突出命題課本導(dǎo)向 關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

余獻虎　胡興余

【摘 要】 期末測試命題工作是一個學(xué)期教學(xué)評價的重點工作.期末數(shù)學(xué)卷最后一題的命制目標有：①檢驗學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的的達成情況；②檢測命題老師以該冊課本中的數(shù)學(xué)思想方法為導(dǎo)向的綜合命題能力，包括試題命制的融合度和創(chuàng)新力.期末測試數(shù)學(xué)卷最后一題的編制可從分析學(xué)期所學(xué)知識出發(fā)，通過提煉數(shù)學(xué)思想方法，選擇合適的素材，經(jīng)過多稿討論、辨析、修正，形成正卷，通過測評后的反思，累積經(jīng)驗，實現(xiàn)兩大命制目標.

【關(guān)鍵詞】 期末測試卷命制；課本導(dǎo)向；核心素養(yǎng)

期末測試卷的命制是一項重要工作，尤其是最后一題.毋庸置疑，期末測試卷最后一題應(yīng)具有兩大功能：①檢驗學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的的達成情況；②檢測命題老師以該冊課本中的數(shù)學(xué)思想方法為導(dǎo)向的綜合命題能力，包括試題命制的融合度和創(chuàng)新力.現(xiàn)以一道八年級（上）期末測試數(shù)學(xué)卷最后一題命制過程為例，研討期末測試數(shù)學(xué)卷最后一題科學(xué)的命制過程.

1 知識關(guān)聯(lián)

分析學(xué)期所學(xué)知識，提煉數(shù)學(xué)思想方法，是編制期末測試卷的第一步.

浙教版八年級（上）共5章，第一、二兩章學(xué)習(xí)和研究三角形的初步知識、全等三角形、特殊三角形，其核心思想是不確定因素下的分類討論思想.第三章一元一次不等式，復(fù)習(xí)解集在數(shù)軸上直觀表示，逐點強化一維直線上的數(shù)形交融.第四章圖形與坐標，探究二維平面上點的位置的確定方法——有序數(shù)對，并推廣到圖形變換中去，詮釋二維平面上的形與數(shù)結(jié)合的數(shù)學(xué)方法.第五章一次函數(shù)，提出問題解決的新思想、新模型，是前四章內(nèi)容的高度濃縮，其核心是數(shù)形結(jié)合，即通過建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型（或函數(shù)圖象模型）解決簡單的數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H生活問題.

顯然，一、二章是第五章的有關(guān)“形”的知識儲備章節(jié)，三、四章都從“點”開始循序漸進地滲透數(shù)形結(jié)合，直至建立起新思想、新方法.所以，最后一題考查內(nèi)容定格在一次函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上研究圖形的幾何性質(zhì)，這也是學(xué)生需要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 素材選取

若沒有明確目標和價值指向的新思想指導(dǎo)，具備某種“特質(zhì)”的課本素材是好選擇.這相對選某一模擬卷的最后一題或照搬某地中考卷上同類試題（僅做點數(shù)據(jù)改動），更具公平性、科學(xué)性. 圖1

經(jīng)過綜合分析、比較，命題組選用浙教版九（上）32《圖形的旋轉(zhuǎn)》中的作業(yè)題.原題如下：如圖1，E是正方形ABCD的BC邊上一點，延長BA至點F，

使AF=CE，連結(jié)DE，DF，能通過旋轉(zhuǎn)△DEC得到△DFA嗎？請

說明理由.

原由一：旋轉(zhuǎn)變換是全等變換，圖中△DCE≌△DAF，DE⊥DF.

原由二：當(dāng)點E在邊CB上時，①BE+BF=2AB，是定值，即BF是BE的一次函數(shù)；②Rt△DEF是等腰直角三角形，且四邊形DFBE的面積是定值；③∠EDF的角平分線與邊AB的交點與點E，B構(gòu)成的三角形的周長是定值.

原由三：當(dāng)點E在邊BC的延長線上時，①BF-BE=2AB，是定值；②Rt△DEF是等腰直角三角形；③∠EDF的角平分線與邊AB的交點與點E，B構(gòu)成的三角形的周長是CE的正比例函數(shù).

當(dāng)點E在邊BC的延長線上時，也需按二、三兩種情況討論.

原由四：當(dāng)點E在直線BC上時，△DBE可以是等腰三角形.

3 順延變式

原題可考查全等三角形、特殊三角形、一次函數(shù)等知識.撇開動點背景下的不確定關(guān)系，需要補充形、數(shù)結(jié)合下的數(shù)量關(guān)系，再改變條件，把鉛垂方向量CE巧妙地轉(zhuǎn)換成水平方向量AF，提升了問題的思維量.在這種思想指導(dǎo)下，編制出第一稿題干：

如圖2，在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的頂點A在x軸上，頂點B的坐標是（-3，3）.已知y軸上有一動點D（0，t），連接BD，并作BE⊥BD交x軸于點E.

