導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題歸類

摘 要：導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)主要內(nèi)容之一，在高考中占有很大比重，在解答題中導(dǎo)數(shù)總是做為壓軸題出現(xiàn)，所以導(dǎo)數(shù)問(wèn)題也是高考的難題。導(dǎo)數(shù)問(wèn)題主要涉及求函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值和最值、曲線的切線等導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，還包括恒成立中求參數(shù)問(wèn)題、方程根及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題、不等式證明問(wèn)題等綜合問(wèn)題，本文主要從后面幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析和研究。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 單調(diào)性 構(gòu)建函數(shù)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2013）06（c）-0093-01

1 關(guān)于恒成立中求參數(shù)問(wèn)題

例1：（2012吉林質(zhì)檢）已知函數(shù)，其中為常數(shù)。

（1）若對(duì)任意有≥0成立，求的取值范圍；

解析：（1），令，得。故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增。所以當(dāng)時(shí)，為最小值。令≥0，得≤1，所以的取值范圍為≤1。

溫馨提示：對(duì)于恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題，最后都轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，因此，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決恒成立問(wèn)題的一種重要方法。

注：本題還有第二問(wèn)請(qǐng)看下面二方程根及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題。

2 方程根及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

例2：（2012吉林質(zhì)檢）已知函數(shù)，其中為常數(shù)。

（2）當(dāng)時(shí)，判斷在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由。

解析：（2）由（1）知在上至多有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋栽谏嫌形ㄒ涣泓c(diǎn)。又，令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即。故，所以在上有唯一零點(diǎn)。因此在上有兩個(gè)零點(diǎn)。

溫馨提示：對(duì)于方程根和函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，要從函數(shù)的極值和端點(diǎn)符號(hào)及單調(diào)性考慮，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，來(lái)判斷函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

3 不等式證明問(wèn)題

3.1 一元不等式證明問(wèn)題

例3：已知函數(shù)證明：當(dāng)，且時(shí)，。

解析：因?yàn)椋?/p>

令，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以在和上為減函數(shù)。因?yàn)?，所以?dāng)且時(shí)，恒有即。

溫馨提示：對(duì)于這類一元不等式證明問(wèn)題，常根據(jù)題目的特征，恰當(dāng)構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值、極值問(wèn)題，解題時(shí)要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性。

3.2 兩元不等式證明問(wèn)題

例4：證明：。

解析：要證，只需證。即證。設(shè)再根據(jù)導(dǎo)數(shù)證明在上為單調(diào)增函數(shù)，又，所以，證得。

溫馨提示：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問(wèn)題，本題的解決是構(gòu)建了一個(gè)一元函數(shù)，根據(jù)一元函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題，本題最后轉(zhuǎn)化為例3類型的問(wèn)題。

小結(jié)：（1）在解決導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題解答題的后一問(wèn)時(shí)，要注意是否能用到前一問(wèn)的解題結(jié)果。

（2）對(duì)于含兩元的不等式證明問(wèn)題，一般都要構(gòu)建為一元函數(shù)去證明，但對(duì)于例3構(gòu)建后的證明又不同，例3是通過(guò)一元函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題。

總結(jié)：導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)及高考中有著極其重要的地位，對(duì)于導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題無(wú)論是恒成立中求參數(shù)問(wèn)題，方程根及零點(diǎn)問(wèn)題，還是不等式證明問(wèn)題，往往都有一定難度，在解題過(guò)程中一般都是通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值來(lái)解決問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)

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[2]張海峰，黃寒凝.導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用分析[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)：教學(xué)研究，2011（9）：33-34.