Banach格上AM-緊算子的M-和L-弱緊性

王雅娟, 陳滋利, 柳雅朋

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610031)

Banach格上AM-緊算子的M-和L-弱緊性

王雅娟, 陳滋利, 柳雅朋

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610031)

在Banach上對(duì)AM-緊算子與M-及L-弱緊算子之間的關(guān)系做了研究, 得到了當(dāng)AM-緊算子是M-(L-)弱緊算子時(shí), 其定義域和值域空間應(yīng)具有的性質(zhì)特征; 反過來也得到了M-(L-)弱緊算子在什么空間條件下是AM-緊算子的一些相關(guān)結(jié)論.

Banach格; AM-緊算子; M-弱緊算子; L-弱緊算子

1 引言

設(shè)E和F是Banach格,L（E,F）表示從E到F得所有有界線性算子組成的空間, 若有界線性算子T將E中序區(qū)間映為F中的相對(duì)緊集, 則T是AM-緊算子; 若有界線性算子T將E中閉單位球映為F中的L-弱緊集,則T是L-弱緊算子; 若有界線性算子T將E中的范數(shù)有界不交列映為F中的范數(shù)收斂于0, 則T是M-弱緊算子. 我們知道AM-緊算子不一定是M-(L-)弱緊算子, 如:Idc0:c0→c0是AM-緊算子但不是M-(L-)弱緊算子, 事實(shí)上c0空間具有序連續(xù)范數(shù)且是離散的,c0空間中的序區(qū)間是范數(shù)緊的, 所以Idc0:c0→c0是AM-緊算子, 容易驗(yàn)證Idc0:c0→c0不是M-(L-)弱緊算子; 及T:?1→?∞定義:

顯然T是緊的, 則是AM-緊算子, 但不是M-弱緊算子(?。鹐n｝是?1中自然基,｛en｝是范數(shù)有界不交列, T（en）=（1,1,1……）對(duì)?n ),T也不是L-弱緊算子(取U是?1中閉單位球,｛en｝是T（U）的實(shí)體包中不交列,不趨于0). 反過來, M-(L-)弱緊算子也不一定是AM-緊算子, 如: 自然嵌入J:L∞［0,1］→Lp［0,1］是M-弱緊算子但不是AM-緊算子. 關(guān)于M-(L-)弱緊算子與其他算子關(guān)系的研究已有很多結(jié)果, 主要有與半緊算子、Dunford-Pettis算子、幾乎Dunford-Pettis算子、緊算子及弱緊算子之間的關(guān)系, 詳見文獻(xiàn)[4]、[6]、[7]、[8]、[9].

本文考慮M-(L-)弱緊算子與AM-緊算子之間的關(guān)系, 建立了AM-緊算子是M-(L-)弱緊算子的一些空間條件,同時(shí)對(duì)M-(L-)弱緊算子的AM-緊性也得到相關(guān)結(jié)論.

未經(jīng)解釋的有關(guān)Banach格和算子理論的一些概念、述語(yǔ)及符號(hào)詳見文獻(xiàn)[1][2][10].

2 AM-緊算子的M-弱緊性

設(shè)E是Riesz空間,0＜e∈E, 若對(duì)每個(gè)x, 存在某個(gè)λ＞0滿足,則e稱為E的序單位元. 若E有序單位e＞0, 則Ee=E(Ee即由e生成的理想), 即E的閉單位球是序有界的, 因此也稱范數(shù)有界與序有界是

等價(jià)的.

E是Banach格, 若E中每個(gè)弱收斂于0的序列都是范數(shù)收斂于0的那么稱E具有Schur性質(zhì); 若E+中每個(gè)弱收斂于0的序列都范數(shù)收斂于0, 則稱E具有正Schur性質(zhì); 當(dāng)E中的每個(gè)使得xn↓0的序列｛xn｝都依范數(shù)收斂于0, 則E有序連續(xù)范數(shù),E有Schur性質(zhì)則E有正Schur性質(zhì)(反過來不成立, 例:L1［0,1］),E有正Schur性質(zhì)可以推出E有序連續(xù)范數(shù).

下面我們看主要結(jié)論

命題2.1設(shè)E和F是Banach格,E有序單位, 則每個(gè)AM-緊算子T:E →F 都是M-弱緊算子.

證明:設(shè)｛xn｝是E中范數(shù)有界不交列, 因?yàn)镋有序單位e, 則｛xn｝是序有界的, 又因?yàn)門是AM-緊算子,則T是序弱緊算子, 根據(jù)文[2]定理5.52, 所以即T為M-弱緊算子.

因?yàn)?∞是有序單位的AM空間, 所以有以下推論.

推論2.2設(shè)E是Banach格, 每個(gè)AM-緊算子T:?∞→E都是M-弱緊算子.

