考研高等數(shù)學(xué)中線性代數(shù)試題分析

摘 要：本文對于線性代數(shù)的內(nèi)容和題型，對其難度系數(shù)進(jìn)行了打分；通過對難度系數(shù)的剖析，說明了在考研高等數(shù)學(xué)中線性代數(shù)部分的解答題（22分）?？嫉姆秶阌诳忌鷱?fù)習(xí)時能夠抓住重點(diǎn)，對于考研的同學(xué)有一定的指導(dǎo)作用。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù) 研究生考試 高等數(shù)學(xué)

中圖分類號：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）09（a）-0109-04

在考研的高等數(shù)學(xué)中，滿分是150分，線性代數(shù)的內(nèi)容，34分，占大約22%其中選擇題8分（兩小題），填空題4分（一小題），解答題22分（兩大題）；本文對于線性代數(shù)的內(nèi)容，根據(jù)公式（或概念）的難度，將其難度劃分為若干等級，進(jìn)行打分；對于題型，根據(jù)解題時所用的知識點(diǎn)的多少，也將其難度劃分為若干等級，進(jìn)行打分。然后，根據(jù)這兩個等級，將難度系數(shù)進(jìn)行綜合打分。最后，通過對難度系數(shù)的剖析，說明了在考研高等數(shù)學(xué)中線性代數(shù)部分的解答題（22分）?？嫉姆秶?，便于考生復(fù)習(xí)時能夠抓住重點(diǎn)。下面對所給的方法具體解釋如下：

對于公式，根據(jù)其難度，分為三個等級，其難度系數(shù)分布賦予值1、1.5、2。比如，低階（四階以下）行列式，其計算公式很簡單，難度系數(shù)定義為1；再比如，矩陣A與伴隨矩陣的關(guān)系公式，比較復(fù)雜，難度系數(shù)定義為1.5。至于用施密特（Schmidt）方法求線性無關(guān)向量組的正交向量組，其公式內(nèi)容較多，且涉及到內(nèi)積的計算，故難度系數(shù)規(guī)定為2。

對于有關(guān)概念，也根據(jù)其難度，分為三個等級，其難度系數(shù)也分布賦予值1、1.5、2。比如：對稱矩陣的概念，比較簡單，難度系數(shù)定義為1；再比如，矩陣的特征值和特征向量的概念，涉及到等式，難度系數(shù)規(guī)定為1.5；至于非齊次線性方程組通解的概念，涉及到一個特解和的通解，而后者又涉及到的基礎(chǔ)解系的概念，比較難理解，故難度系數(shù)規(guī)定為2。

對于題型，根據(jù)其解題時所用到的知識點(diǎn)的多少，對其難度進(jìn)行打分。所用的知識點(diǎn)多，難度系數(shù)就高，所用的知識點(diǎn)少，難度系數(shù)就低。比如：用初等變換求矩陣A的秩，通過簡單的運(yùn)算，將矩陣化A為階梯型就可以了，難度系數(shù)定義為1；再比如：求齊次線性方程組的解，先用初等變換將系數(shù)矩陣A化為階梯型，據(jù)此確定自由變量和基礎(chǔ)解系，進(jìn)而可寫出齊次線性方程組的通解。故難度系數(shù)定義為3。有時還需討論是否有非零解，因此，難度系數(shù)定義為≥3.

對于所用的知識點(diǎn)，也根據(jù)知識的難易和運(yùn)算量進(jìn)行打分，比如：對于一般的行列式的計算，難度系數(shù)規(guī)定為1；對于行列式的計算且需要討論的，難度系數(shù)規(guī)定為1.5；對于在一個題目中，多次計算行列式的，比如：用克萊姆（Cramer）法則解線性方程組，多次計算行列式，其難度系數(shù)也定義為1.5.