根據(jù)題干可編制如下設(shè)問：

1.求證：CD=AE.

2.設(shè)點E的橫坐標為s，求s關(guān)于t的函數(shù)表達式.

3.①當(dāng)t=5時，求△ODE的面積.

②△ODE的面積能等于正方形OABC的面積嗎？

若能，求出所有符合條件的t的值；若不能，說明理由.

4.①當(dāng)t=5時，求直線DE的函數(shù)表達式.

②求當(dāng)△ODE的面積能等于正方形OABC的面積時，直線DE的函數(shù)表達式.

5.當(dāng)t為何值時，△OBE是等腰三角形？求出所有符合條件的t的值.

6.設(shè)DE與BC相交于點F，當(dāng)△BEF是等腰三角形時，求t的值.

其中1，重在發(fā)現(xiàn)△BCD≌△BAE，并運用演繹推理證明結(jié)論的能力.2，3，4巧在轉(zhuǎn)化，3②，4②，6涉及一元二次方程（根式方程）或相似三角形，放棄.5考查勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，要具備綜合使用已掌握的知識解決問題的能力.

4 疏剪嫁枝

第一稿構(gòu)圖簡捷，選擇1，2，5，設(shè)問能呈遞進關(guān)系，但痕跡明顯，沒有體現(xiàn)“一次函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上研究圖形的幾何性質(zhì)”的目的.觀察圖形，隱去正方形，直線OB的表達式就是y=-x，命題組協(xié)商討論后編制出第二稿：如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點B在直線y=-x上，點D在y軸上.當(dāng)OB=3 2 時，連結(jié)BD，作BE⊥BD交x軸于點E.

1.求點B的坐標.

2.設(shè)點D的縱坐標為y，點E的橫坐標為x.

①求y關(guān)于x的函數(shù)表達式.

②當(dāng)△OBE是等腰三角形，求y的值.

在圖3背景下，（1）問利用B（b，-b）和勾股定理可

求.（2）問要求能理解圖形的位置關(guān)系，添回隱去的圖2中

AB、AC，利用全等三角形的性質(zhì)找到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)表達式

（y=x+6），才能求得2②中的4解.

命題組第二稿初稿初始“審題不清”，沒有考慮點B在第四象限時B點坐標是（3，-3），y關(guān)于x的函數(shù)表達式是y=x-6，2②中有8解.在命題組限定點B在第二象限后，評議依然認為八年級（上）學(xué)生添加輔助線能力弱，2問起點偏高，就是給出BC（或BA），大部分學(xué)生還是難以找到突破口.

5 移花接木

針對第二稿，命題組繼續(xù)評議認為保留圖1，1問送分可再到

位些，2問保留，有老師會壓二稿2②問同類型題，重編.繼續(xù)聚首

討論后又聯(lián)系到正方形對角線性質(zhì)

AC上一點，當(dāng)BM和DN都經(jīng)過O點時，CM=CN；反之也成立.在這一思路的指引下，編制如下第三稿：如圖5，在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的頂點A在x軸上，頂點B的坐標是（-3，3）.y軸上有一動點D（0，y），連結(jié)BD，作BE⊥BD交x軸于點E.

1.試寫出點C的坐標.

2.設(shè)點E的橫坐標為x，求y關(guān)于x的函數(shù)表達式.

3.“數(shù)學(xué)小能手”小明同學(xué)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)y=3+ 3 時，線段DE與OB的交點P滿足OP= 1 3 OB，如圖6.他把這一發(fā)現(xiàn)告訴了數(shù)學(xué)老師，數(shù)學(xué)老師看了看，畫了畫，告訴小明，還有一個y的值，使得線段DE與OB的交點P也滿足OP= 1 3 OB.小明仔細看著圖形想了想，畫了畫后，說我也知道了.

你知道另一個y的值是多少嗎？畫出圖形，說明理由.

根據(jù)圖4正方形對角線的性質(zhì)編制的3問，有如下參數(shù)法：由題可知P（-1，1）.設(shè)E（a，0），直線DE的表達式是y=- a+6 a x+a+6，代入得，1= a+6 a +a+6，化簡得，a2+6a+6=0，解之得，a=-3± 3 ，所以，y=a+6=3± 3 .第三稿3問是為回避八年級（上）學(xué)生不能解一元二次方程這一忌諱生成的，這一生成策略導(dǎo)致該問題解決思路單一，只能利用圖形的直觀性和軸對稱性求解，即當(dāng)OD=y=3+ 3 時，CD= 3 ，OE=OA-AE=OA-

CD=3- 3 ，所以，當(dāng)y=OE=3- 3 時，OP= 1 3 OB.

