基于數(shù)學(xué)思考的“猜”才有教學(xué)價(jià)值

費(fèi)嶺峰+胡慧良

名師檔案

費(fèi)嶺峰，中學(xué)高級教師，浙江省嘉興市南湖區(qū)教育研究培訓(xùn)中心教研員。曾被評為浙江省優(yōu)秀教師、浙江省教科研先進(jìn)個(gè)人、嘉興市名教師、嘉興市首屆“十佳”青年社科人才，是浙江省名師培養(yǎng)對象、嘉興市新世紀(jì)專業(yè)技術(shù)帶頭人培養(yǎng)人選。課堂教學(xué)曾獲全國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)錄像課評比一等獎(jiǎng)、浙江省“教改之星”金獎(jiǎng)。在省級以上專業(yè)刊物發(fā)表論文或案例145篇。主持過省級課題2項(xiàng)，市級課題6項(xiàng)，參與省級課題5項(xiàng)，研究成果和論文曾獲市級一等獎(jiǎng)以上獎(jiǎng)項(xiàng)40次。在市級及以上作公開展示交流70余次。經(jīng)過多年的課堂教學(xué)實(shí)踐與探索，形成了以“活動(dòng)”為主線、“活而有效”的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)特色。

猜測是新課程理念下一種重要的學(xué)習(xí)活動(dòng)，一線教師也經(jīng)常會(huì)用。近日下校隨堂聽課，在一節(jié)《四邊形的認(rèn)識》課中，執(zhí)教教師便設(shè)計(jì)了一個(gè)“猜”的活動(dòng)。

練習(xí)：請你猜一猜，圖中（圖1）遮住的是一個(gè)怎樣的四邊形？

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練習(xí)安排在例1“了解四邊形的基本特征”、例2“知道四邊形中還有如長方形等特殊的四邊形”等新知探究及一些基本練習(xí)之后。從呈現(xiàn)在屏幕上的四個(gè)備選答案來看，教師是把它作為一道提升練習(xí)題來完成的。實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生也確實(shí)猜出了多種結(jié)果：有的說是長方形，有的說是正方形，有的說是一般四邊形，還有的說是凹四邊形?，F(xiàn)場氣氛顯得頗為熱烈。

練習(xí)至此，不由得引起了筆者的思考：此練習(xí)對于認(rèn)識四邊形特征的意義究竟有多大？如果是出于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識一些特殊四邊形（如長方形、正方形、梯形、平行四邊形等）的特殊性，這樣的猜測活動(dòng)怎樣設(shè)計(jì)會(huì)幫助更大？

我們知道，猜測作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的一種，有著重要的價(jià)值。根據(jù)觀察到的某個(gè)圖形的部分“猜”整個(gè)圖形，這既是進(jìn)一步理解圖形概念、認(rèn)識圖形特征的好辦法，同時(shí)又是一個(gè)培養(yǎng)空間觀念的有效策略。因?yàn)樵诓聹y過程中，猜測者需要有對觀察到的部分圖形與某個(gè)圖形整體之間建立起聯(lián)系的過程，然后才能以圖形概念屬性為依據(jù)作出分析與判斷，其間會(huì)伴隨著猜測者對對象空間形象的期盼，而這樣的期盼對形成和鞏固圖形的概念表象有著重要的價(jià)值。

只是，筆者現(xiàn)在所思考的是，課中這個(gè)“猜圖形”的練習(xí)對于本節(jié)課進(jìn)一步認(rèn)識四邊形的特征，或者理解建構(gòu)特殊四邊形的形狀是否有效呢？由此筆者想到了“三角形分類”教學(xué)中的一個(gè)經(jīng)典練習(xí)：猜猜紙片遮住的是什么三角形？（如下圖）

