基于MCMC方法對帶跳隨機(jī)波動模型的研究

廖蒸

摘要：針對股票市場波動性表現(xiàn)出的時變特點與“集聚效應(yīng)”，本文對帶跳的隨機(jī)波動模型進(jìn)行研究。應(yīng)用MCMC方法對模型的參數(shù)、隨機(jī)波動率及跳時間進(jìn)行估計，并對上證指數(shù)進(jìn)行實證分析。

關(guān)鍵詞：MCMC方法；帶跳的隨機(jī)波動模型

0 引言

SV模型在金融領(lǐng)域中有著廣泛的用途，因此大多數(shù)的學(xué)者從不同的角度出發(fā)，提出多種SV模型及其相應(yīng)的估計方法。本文中帶跳的隨機(jī)波動模型是SV模型的改進(jìn)型，能更好的擬合股票的價格波動。但是，也正是因為SV模型中包含著潛在變量，涉及的似然函數(shù)和無條件矩要通過高維積分來計算，極大似然法不能直接求解。Jacquier E，PolsonN G和Rossi PE.于1994年在Journal of Business&Economic Statistics期刊上發(fā)表的文章中開創(chuàng)了一種分析條件方差自回歸的sv模型的新技術(shù)。其中用到了Metropolis算法來構(gòu)建馬爾科夫鏈模擬工具，并對貝葉斯和最大似然估計的性能上進(jìn)行了比較，得出了基于貝葉斯估計的馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法（MCMC）在隨機(jī)波動模型分析上更有效的結(jié)論。故本文運用MCMC方法對帶跳的隨機(jī)波動模型進(jìn)行參數(shù)估計并對上證指數(shù)進(jìn)行實證分析。

1 帶跳的SV模型

y_t=μ+e^h_t/2·ε_t+J_t·Z_T （1）

j_t=μ_h+φ_h（h_t-1-μ_h）+S_t （2）

其中，h₁～N（μ_h，σ_h²/1-φ_h²。y=（y₁，y₂，…，y_T）記為觀測樣本序列，h=（h₁，h₂，…，h_T）為對數(shù)波動率數(shù)列，Z_t是密度分布為N（u_j，σ_j²）的跳的大小，J^t是密度分布為Bern（λ）的跳。ε_t-N（1，1）。

1.1 模型的貝葉斯推斷

應(yīng)用MCMC方法對模型進(jìn)行參數(shù)估計的基礎(chǔ)貝葉斯理論，首先通過貝葉斯理論求得各個參數(shù)和缺失變量的后驗分布密度。然后對參數(shù)樣本進(jìn)行Gibbs抽樣或MH抽樣，最終得到參數(shù)的估計值。本文中對各個參數(shù)進(jìn)行了21000次迭代，去除初始的1000次迭代，保證各個參數(shù)的收斂性?？紤]到各個參數(shù)在數(shù)值上可能出現(xiàn)的偶然性，本文中各個參數(shù)的估計值為各個參數(shù)20000次迭代的均值。

模型的聯(lián)合分布密度函數(shù)為：

模型～r/f-參數(shù)的先驗分布假定為：μ～N（0，5），μ_h～N（0，5），J_t～Bern（λ），Z_t～N（μ_j，σ_j），φ_h～N（0.95，1），σ_j²～I(xiàn)G（10，0.19）λ～（20，30），σ_j²～I(xiàn)G，（5，20），u_j～N（0，0.1）。根據(jù)參數(shù)的先驗分布及似然函數(shù)，可得出各個參數(shù)的后驗分布。

1.2 參數(shù)后驗分布密度函數(shù)

對于后驗分布密度函數(shù)為已知標(biāo)準(zhǔn)形式可直接運用Gibbs抽樣；對于后驗分布密度函數(shù)為非標(biāo)準(zhǔn)形式的，可以進(jìn)行Metropolis-Hastings抽樣，選取合適的建議分布，計算接受概率，并抽取樣本。

Z_t的后驗分布，狀態(tài)變量Z_t的后驗分布分兩種狀況，當(dāng)J_t=1時，Z_t-N（α₁，β₁），

對各個參數(shù)進(jìn)行Gibbs抽樣；參數(shù)中φ_h的后驗分布是非標(biāo)準(zhǔn)的，故用MH方法對φ_h進(jìn)行抽樣。

2 實證結(jié)果分析

本文對2005-2014年10年的上證指數(shù)的2345條日收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行實證分析。圖1為上證指數(shù)的收益率時序圖。

從表1中可以看出上證指數(shù)收益呈左偏形態(tài)（偏度<0），且具有尖峰厚尾特征（峰度>3），可以采用SV類模型建模。

應(yīng)用MCMC方法，對帶跳的sv模型進(jìn)行參數(shù)估計，得出以下結(jié)果：

通過表2中各個參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差可得出運用MCMC方法估計得出的參數(shù)中u_h的標(biāo)準(zhǔn)差較大，波動幅度較大，其他各個參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差都較小，波動幅度小，較為穩(wěn)定。其中k=0.02945，2345個數(shù)據(jù)中有71次跳，h的數(shù)值圖采用的數(shù)據(jù)是h的20000次迭代的估計值的均值。得出下列圖表

由圖3與圖1對比可得出，J_t=1時主要分布在2006年4月以后，此時股市開始有小幅震蕩，2007年和2008年股市的震蕩幅度最大，上證指數(shù)波動幅度也十分劇烈，此后一直震蕩不斷。圖2中h的估計值圖像也很好的描述了y值的改變，有著實質(zhì)性的改變，從2006年4月開始，h值逐漸升高，到2008年1月時到達(dá)最高，也是y值震蕩幅度最大的時候，然后逐漸下降，之后持續(xù)長期小幅波動。上證指數(shù)的收益波動具有較強(qiáng)的持續(xù)性，并隨h的估計值的波動而波動，基于MCMC方法的帶跳隨機(jī)波動模型能夠很好的模擬上證指數(shù)的收益波動。

3 結(jié)語

本文對帶跳的隨機(jī)波動模型進(jìn)行了貝葉斯分析，設(shè)定模型參數(shù)的先驗分布，構(gòu)造了基于Gibbs抽樣的MCMC數(shù)值計算過程，并對上證指數(shù)進(jìn)行實證研究。研究結(jié)果表明，基于MCMC方法的對帶跳的隨機(jī)波動模型能夠很好的模擬我國股市的波動，并且證明了我國股市具有較強(qiáng)的波動持續(xù)性。