綜合上述3問意見和作為壓軸題的1問過于直白，第三稿未獲通過.

6 水到渠成

在之前大量研討的基礎(chǔ)上，試題的結(jié)構(gòu)漸趨明朗.在把握好細節(jié)（如不提正方形、關(guān)注條件嚴謹性），落實好難易度，保證科學(xué)性的前提下，給出如下第四稿：

如圖7，在平面直角坐標系xoy中，點A在第二象限，過點A作AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C.若點A在直線y=-x上，且OA=3 2 .

1.求OB的長.

2.如圖8，設(shè)N（0，n）是y軸上一點，連結(jié)AN，作AM⊥AN，交x軸于點M（m，0）.

①求m關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式.

②設(shè)直線y=-x與直線MN相交于點T，求當(dāng)OM= 1 3 OB時，T的坐標.

③設(shè)直線y=-x與直線MN相交于點T，求當(dāng)△MON是一個含30°內(nèi)角的直角三角形時，T的坐標.

由于2③涉及分母有理化，刪去.這樣本題考查了一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等本冊核心知識，及數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等本冊核心數(shù)學(xué)思想.

7 反省反思

本題突出課本導(dǎo)向，關(guān)注到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成，試題合理與否，還得觀察其難度、區(qū)分度、信度和效度及師生的情緒反應(yīng).命題組在命題完成后及時作了反省，在閱讀結(jié)束時及時作了反思.現(xiàn)就最后一題編制作如下反省反思：

7.1 命題過程

命題工作可分集中前的準備階段和集中時的命題階段.集中后，第一步，分析本冊知識點和數(shù)學(xué)思想方法；第二步，討論擬定方案，比對選擇素材；第三步，編制、辯議、修正，……，直至定稿.但不能忘卻試題自身的科學(xué)性和面對考生的適宜性.第二稿的“審題不清”是可求解狀態(tài)下的科學(xué)性錯誤，不清除必然加重思考嚴謹?shù)目忌木駢毫?第三稿有為回避未學(xué)而取巧設(shè)計情景之嫌，顯得解答思路靈巧有余，解答方法單調(diào)唯一.

7.2 思路伸縮

編制思路收回比編制思路拓展更難.此題編制，最大的困擾是“編制著、編制著，知識超出了”，最多的喜悅是把脫韁之編制思路拉回到已學(xué)知識上去，雖然這樣編制的試題也會被棄之不用，但其中確實會有驚奇.如第三稿3問，最初是：若直線DE和直線OB相交于點P，當(dāng)OP= 1 3 OB時，求x的值. 圖9

該設(shè)問簡潔精練，內(nèi)涵豐富.考查到一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、軸對稱圖形的性質(zhì)、全等三角形、分式方程、一元二次方程等，用到參數(shù)法、解析法、待定系數(shù)法，包含數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建模思想，如

當(dāng)然，超出了，還要能縮回去.

7.3 信息反饋

考試結(jié)束后的調(diào)查表明該題“其實不難，得分不高”.

1問失分原因有：（1）不能依據(jù)“點A在第二象限且點A在直線y=-x上”設(shè)點A的坐標是（x，-x）；（2）依據(jù)勾股定理列得方程2（-x）2=（3 2 ）2后，不會解方程，而不會解的一個主要原因是不會計算（3 2 ）2.毋庸置疑，失分原因（2）中包含解一元二次方程和二次根式化簡，即使七年級（上）第三章《實數(shù)》中有開平方和無理數(shù)，還是超了.

2問失分原因有：（1）多從代數(shù)角度找2①問中“m關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式”，而本問恰需從幾何角度考慮；（2）坐標與距離間的符號出錯，導(dǎo)致表達式出錯或錯誤分類；（3）2②沒有分類討論，或因計算錯導(dǎo)致表達式錯或交點坐標錯.

一次活動一次反思，一段經(jīng)歷一次收獲.上述失分，歸根結(jié)底是由綜合能力不強造成，因為期末測試不可能綜合系統(tǒng)復(fù)習(xí)，這也提示我們期末測試卷最后一題的命制也不同于中考壓軸題的命制.畢竟適當(dāng)?shù)?，才是最好的?/p>

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.范良火，許芬英.數(shù)學(xué)教學(xué)參考書九年級上冊[M].杭州：浙江教育出版社，2006.

3.曹經(jīng)富.例析一道幾何中考模擬壓軸題的打磨與出爐[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2015年第10期.