淺談數(shù)學(xué)解題中的“湊”

李學(xué)春

(廣東省海洋工程職業(yè)技術(shù)學(xué)校，廣東 廣州 510320)

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，解題是一項基本功。一般來說，對于有現(xiàn)成公式可套的數(shù)學(xué)題，問題就會迎刃而解;而對于無現(xiàn)成公式可套的數(shù)學(xué)題，往往顯得束手無策。其實學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就是把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，即把新知識向舊有知識轉(zhuǎn)化，從而利用已學(xué)過的知識來解決新問題。因此，解數(shù)學(xué)題對沒有現(xiàn)成公式可套的題，需要設(shè)法轉(zhuǎn)化為可以套公式解決的題。這種轉(zhuǎn)化，很大程度上可以概括為數(shù)學(xué)上的“湊”。不斷掌握湊的方法;提高湊的能力，是提高數(shù)學(xué)解題能力的一個途徑?，F(xiàn)試舉幾例加以說明。

(1)湊對數(shù):解對數(shù)題，就是設(shè)法將對數(shù)中的真數(shù)，湊成以對數(shù)的底數(shù)為底的指數(shù)形式，或?qū)⒅笖?shù)的底數(shù)湊成對數(shù)的底數(shù)。

(2)因式分解中的湊:在因式分解中，將多項式經(jīng)過恒等變換“湊”成平方差、完全平方、立方差、完全立方等，有助于問題的解決。這樣的問題在解方程時也會遇到。

解:方程中根式較多，直接平方有困難，可先分解，原方程可寫成

(3)湊自變量的函數(shù)。

(4)在微積分學(xué)中利用兩個特殊極限計算函數(shù)極限時，可以把它們湊成兩個重要極限的形式。

(5)在計算極限時，有時需要利用定積分的定義來求，這時就要求將它湊成一個和式的極限。

(6)在不定積分的計算中，存在大量的需要“湊”的問題，這在積分學(xué)中叫做第一換元積分法，也稱為“湊微分法”。

(7)在求解微分方程過程中，一些微分方程的求解實質(zhì)就是找出積分因子，設(shè)法“湊”成全微分方程。

例7:解微分方程:(y+x4)dx－xdy=0

(8)在計算曲線積分和曲面積分時，為了應(yīng)用格林公式、斯托克斯公式和高斯公式，經(jīng)常需要湊上一條線或一個面，使之成為閉曲線積分或閉曲面積分。

C 為由點(a，0)到點(0，0)的上半圓周，x2+y2= ax，y≥0 。如圖

解:由于積分曲線C 并非閉曲線，所以不能直接用格林公式。為了利用格林公式，可加直線段湊成封閉曲線AMOA，這樣所求積分

其中曲面S 為圓錐面x2+y2= (z－1)2(0 ≤x ≤1)的外側(cè)面。

解:曲面S 是圓錐面的外側(cè)面而不是圓錐體的外表面，所以S 是非封閉曲面，加輔助平面S1

S1:x2+y2≤1，z = 0，這樣S+S1湊成封閉曲面，可利用高斯公式。

(9)在概率論中，也會遇到許多“湊”的問題，如在求隨機(jī)變量的函數(shù)的期望時，我們總是設(shè)法將廣義積分“湊”成已知的概率積分形式。

綜上9 個方面，10 個例題，可以說明“湊”在數(shù)學(xué)中是被大量采用的，許多數(shù)學(xué)上的難題都是經(jīng)過“湊”以后才解決的。學(xué)會湊的本領(lǐng)，提高湊的能力，是提高數(shù)學(xué)解題能力的一個重要途徑。