shù)n為個別值時（如 n=1.5及2.0）函數(shù)可以完成積分，通常情況下均無法通過常規(guī)完成積分。為此，采用二次拋物線近似法完成對式（4）的積分，其計算公式為

式中 N為在函數(shù)自變量x積分區(qū)間［0，B］內(nèi)平均等分的份數(shù)（N應(yīng)為偶數(shù)）；yi為自變量為第i個等分點時被積分函數(shù)的計算值（i=0，1，2，3，…，N）。

在式（3）、式（5）及式（6）中，設(shè)：將式（3）、式（7）～式（9）代入式（1），經(jīng)進一步整理得：

式中 k為已知綜合參數(shù)；z、S均為中間變量。

通過設(shè)定N值，選取不同的z，即可由式（5）完成積分計算。為有效提高計算精度，在進行N的取值時，將N的每次增加幅度取為6，并將上一次與本次s計算值的相對誤差小于0.01%時作為最終N的取值。N值確定后，利用式（10）即根據(jù)已知的綜合參數(shù)k通過試算法求得z，進而由式（11）求得正常水深h0，即：

2 正常水深簡化通式的建立及精度分析

2.1 簡化通式的建立

因式（10）為超越方程，無法直接獲解。為避免利用式（10）求解超越方程問題，現(xiàn)假設(shè) z′=f（k）（z′為 z的近似替代值）函數(shù)在工程實用范圍內(nèi) （即0.15≤z≤6.0，0.0016＜k＜30.6）可以替代式（10），并滿足：①要有較好的擬合替代精度，以確保正常水深的最終計算成果滿足工程設(shè)計要求；②擬合替代公式的表達形式應(yīng)最簡潔化。

依據(jù)式（10）即可通過設(shè)定值計算出不同的z所對應(yīng)的k，并完成關(guān)系曲線展繪（如圖1所示）。

由圖1可見，與具有較好的指數(shù)關(guān)系。在兼顧擬合精度高、表達形式簡單兩個必備條件下，采用數(shù)值擬合分析方法，以標準剩余差最小為目標函數(shù)［17-18］即：

利用式（12）也可不必進行繁復(fù)的近似積分計算，直接完成當(dāng)已知三次拋物線的形狀參數(shù)a及渠道半水面寬度B情況下渠道的通過流量Q，即為

2.2 精度分析及比較

為比較式（12）與式（10）的擬合精度，在工程實用范圍內(nèi)，取不同的 nj、zi（由式（11）可求得 h0ji）即可由式（10）計算出與之相對應(yīng)的 kji，再將 nj、kji代入式（12）求得與之相對應(yīng)的z′ji，進而由式（11）求得 h′0ji，并由式（14）完成擬合相對誤差計算，如表1所示。

式中 wji為當(dāng)n取第j個值、z取第i個值時的計算相對誤差（%）。

由表1可見，在工程實用參數(shù)范圍內(nèi)，用式（12）替代式（10）求解 h0的最大相對誤差僅為0.941%。本文式（12）具有較好的擬合替代精度。

表1 式（12）計算精度比較

3 算例

3.1 算例1

某三次拋物線形渠道橫斷面的曲線方程為y=0.1x3，渠道糙率 n′=0.025，坡降 i=5.2×10-4，求當(dāng)過水流量Q=45m3/s時渠道的正常水深h0。

由式（8）可得：k=0.88907，將 k 代入式（12）即可求得：z=1.41771，再由式（11）即可求得該渠道的正常水深為h0=5.338m。利用微機編程求得精確解為h0=5.324m，本文公式計算相對誤差為0.26%。

3.2 算例2

如例1中拋物線形渠道橫斷面的曲線方程不變，求當(dāng)半水面寬度B分別為4.5m和3.762m時渠道的通過流量Q。

根據(jù)已知參數(shù)由式（13）可分別求得當(dāng)B為4.500m和3.762m時，k分別為2.19905和0.88513，則由式（13）可分別求得當(dāng)B為4.500m和3.762m時，渠道通過的流量Q分別為111.30m3/s和44.82m3/s。

利用微機編程可求得對應(yīng)上述半水面時渠道通過流量的精確解分別為111.35m3/s和45.0m3/s，本文公式計算成果的相對誤差分別為0.045%和0.400%。

4 結(jié)語

通過近似積分及優(yōu)化擬合的方法獲得了三次拋物線形渠道斷面正常水深的簡化計算公式，公式表達形式簡單、實用范圍廣，誤差分析及實例計算表明，在工程實用范圍內(nèi)，計算斷面正常水深的最大相對誤差為0.941%，完全滿足實際工程的水力計算及設(shè)計精度要求。

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