一類奇異偏微分方程的化簡(jiǎn)方法

李平麗，孫甜甜

(1.渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013;2.渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013)

0 引言

偏微分方程(組)的化簡(jiǎn)問題在微分方程的分類研究與研究解的性質(zhì)及求解方法等問題[3-7]中占有不可或缺的地位，不同類型的方程(組)，其化簡(jiǎn)及求解方法也不盡相同，例如，李群方法中(見[8-11])，有一類偏微分方程(組)可通過坐標(biāo)變換使方程(組)不顯含某個(gè)變?cè)?，進(jìn)而，在某些特殊情況下，求出方程(組)的一些特解.再例如，文獻(xiàn)[5]通過引入廣義狀態(tài)向量及其伴隨向量，解耦振動(dòng)方程，進(jìn)而將二階微分方程化為一組一階可解微分方程研究其解.

定理A[1][2]考慮微分方程

其中R2(x,y)為關(guān)于兩個(gè)復(fù)變量x與y的冪級(jí)數(shù)，在C2的原點(diǎn)附近收斂，且只含2階及高階項(xiàng)．如果α?N-{0}，那么該方程存在唯一滿足條件φ(0)=0的全純解y=φ(x)．

1 主要結(jié)論

考慮1階偏微分方程

(1)

其中，a(x,y),b(x,y),c(x,y)在原點(diǎn)0∈C2附近解析，且a(x,y),b(x,y)在0∈C2處的冪級(jí)數(shù)展開式中不含常數(shù)項(xiàng)與線性項(xiàng)．5元復(fù)變量函數(shù)G(z1,z2,z3,z4,z5)在原點(diǎn)附近解析，且滿足

定理存在雙全純變換，使偏微分方程(1)化為如下形式

(2)

其中，二元復(fù)變量函數(shù)g(u,v),c1(u,v)均在原點(diǎn)附近解析，且g(0,0)=0,5元復(fù)變量函數(shù)G1(z1,z2,z3,z4,z5)在原點(diǎn)附近解析，并且滿足

2 結(jié)論的證明

作變量變換

其中，h(v)待求，滿足條件：h(v)為原點(diǎn)附近的解析函數(shù)，且h(0)=0．則

因而，偏微分算子

化為

記F(u,v)=-h(v)-vh′(v)+a(u-h(v),v)+b(u-h(v),v)h′(v)．

斷言:若令h(v)+vu(v)，則存在原點(diǎn)附近的單復(fù)變量解析函數(shù)u=u(v)，使u(0)=0，且F(0,v)=0，即：

-h(v)-vh′(v)+a(-h(v),v)+b(-h(v),v)h′(v)=0.

事實(shí)上，將h(v)=vu(v)代入上式得

a(-uv,v)+b(-uv,v)(u+vu′)-2uv-v2u′=0，

再由a(x,y)與b(x,y)的性質(zhì)，可得

v2a1(u,v)+v2b1(u,v)(u+vu′)-2uv-v2u′=0，

此處，2元復(fù)變量函數(shù)a1(u,v)與b1(u,v)均為原點(diǎn)附近的解析函數(shù)．于是有

va1(u,v)+vb1(u,v)(u+vu′)-2u-vu′=0，

即

進(jìn)而，只需u滿足常微分方程

vu′+2u=vc1(u,v).

(3)

其中，2元復(fù)變量函數(shù)c1(u,v)在原點(diǎn)附近解析．

由定理A可知，常微分方程(3)存在唯一在原點(diǎn)附近解析的解u=u(v)滿足初始條件u=u(0).因此，斷言成立．

因此存在一個(gè)在復(fù)平面中原點(diǎn)附近解析的函數(shù)h(v)，且滿足條件h(0)=0，使得以下變量變換

將奇異偏微分算子

化為如下形式

其中

uf(u,v)=a(u-h(v),v)-a(-h(v),v)

+[b(u-h(v),v)-b(-h(v),v)]h′(v),

且f(u,v)在0∈C2附近解析，f(0,0)=0.因此

再由函數(shù)b的性質(zhì)得

變換后的偏微分方程兩端同時(shí)除以1+f(u,v)，即可得方程(2)．結(jié)論得證．

3 結(jié)束語(yǔ)

以上處理偏微分方程的化簡(jiǎn)這一問題的方法，給此類問題提供了又一思路：在構(gòu)造變量變換時(shí)，不必將變換以具體表達(dá)式的形式寫出來(lái)，只需證明具有滿足條件的函數(shù)使得變換存在即可．

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