格上矩陣的乘積運(yùn)算性質(zhì)

祝禎禎,盧 濤

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 淮北 235000)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

矩陣是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中非常重要的概念，人們不僅關(guān)心數(shù)環(huán)與數(shù)域上的矩陣，還關(guān)心格上的矩陣．本文利用在有補(bǔ)的分配格L上定義的矩陣運(yùn)算，給出了格上矩陣乘積的一些性質(zhì)．約定(L，≤)為任意給定的至少有兩個(gè)元素的有補(bǔ)的分配格，L的交，并運(yùn)算分別記作∧和∨．L的最大元與最小元分別記作0和1．

定義1設(shè)(L，≤)是偏序集,如果對(duì)于任意的x,y∈L，{x,y}都有最小上界和最大下界,則稱L關(guān)于偏序≤作成一個(gè)格．

由于最小上界和最大下界的唯一性,可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x與y的二元運(yùn)算∨和∧,即求x∨y和x∧y分別表示x與y的最小上界和最大下界．

這里要說(shuō)明一點(diǎn)，本節(jié)中出現(xiàn)的∨和∧符號(hào)只代表格中的運(yùn)算，而不再有其它的含義．

2 主要結(jié)果

記A*A=A2．

定義3若L是一個(gè)偏序集，當(dāng)aij≤bij,aij,bij∈L，(i,j=1,2)時(shí)，稱A≤B．

(1)E2=E；

(2)E*A=A*E；

(3)A*B*C=A*(B*C)．

證明略

定義4設(shè)A=(aij)∈L2×2，

(1)若A2≤A，則稱A為傳遞矩陣;

(3)若AT=A，則稱A為對(duì)稱矩陣;

(4)若A2=A，則稱A為冪等矩陣；

(5)若對(duì)任意的A=(aij)，i,j=1,2,a11∨a22=1，則稱A為對(duì)角補(bǔ)矩陣；

(6)若A2=0，則稱A為冪零矩陣．

事實(shí)上，由文獻(xiàn)[1]～[6]中定義容易驗(yàn)證以上的定義是合理的.

我們知道，對(duì)于一般的二階矩陣A=(aij)，B=(bij),aij,bij∈R滿足(AB)T=BTAT，而對(duì)于格上的矩陣卻不一定成立，但當(dāng)條件減弱便可得以下結(jié)論．

定理1對(duì)于任意的A∈L2×2，A*EA≤A，且(AEA)T=ATEA；而EAA≤AT，且(EAA)T=ATEA．

其中，記a12(a21∨a22)=e，a21(a11∨a12)=f．

同理EAA≤AT，(EAA)T=ATEA．

在有補(bǔ)的偏序集L中，容易驗(yàn)證，對(duì)任意a,b∈L，a≠0,b∧b′=0,b∨b′=1,若a小于b，則a不小于b′．否則a小于b′，則a<(b∧b′)=0，矛盾．

定理2已知A為對(duì)角補(bǔ)矩陣，若A為自反矩陣，則a12a21=0．

證明由定義4(2)，a1=a11a11∨a12a21，a2=a22a22∨a12a21，由A是自反的，即a1≤a11,a2≤a22．所以a12a21≤a11，a12a21≤a22，由條件a11∨a22=1，故a12a21=0．

定理3若A為自反矩陣，則A是傳遞矩陣．

證明已知A為自反矩陣，a1=a11a11∨a12a21≤a11，a2=a22a22∨a12a21≤a22．由

a11a12∨a12a22=a12(a11∨a22)

定理4若A是傳遞的，則AT是傳遞的，并且B=A∧AT是傳遞的對(duì)稱矩陣．

定理5若A為對(duì)角補(bǔ)矩陣且A為自反矩陣，則A為冪等矩陣．

由c1∨c2=1，記c1=1-c2，由A為冪等矩陣，易證A為對(duì)角補(bǔ)矩陣，即a11∨a22=1，記a11∨a22=1，從而

c1a11∨c2a22=[(1-c2)∩a11]∨[c2∩(1-a11)]=(a11-c2∨a11)∨(c2-c2∨a11)

=a11∩(c2-c2∨a11)-a22∩(c2-c2∨a11)=c2∨a11-c2∨a11-(c2∨a11-c2∨a11)=0

即(*)=0．所以ECA為冪等矩陣，得證．

定理6若A為冪等矩陣，則AEA,EAA，(EAA)T，(AEA)T都為冪等矩陣．

e=a12(a12∨a22)，f=a21(a11∨a12)，A為冪等矩陣，a12a21=0，ef=0，

e=e(a22∨a22),f=f(a11∨a22)，故(Δ)式=AEA．

同理，EAA也為冪等矩陣，又(EAA)T=ATEA，(AEA)T=EAAT，也易證(EAA)T，(AEA)T為冪等矩陣．

結(jié)論

由文獻(xiàn)[8],我們知道二階格矩陣對(duì)于計(jì)算機(jī)應(yīng)用有很大的影響，然而基于格矩陣中的元素與其補(bǔ)元的和并不為零元，參考文獻(xiàn)[7][9],以后將進(jìn)一步研究反對(duì)稱格矩陣以及一般格矩陣的廣泛性質(zhì).

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