關(guān)于丟番圖方程(45n)x+(28n)y=(53n)z的解

唐剛

(阿壩師范高等?？茖W(xué)校基礎(chǔ)教育系, 四川 汶川 623000)

關(guān)于丟番圖方程(45n)x+(28n)y=(53n)z的解

唐剛

(阿壩師范高等?？茖W(xué)校基礎(chǔ)教育系, 四川 汶川 623000)

利用初等方法證明了,對(duì)于任意的正整數(shù)n, 丟翻圖方程(45n)x+(28n)y=(53n)z僅有x=y=z=2正整數(shù)解.

丟翻圖方程; 正整數(shù)解; 簡(jiǎn)單同余法; 分解因子法

1 引言

設(shè)a,b,c 為正整數(shù), 且(a,b)=(b,c)=(a,c)=1,a2+b2=c2,則對(duì)任意的正整數(shù)n, 丟番圖方程

顯然有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2).

Sierpi'nski[1]證明了當(dāng)n=1,(a,b,c)=(3,4,5), 方程(1) 僅有唯一的一組解(x,y,z)=(2,2,2)；Jes'manowicz[2]證明了當(dāng)n = 1 且(a,b,c)=(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),(11,60,61)時(shí)方程(1) 僅有唯一的一組解(x,y,z)=(2,2,2),文獻(xiàn)[2] 猜想對(duì)任意的正整數(shù)n 方程(1) 僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2),本文考慮了當(dāng)(a,b,c)=(45,28,53)時(shí), 方程(1)的解, 結(jié)論如下:

定理:對(duì)于任意的正整數(shù)n, 丟番圖方程

有唯一正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2).

2 引理

引理1設(shè)s≡3(mod4),t ≡2(mod4), 且s+t 含有某個(gè)4k-1型的素因子, 當(dāng)n=1時(shí), 則(1)僅有一組解(x,y,z)=(2,2,2)

3 定理證明

由引理2可知,只需討論max(x,y)＞z,且z＞2的情況

3.1 當(dāng)n=1時(shí)

由引理1可知, 丟翻圖方程成立45x+28y=53z有唯一正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2).

[1] SIERPINSKIW. On the equation3x+4y=5z[J]. Wiadom M at, 1955, 56(1):194-195.

[2] JESMANOWICZ L. Several remarks on Pythagorean numbers[J]. Wiadom Mat, 1955, 56(1): 196-202.

[3] 樂茂華. 關(guān)于本原Pythagorean數(shù)組的Jes' manow icz猜想.[J]. 湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2008, 6: 121-122.

[4] 關(guān)文吉. 關(guān)于商高數(shù)的Je’smanowic猜想[J]. 紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 24(4): 557-559.

[5] 陸文端. 關(guān)于商高數(shù)組4n2-1; 4n; 4n2+1 [J]. 四川大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 1959, 2: 39-42.

On the Diophantine equation(45n)x+(28n)y=(53n)z

TANG Gang
(Department of Basic Education, Aba Teacher’s College, Wenchuan 623000, P.R.C.)

By the elementary method, this paper proves that, for any positive integer n, Diophantine equation(45n)x+(28n)y= (53n)zhas no solutions in positive integer other than x=y=z=2

Diophantine equation; positive integer solution; simple congruence; decomposition factor method

O156.7

A

1003-4271(2014)01-0101-04

10.3969/j.issn.1003-4271.2014.01.21

2013-10-24

唐剛(1980-), 男, 四川蓬安人, 講師, 碩士, 研究方向: 數(shù)論、數(shù)學(xué)教育; E-mail: 30236243@qq.com.

阿壩師專科研基金項(xiàng)目(編號(hào)ASB11-10)