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以上課中練習(xí)似乎與這個(gè)練習(xí)相似，但深入思考后筆者發(fā)現(xiàn)，課中練習(xí)中的“猜”與“三角形分類”練習(xí)中的“猜”是有著本質(zhì)區(qū)別的?！叭切畏诸悺本毩?xí)中的“猜”，一般安排在學(xué)習(xí)了“三角形按角分類”的知識之后，價(jià)值在于引導(dǎo)學(xué)生從圖形關(guān)鍵要素出發(fā)進(jìn)行思考，是一種有價(jià)值的數(shù)學(xué)思考。如對圖2中三角形的猜測，結(jié)果會(huì)是兩種：一是“直角三角形”，二是“等腰直角三角形”。得出“直角三角形”這個(gè)結(jié)論是基于直角三角形的本質(zhì)屬性（三角形中有且只有一個(gè)直角）而來，這是學(xué)生基于概念理解的有根據(jù)的推理，是一種邏輯思考。與此相同，第二個(gè)圖形“鈍角三角形”結(jié)論的得到，同樣有這樣的思考過程。對第三個(gè)圖形的猜測則比較特殊，因?yàn)楦鶕?jù)看到的一個(gè)銳角，無法判定這是個(gè)什么三角形。此練習(xí)之所以成為“三角形分類”教學(xué)中的經(jīng)典練習(xí)，是因?yàn)槠湓谝龑?dǎo)猜測過程中，學(xué)生可以把握三類三角形的本質(zhì)屬性，從本質(zhì)屬性出發(fā)展開思考，從而深刻理解三類三角形的關(guān)鍵要素，建構(gòu)起三類三角形特定的圖形表象。這是一種具有豐富數(shù)學(xué)思考的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是一種典型的有意義學(xué)習(xí)。

我們再來看“四邊形的認(rèn)識”中“看到一個(gè)直角猜四邊形”的練習(xí)。從課后與執(zhí)教老師交流中了解到，設(shè)計(jì)本練習(xí)有兩個(gè)目的：一是進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生理解長方形和正方形中有四個(gè)直角的特征；二是想讓學(xué)生體會(huì)“看到一個(gè)直角是不能確定這是一個(gè)怎樣的四邊形的”。研討中，我們對于這樣的定位提出了質(zhì)疑：本練習(xí)對幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識長方形、正方形的特征有效嗎？本節(jié)課中體會(huì)“根據(jù)一個(gè)直角不能判定一個(gè)四邊形”的形狀的認(rèn)識價(jià)值有多大？

數(shù)學(xué)教學(xué)中的“猜測”不應(yīng)該是一種毫無根據(jù)的瞎猜，而是需要基于思考基礎(chǔ)上的有根據(jù)的推理與判斷。從教學(xué)實(shí)踐中的狀況來看，學(xué)生猜的結(jié)果有正方形、長方形、任意四邊形、梯形等，看似答案豐富，似乎達(dá)到了預(yù)設(shè)的目標(biāo)。但仔細(xì)分析得到這些結(jié)果的思維過程，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，因?yàn)槌尸F(xiàn)部分圖形中的一個(gè)直角，并不能影響到猜測對象的范圍（即結(jié)論包含了所有有一個(gè)角是直角的四邊形），此時(shí)的猜測思維要求太低，數(shù)學(xué)思考的價(jià)值不大，特別是對建構(gòu)起不同四邊形之間的聯(lián)系基本失去作用。事實(shí)上，此處的開放，與“三角形分類”練習(xí)中對于“看到一個(gè)銳角無法推斷是一個(gè)什么三角形”的價(jià)值不同?！叭切畏诸悺本毩?xí)中第三個(gè)圖形的判斷，其練習(xí)目標(biāo)正是讓學(xué)生理解和掌握“根據(jù)三角形中的一個(gè)銳角去判定三角形”，條件是不充分的。這是在引導(dǎo)學(xué)生與“根據(jù)一個(gè)直角判定三角形”和“根據(jù)一個(gè)鈍角判定三角形”進(jìn)行比較基礎(chǔ)上的思維系統(tǒng)化的一步，課堂上正是借助學(xué)生猜測、爭論活動(dòng)，幫助其理解三角形“角”的元素對判定三角形的重要性，強(qiáng)化對三類三角形概念的理解。