下面我們將線性代數(shù)的主要內(nèi)容和題型，對其綜合難度系數(shù)進(jìn)行了如下分析：（見表1）。

近年來，研究生考試中，解答題22分（兩大題），基本上是考察學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力。接下來針對近年來的試題作具體的分析，下面的1～14題，見文獻(xiàn)[1]。

（1）2007年數(shù)學(xué)一、三（21），11分。設(shè)線性方程組：

（1）

與方程 （2）

有公共解，求的值及所有公共解。

難度分析：方程組（1）、（2）有公共解，即由方程組（1）、（2）組成的方程組有解，本題歸結(jié)為解非齊次線性方程組（含參數(shù)）的解。綜合難度系數(shù)為≥5。題型特點(diǎn)：解含參數(shù)的方程組。

（2）2007年數(shù)學(xué)一、三（22），11分。

設(shè)3階實(shí)對稱矩陣A的特征值是A的屬于的一個特征向量。記，其中E為3階單位矩陣。

①驗(yàn)證是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量。

②求矩陣B。

難度分析：驗(yàn)證是B矩陣的特征向量，難度系數(shù)為1；易見矩陣B為實(shí)對稱矩陣，那么已知部分特征值和特征向量，求該矩陣的全部特征值和特征向量，難度系數(shù)為4.5；綜合難度系數(shù)為5.5.題型特點(diǎn)：求矩陣的特征值與特征向量。

（3）2008年數(shù)學(xué)一、三（20），11分。

設(shè)矩陣，現(xiàn)矩陣A滿足方程工，其中，.

①求證.

②為何值，方程組有唯一解。

③為何值，方程組有無窮多解。

難度分析：求n階行列式的值，難度系數(shù)2；用克萊姆法則判別方程組有唯一解，難度系數(shù)為1；求線性方程組的通解，難度系數(shù)為5。故本題綜合難度系數(shù)為8。

題型特點(diǎn)：n階行列式的計算，解含參數(shù)的方程組。

（4）2008年數(shù)學(xué)一、三（21）（本題滿分11分）。

設(shè)A為3階矩陣，為的分別屬于特征值-1，1特征向量，向量滿足，

證明：①線性無關(guān)。

②令，求.

難度分析：線性無關(guān)的判別，難度系數(shù)為3.5；應(yīng)用公式，難度系數(shù)為1，綜合難度系數(shù)為4.5.題型特點(diǎn)：

判斷方程只有零解，歸結(jié)為解方程組。

（5）2009年數(shù)學(xué)三（20）（本題滿分11分）。

設(shè)

①求滿足的所有向量；

②對①中的任一向量，證明：線性無關(guān)。

難度分析：求兩個求非齊次線性方程組的通解，難度系數(shù)為4.5；證明線性無關(guān)，難度系數(shù)為3.5，綜合難度系數(shù)為8。題型特點(diǎn)：解方程組。

（6）2009年數(shù)學(xué)一、三（21）（本題滿分11分）。

設(shè)二次型

（1）求二次型的矩陣的所有特征值；

（2）若二次型的規(guī)范形為，求的值。

難度分析：寫出二次型的矩陣A（含有未知參數(shù)），難度系數(shù)為1；求矩陣A的特征值，難度系數(shù)為2；已知二次型的規(guī)范形和特征值，反過來求未知參數(shù)，其難度系數(shù)為1；綜合難度系數(shù)為4。題型特點(diǎn)：求矩陣的特征值，求矩陣中的未知參數(shù)，解方程。

（7）2010年數(shù)學(xué)一、三（20），11分）。

設(shè)，。已知線性方程組存在兩個不同的解，

①求；

②求方程組的通解。

難度分析：已知線性方程組的部分解，反過來求未知參數(shù)，難度系數(shù)為3.5；再求方程組的通解，難度系數(shù)為3。綜合難度系數(shù)為6.5。題型特點(diǎn)：求矩陣和向量中的未知參數(shù)，解方程組。

（8）2010年數(shù)學(xué)一、三（21），11分。

設(shè)，正交矩陣使得為對角矩陣。若的第一列為，求。

難度分析：由，可得，由此可知：是A的一個特征向量，難度系數(shù)為1；已知矩陣的特征值和特征向量，反過來求未知參數(shù)，難度系數(shù)為2；再求正交矩陣，使得可以對角化，難度系數(shù)為2；綜合難度系數(shù)為5。題型特點(diǎn)：求矩陣中的未知參數(shù)，解方程。

（9）2011年數(shù)學(xué)一、三（20），11分。不能由線性表出。

①求。

②將由線性表出。

難度分析：由題設(shè)可推得線性相關(guān)，難度系數(shù)為1；進(jìn)而，可求得的值；難度系數(shù)為1；將一組向量由另一組向量線性表示，難度系數(shù)為3；綜合難度系數(shù)為5。題型特點(diǎn)：求向量中的未知參數(shù)。

（10）2011年數(shù)學(xué)三（21），11分。A為三階實(shí)對稱矩陣，

且.