命題2.3設(shè)E和F是Banach格,E′有序連續(xù)范數(shù)且E有正Schur性質(zhì), 若T:E →F 是正則AM-緊算子,則T是M-弱緊算子.

證明: 設(shè)｛xn｝是E中范數(shù)有界不交列, 因?yàn)镋′有序連續(xù)范數(shù), 根據(jù)文[1]定理2.4.14, 則又E有正Schur性質(zhì), 根據(jù)文[4]定理3.1,（xn）相對(duì)弱緊集是幾乎序有界的, 即對(duì)任意ε＞0, 存在x∈E+, 有（xn）?［-x,x］+εBE, 從而

則T是M-弱緊算子.

注1: 若命題2.3條件只有E′有序連續(xù)范數(shù), 則結(jié)論不成立, 例:Idc0:c0→c0是AM-緊算子,c0的共軛空間?1有序連續(xù)范數(shù), 但I(xiàn)dc0:c0→c0不是M-弱緊算子.

注2: 若命題2.3條件只有E有正Schur性質(zhì), 結(jié)論是不成立的, 例:Id?1:?1→?1是AM-緊算子,?1有正Schur性質(zhì), 但I(xiàn)d?1:?1→?1不是M-弱緊算子.

命題2.3中E有正Schur性質(zhì)得出（xn）相對(duì)弱緊集是幾乎序有界的, 在定義半范數(shù)的基礎(chǔ)上也可用得出.

設(shè)T是Banach格E到Banach空間X的線性算子, 我們定義E上的半范數(shù)qT如下(參看[1]):

若T是幾乎Dunford-Pettis算子, 則每個(gè)相對(duì)弱緊集關(guān)于半范數(shù)Tq是幾乎序有界集. 由以上, 我們可得下面推論.

推論2.4設(shè)E和F是Banach格,E′有序連續(xù)范數(shù)且E中每個(gè)相對(duì)弱緊集關(guān)于半范數(shù)Tq是幾乎序有界集,則每個(gè)正則AM-緊算子:TEF→都是M-弱緊的.

以上論證了AM-緊算子在一定條件下是M-弱緊算子, 那M-弱緊算子在什么情況下是AM-緊算子呢, 下面

研究M-弱緊算子的AM-緊性.

命題2.5設(shè)E和F是Banach格,E是離散且有序連續(xù)范數(shù), 則每個(gè)正M-弱緊算子T:E→F都是AM-緊的.

證明:由已知, 根據(jù)文[2]定理2.3,E的格運(yùn)算是弱序列連續(xù)的, 由文[6]定理2.3,T:E→F是Dunford-Pettis算子,又因?yàn)镋有序連續(xù)范數(shù), 根據(jù)文[5],T是AM-緊算子.

命題2.6設(shè)E和F是Banach格,F有Schur性質(zhì), 則每個(gè)M-弱緊算子T:E→F是AM-緊算子.

證明:設(shè)U是E中的序有界集, 且滿足對(duì)任意的x∈U,V是F中閉單位球. 因?yàn)門:E→F是 M-弱緊算子, 根據(jù)文[2]定理5.60(1)有任意的ε＞0, 存在u∈E+, 使得對(duì)任意的x∈U

另一方面, 若｛un｝是［0,u］中不交列, 則因?yàn)門是M-弱緊算子有由文[2]定理5.52知T［0,u］是相對(duì)弱緊集,F有Schur性質(zhì), 所以得到T［0,u］是相對(duì)緊集, 根據(jù)文[2]定理3.1(4)知T（U+）是相對(duì)緊集, 所以T（U）是相對(duì)緊集,T是AM-緊算子.

3 AM-緊算子的L-弱緊性

E是Banach格,E中的非空集合A稱為L(zhǎng)-弱緊集當(dāng)且僅當(dāng)A的實(shí)體包里不交列都范數(shù)收斂于0; 所以T是L-弱緊算子有另一層定義, 即當(dāng)T（U）實(shí)體包中的不交列都范數(shù)收斂于0(U為E中的閉單位球). 在有限維空間X中,U是E中閉單位球等價(jià)于U是E中范數(shù)緊集等價(jià)于U是E中L-弱緊集, 所以在有限維空間X中,任意有界線性算子都是L-弱緊算子.

命題3.1設(shè)E和F是Banach格,T:E→F是正則AM-緊算子. 若下列條件之一成立, 則T是L-弱緊算子.

(1)E有序單位,F有序連續(xù)范數(shù).

(2)E′具有序連續(xù)范數(shù),F′有序單位.

