初等數(shù)論教學(xué)中類比法的應(yīng)用分析

摘 要：本文以初等數(shù)論課程教學(xué)活動的開展為研究對象，著眼于對類比法教學(xué)方式的應(yīng)用，結(jié)合初等數(shù)論教學(xué)案例，分析了類比法這一教學(xué)手段在教學(xué)實踐中的開展情況及其特殊優(yōu)勢，旨在為類比法進一步應(yīng)用于初等數(shù)論教學(xué)過程，提供一定的參考與幫助。

關(guān)鍵詞：初等數(shù)論 教學(xué) 類比法 應(yīng)用 分析

中圖分類號：G63 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）06（c）-0094-01

類比法作為一種有效的教學(xué)方法，其最為突出的優(yōu)勢在于，能夠引導(dǎo)學(xué)生將不同的對象聯(lián)系起來，從而達到加深學(xué)生對相關(guān)知識點認知與理解程度的目的。將其應(yīng)用于初等數(shù)論教學(xué)中，不但有助于提高學(xué)生對相關(guān)知識點的掌握程度，同時還有助于形成良好的數(shù)學(xué)思維。本文試結(jié)合教學(xué)實踐案例，對其做詳細分析。

1 類比法應(yīng)用于最大公因數(shù)教學(xué)

教師首先需要針對此項教學(xué)內(nèi)容的課時進行細致安排，確保學(xué)生能夠充分認識到有關(guān)“最大公因數(shù)”知識點的基本內(nèi)容。在此基礎(chǔ)之上，從基本概念、性質(zhì)、計算方式以及特征等多個方面入手，以類比法為主要手段，引導(dǎo)學(xué)生自主認識到有關(guān)“最小公倍數(shù)”知識點的基本內(nèi)容。教師應(yīng)用類比法分析“最大公因數(shù)”知識點的過程中，可按照如下方式實施：

第一步：分析“最大公因數(shù)”基本定義：即對于整數(shù)a1，a2，…，an而言，與之相對應(yīng)的公共因數(shù)可以定義為a1，a2，…，an的公因數(shù)。與此同時，對于不全為零的整數(shù)b1，b2，…，bn而言，其所有公因數(shù)當(dāng)中，數(shù)值最大的公因數(shù)可定義為整數(shù)中的最大公因數(shù)。其具體的表達方式應(yīng)當(dāng)為：（b1，b2，…，bn）。同時，對于非零整數(shù)而言，與之相對應(yīng)的因數(shù)個數(shù)是有限集。因此可以證實：最大公因數(shù)（b1，b2，…，bn）是實際存在，且為正整數(shù)。

第二步：研究“最大公因數(shù)”基本定理：即對于任何整數(shù)集a1，a2，…，an而言，滿足如下等式：（1）：（a1，a2，…，an）=（|a1|，|a2|，…，|an|）；同時也滿足（2）：（a，1）=1；（a，0）=（a，a）=|a|。同時，（a，b）=（b，a）。在此基礎(chǔ)之上，若定義x，y，z當(dāng)中，x為整數(shù)，y為素數(shù)，那么對于（y，x）而言，合理的取值結(jié)果可以分為兩種情況：（1）是（y，x）=1；（2）是（y，x）=y|x。在此基礎(chǔ)之上，若進一步應(yīng)用類比法，定義a取值為（by+z），那么可以推斷得出：（a，b）=（b，z）。

第三步：引導(dǎo)學(xué)生自主展開對“最大公因數(shù)”相關(guān)數(shù)值的求解：教師需要在教導(dǎo)學(xué)生認識如何應(yīng)用類比法推斷公式的基礎(chǔ)之上，引導(dǎo)學(xué)生自主展開對相關(guān)知識點的求解。例如，在上一步驟教師所進行的教學(xué)過程當(dāng)中，已得出了兩個有關(guān)“最大公因數(shù)”的基本定義：（1）（a，1）=1；（a，0）=（a，a）=|a|；（2）定義a取值為（by+z），則有（a，b）=（b，z）。在上述兩項“最大公因數(shù)”基本性質(zhì)定理的基礎(chǔ)之上，學(xué)生可以利用輾轉(zhuǎn)相除法計算得出，在任意n個非零整數(shù)中的最大公因數(shù)數(shù)值?；谏鲜龇治霾浑y看出：在初等數(shù)論的教學(xué)過程當(dāng)中，整數(shù)的整除理論可以說是教學(xué)的基礎(chǔ)與根本所在。以類比法為手段，組織有關(guān)最大公因數(shù)的教學(xué)內(nèi)容，能夠在提高教學(xué)質(zhì)量的同時，加深學(xué)生的理解。