經(jīng)過研討，與執(zhí)教老師達(dá)成了共識。本環(huán)節(jié)的練習(xí)既是一個(gè)進(jìn)一步認(rèn)識圖形特征的練習(xí)，更是一個(gè)圖形表象印刻的重要時(shí)機(jī)。因此，此時(shí)的練習(xí)需要迫使學(xué)生去內(nèi)化知識，充分調(diào)動(dòng)思維要素參與數(shù)學(xué)活動(dòng)。如果要用“猜”的方式進(jìn)行練習(xí)，則需要對此練習(xí)作出一定的調(diào)整，可以設(shè)計(jì)成一個(gè)連續(xù)“猜”的活動(dòng)。

第一次“猜”，根據(jù)圖1，請你猜一猜遮住的是一個(gè)怎樣的四邊形？

因?yàn)榇藭r(shí)只提供了一個(gè)直角，結(jié)果會(huì)出現(xiàn)多種：長方形、正方形、任意四邊形（包括凸、凹四邊形）、直角梯形等。使學(xué)生體會(huì)到，只根據(jù)一個(gè)“角”是無法判定一個(gè)四邊形的形狀的。

第二次“猜”，觀察材料變成圖5。問：現(xiàn)在你能判斷遮住的是一個(gè)怎樣的四邊形嗎？

因?yàn)榇藭r(shí)能夠觀察的材料有兩個(gè)直角。一組平行對邊，所以結(jié)果可能是：長方形、正方形、直角梯形等。引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)根據(jù)“角”和“邊”的特點(diǎn)，從兩個(gè)緯度來判定一個(gè)四邊形的形狀，較之前面有了一定的方向了。

第三次“猜”，觀察到的部分增加，變?yōu)閳D6。

此時(shí)能夠觀察到的材料中有兩組平行線、三個(gè)直角（其實(shí)可以判定四個(gè)角都是直角），所以結(jié)果會(huì)有兩種可能：長方形、正方形。當(dāng)然也有觀察能力強(qiáng)的學(xué)生直接就認(rèn)定，只有一種可能：正方形。

應(yīng)該說，本練習(xí)設(shè)計(jì)與原設(shè)計(jì)比較，使用價(jià)值已經(jīng)有了很大提升，學(xué)生的三次猜測，如同經(jīng)歷了一次概念內(nèi)涵不斷增加、外延不斷縮小的圖形形成過程。很顯然，這樣的過程既是一個(gè)學(xué)生空間觀念培養(yǎng)的過程，同時(shí)也是一個(gè)很好的發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的過程。

當(dāng)然，我們還可以通過下面的途徑，設(shè)計(jì)成從平行線出發(fā)去引導(dǎo)學(xué)生猜，可能更符合平行四邊形、長方形、正方形的定義。教學(xué)過程設(shè)計(jì)如下：

圖中（圖7）遮住部分是一個(gè)怎樣的四邊形？

（1） （2） （3）

圖7

（1）根據(jù)觀察到的一組平行線“猜”，結(jié)果會(huì)有四種可能：梯形、平行四邊形、長方形、正方形。

（2）根據(jù)觀察到的一組平行線和一個(gè)直角（其實(shí)左邊兩個(gè)角都是直角）“猜”，結(jié)果會(huì)有三種可能：梯形、長方形或正方形。

（3）根據(jù)材料中的兩組平行線、三個(gè)直角（其實(shí)可以判定四個(gè)角都是直角）“猜”，結(jié)果是正方形。當(dāng)然，觀察能力較弱的學(xué)生可能需要通過完全呈現(xiàn)材料才能確定是正方形。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在“課程目標(biāo)”里指出，空間與圖形的數(shù)學(xué)思考目標(biāo)是“豐富對空間和圖形的認(rèn)識，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維”。顯然，空間觀念的培養(yǎng)是“空間與圖形”學(xué)習(xí)的首要目標(biāo)。而以上練習(xí)，在引導(dǎo)學(xué)生對各種四邊形特征進(jìn)一步認(rèn)識的同時(shí)，借助了一個(gè)從形象上升到抽象、又從抽象轉(zhuǎn)化為直觀的“猜測——判斷”過程，不僅有對圖形特征認(rèn)識的鞏固，同時(shí)還關(guān)注了學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)，其數(shù)學(xué)思考價(jià)值是不言而喻的。