證明: (1)設(shè)U為E中閉單位球, 因?yàn)镋有序單位, 則U為序有界集, 由已知T是AM-緊算子,T將序區(qū)間映射為范數(shù)緊集, 即T（U）是范數(shù)緊的, 又因?yàn)镕有序連續(xù)范數(shù), 根據(jù)文[13], 范數(shù)相對(duì)緊集一定是L-弱緊的,所以T（U）是L-弱緊集,T為L(zhǎng)-弱緊算子.

(2)由已知T′:F′→E′, 因?yàn)镋′有序連續(xù)范數(shù), 根據(jù)文[1]命題3.7.23(i),T′是AM-緊算子. 又F′有序單位, 根據(jù)命題2.1,T′是M-弱緊算子, 由文[2]定理5.64,T是L-弱緊算子.

命題3.2設(shè)E和F是Banach格,E具有序單位,F有Schur性質(zhì),T是E到F的有界線性算子, 則T是AM-緊算子的充分必要條件是T是L-弱緊算子.

證明:必要性,F有Schur性質(zhì)可以得出F具有序連續(xù)范數(shù), 所以根據(jù)命題3.1得證.

充分性, 設(shè)x∈E+,［-x,x］是E中序區(qū)間, 所以是范數(shù)有界的, 則是E中閉單位球, 記為U, 則T（U）是L-弱緊集, L-弱緊集一定是相對(duì)弱緊的, 又因?yàn)镕有Schur性質(zhì),T（U）是相對(duì)弱緊的, 即T是AM-緊算子.

注:F有序連續(xù)范數(shù)結(jié)論不成立, 例:T:?∞→c0是L-弱緊算子, 但不是AM-緊算子.

[1] P MEYER-NIEBERG. Banach Lattices, Universitext[M]. Berlin :Springer-Verlag, 1991.

[2] C D ALIPRANTIS, O BURKINSHAW. Positive Operators[M]. New York: Academic Press,1985.

[3] A W WICKSTEAD. Converses for the Dodds-Fremlin and Kalton-Saab theorems[J]. Math Proc Camb Phil Soc, 1996 ,120:175-179.

[4] Z L CHEN, A W WICKSTEAD. L-weakly and M-weakly compact operators[J]. Indag Math, 1999,10(3): 321-336.

[5] B AQZZOUZ, L ZRAOILA. AM-compactness of positive Dunford-Pettis operators on Banach lattices[J]. Rendiconti del Circolo Matematico di Palemo, 2007: 305-316

[6] N CHENG, Z L CHEN,Y FENG. L-and M-weak compactness of positive Dunford-pettis operators[J]. Journal of Sichuan Nornual University, 2011, 34(5): 708-713.

[7] B AQZZOUZ, A ELBOUR, ANTHONY W WICKSTEAD. Compactness of L-weakly and M-weakly compact operators on Banach lattices[J]. Rend Circ, Math.Palerm, 2011, 60: 43-50.

[8] N CHENG, Z L CHEN,Y FENG. L-and M-weak compactness of positive semi-compact operators[J]. Rendiconti del Circolo Matematico di Palemo,2010, 59: 99-103.

[9] 李穎, 陳滋利. Banach格上幾乎Dunford-pettis算子的M-弱緊性和L-弱緊性[J]. 西南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2011: 37(4): 562-565.

[10] A C Zaanen. Riesz spaces II[M]. North Holland Publishing Company, 1983.

[11] B AQZZOU, R NOUIRA,L ZRAOILA. Semi-compactness of positive Dunford-Pettis operators on Banach Lattices[J]. Amer Math Soc, 2008, 136: 1997-2006.

[12] B AQZZOUZ, A ELBOUR. Some New Results on the Class of AM-Compact Operators[J]. Rendiconti del Circolo Matematico di Palemo, 2010, 59: 267-275.

[13] B AQZZOUZ, A ELBOUR, J HMICHANE. Some properties of the class of positive Dunford-Pettis operators[J]. J Math Anal Appl, 2009, 354: 295-300.

M- and L-weakly compactness of AM-compact operators on Banach lattices

WANG Ya-juan, CHEN Zi-li, LIU Ya-peng
(School of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, P.R.C.)

This paper introduces and studies the relationship between the AM-compact operator and the M-(L-)weak compact operator, mainly focusing on the domains and range spaces for all AM-compact operator being M-(L-)weak compact operator. Some conclusions are obtained on how the M-(L-)weak compact operator is AM-compact operator.

Banach lattice; AM-compact operator; M-weak compact operator; L- weak compact operator

O153.1

A

1003-4271(2014)01-0079-04

10.3969/j.issn.1003-4271.2014.01.16

2013-10-28

王雅娟(1987-), 女, 碩士研究生, 研究方向:泛函分析; 陳滋利(1961-), 男, 教授, 博士生導(dǎo)師.