①求A的特征值和特征向量。

②求A.

難度分析：求A的特征值和特征向量，難度系數(shù)為4.5；矩陣的對角化問題，利用，可求得A，難度系數(shù)為1。綜合難度系數(shù)為5.5.題型特點(diǎn)：求矩陣的特征值和特征向量。

（11）2012年數(shù)學(xué)三（20），11分。

設(shè)

①計算行列式.

②當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時，方程組有無窮多解，并求其通解。

難度分析：求含參數(shù)的低階行列式，難度系數(shù)為1；對的值（含參數(shù)）進(jìn)行討論，判別方程組是否有解，難度系數(shù)為1；在有解的情況下，求方程組的通解，難度系數(shù)為3.綜合難度系數(shù)為5.題型特點(diǎn)：求矩陣中的未知參數(shù)，解方程組。

（12）2012年數(shù)學(xué)三（21），11分。

已知，

二次型的秩為2，

①求實(shí)數(shù)的值。

②求正交變換，將化為標(biāo)準(zhǔn)型。

難度分析：已知二次型的矩陣（含參數(shù)）和一些條件，反過來求未知參數(shù)，難度系數(shù)為1；已知二次型矩陣，求正交變換，將其化為標(biāo)準(zhǔn)型，難度系數(shù)為4.綜合難度系數(shù)為5。題型特點(diǎn)：求矩陣中的未知參數(shù)。

（13）2013年數(shù)學(xué)三（20），11分。

設(shè)，.當(dāng)為何值時，存在矩陣，使得，并求所有矩陣.

難度分析：設(shè)，難度系數(shù)為1；由矩陣方程，得到方程組，難度系數(shù)為1；由題設(shè)通解求，難度系數(shù)為1；求方程組的通解，難度系數(shù)為2；綜合難度系數(shù)為5。題型特點(diǎn)：求矩陣中的未知參數(shù)。

（14）2013年數(shù)學(xué)三（21），11分。

設(shè)二次型

。

記，。

①證明二次型對應(yīng)的矩陣為.

②若正交且均為單位向量，證明在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為.

難度分析：求二次型的矩陣A，難度系數(shù)為2；A=，由此可求出A的兩個特征根，難度系數(shù)為1.5.再求出A的一個特征根，難度系數(shù)為1。綜合難度系數(shù)為4.5.題型特點(diǎn)：對稱矩陣的對角化。

從上面的分析可見，解答題的試題，主要有兩個方面的特征：一是題型特征；二是難度綜合系數(shù)特征。其題型特征主要集中在三個方面：

第一，求未知參數(shù)和解方程組。這個未知參數(shù)可能出現(xiàn)在行列式中，也可能出現(xiàn)在向量中，也可能出現(xiàn)在矩陣中。而解未知參數(shù)，必須要列方程（組）。然后來解方程組。因此，解方程組是重點(diǎn)。

第二，求矩陣的特征值和特征向量。

第三，矩陣的對角化。這包括一般矩陣的對角化和對稱矩陣的對角化。

因此，同學(xué)們在考研復(fù)習(xí)時，要重點(diǎn)復(fù)習(xí)上面的三種題型。

其綜合難度系數(shù)的特征是：解答題的試題都是出現(xiàn)在綜合難度難度系數(shù)≥3.5的部分。因此，同學(xué)們在考研復(fù)習(xí)時，要重點(diǎn)復(fù)習(xí)難度系數(shù)表中綜合難度系數(shù)的≥3.5內(nèi)容。至于填空題和選擇題，主要考察同學(xué)們對基本概念的理解以及一定的綜合運(yùn)算能力，只要按照大綱給定的內(nèi)容認(rèn)真進(jìn)行復(fù)習(xí)就可以了。

參考文獻(xiàn)

[1]2009—2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題[EB/OL].中國教育在線，Http：//www.edu.cn.