2 類比法應(yīng)用于同余式教學(xué)

在有關(guān)同余式性質(zhì)以及等式基本性質(zhì)知識點的研究過程當(dāng)中，同樣可借助于對類比法的合理應(yīng)用，加深學(xué)生對于此項知識點的認知。在此過程當(dāng)中，教師應(yīng)用類比法方式展開教學(xué)的最主要目的：在于既體現(xiàn)同余式性質(zhì)與等式基本性質(zhì)聯(lián)系的同時，比較上述兩者之間存在的異同點。具體而言，可按照如下方式實施：

第一步：引導(dǎo)學(xué)生認識到固定模所對應(yīng)同余式與常規(guī)等式之間的相同點。具體來說，對于固定模a而言，a自身所對應(yīng)的同余式在如下幾個方面與等式有著多處相同點。具體如下所示：

（1）首先，xy（mod a）所需要滿足的最基本的充要條件為：x=y+at（且t∈Z）換句話來說，該充要條件還可進一步拓展成為：a|x-y；其次，對于存在同余關(guān)系的等式而言，有以下幾個方面的算律是必須遵循的：同余關(guān)系從本質(zhì)上來說屬于一種特殊的等價關(guān)系。

（2）在對同余式進行加/減操作的過程當(dāng)中，若定義xy（mod a），且滿足zu（mod a）。聯(lián)立上述同余式，則可以推斷得出存在于x、y、z、u之間的對應(yīng)關(guān)系：如x±zy±u（mod a）；在對同余式進行相乘操作的過程當(dāng)中，若同樣定義xy（mod a），且滿足zu（mod a）。聯(lián)立上述同余式，則可以推斷得出存在于x、y、z、u之間的對應(yīng)關(guān)系：如xzyu（mod a）。

第二步：教師可以在得出上述基本算律的基礎(chǔ)之上，就上述有關(guān)同余式進行加/減操作以及乘法操作過程當(dāng)中所表現(xiàn)出的基本特點，建立相應(yīng)的運算公式。但需要注意的是：對于同余式而言，消去律在常規(guī)意義上來說是不成立的。這也就是說：在基于xzyz（mod a）的基礎(chǔ)之上，并無法準(zhǔn)確的推斷得出：xy（mod a）。教師需要在引導(dǎo)學(xué)生認識到上述問題的基礎(chǔ)之上，采取類比方式，引導(dǎo)學(xué)生推斷得出以下結(jié)果：即對于同余式“xzyz（mod a）”而言，可以判定的是：

xy（mod a/（a，z））

換句話來說，若在該同余式當(dāng)中的（z，a）取值為1，那么上述等式可以直接簡化成為“xy（mod a）”。這一過程當(dāng)中所涉及到的基本定理就在于：當(dāng)出現(xiàn)同余式兩邊公因數(shù)z與模a存在互素關(guān)系的情況下，則可以在該同余式兩邊直接約去公因數(shù)“z”，達到簡化同余式的目的?；谏鲜龇治霾浑y發(fā)現(xiàn)：在將類比法應(yīng)用于該知識點教學(xué)的過程當(dāng)中，能夠盡量避免同余式運算過程的抽象性，提高學(xué)生對于整個計算過程中以及數(shù)論知識的理解程度，同時加深記憶。

3 結(jié)語

類比法最為突出的優(yōu)勢在于，能夠引導(dǎo)學(xué)生將不同的對象聯(lián)系起來，達到加深學(xué)生對相關(guān)知識點認知與理解。這與初等數(shù)論教學(xué)的目的相吻合。本文結(jié)合相關(guān)教學(xué)案例，研究類比法在教學(xué)過程中的應(yīng)用。

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