數(shù)學(xué)題變式的常用方法

摘 要：本文闡述了什么是數(shù)學(xué)題的變式及數(shù)學(xué)題的變式對(duì)發(fā)展學(xué)生思維，提高解題能力的作用，并對(duì)數(shù)學(xué)題變式的常用方法進(jìn)行了初步探討。

關(guān)鍵詞：變式 舉一反三 命題 解題能力

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2013）06（c）-0088-02

數(shù)學(xué)題是無(wú)窮無(wú)盡的，搞“題海戰(zhàn)術(shù)”不僅加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而且削弱了基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，也影響了學(xué)生思維的發(fā)展。數(shù)學(xué)教學(xué)要在發(fā)展學(xué)生思維能力上下功夫，而一題多解與一題的變式應(yīng)用這兩種形式對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是有效的。本文想對(duì)數(shù)學(xué)題變式的常用方法做初步探討。

題的變式是指對(duì)于一道數(shù)學(xué)題，適當(dāng)變換條件或結(jié)論，變換形式或內(nèi)容，得到一些新的數(shù)學(xué)題。

把一道數(shù)學(xué)題變成新的數(shù)學(xué)題，所用知識(shí)，解題方法都可能引起變化。通過(guò)比較鑒別，會(huì)使學(xué)生進(jìn)一步開(kāi)闊思路，學(xué)的靈活；同時(shí)有利于鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的訓(xùn)練，起舉一反三的作用。

一題的變式在新課、復(fù)習(xí)課和習(xí)題課都可應(yīng)用。

1 條件或結(jié)論的等價(jià)替換

在數(shù)學(xué)命題中，有些命題是等價(jià)命題，他們之間可以互相推導(dǎo)，如果將命題的條件（或條件）用等價(jià)的條件（或結(jié)論）替換，便可得出新命題。

例1：方程（a-b）c2+（c-a）c+（b-c）=0有相等二實(shí)根，求證：a、b、c成等差數(shù)列。

這個(gè)命題可改寫(xiě)成“若（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0，求證：a、b、c成等差數(shù)列?！?/p>

實(shí)際上原題中方程有相等二實(shí)根與新題的（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0是等價(jià)的。

原題也可這樣改變：“設(shè)A、B、C為三角形三個(gè)內(nèi)角，且（sinA-sinB）c2+（sinC-sinA）c+（sinB-sinC）=0有相等二實(shí)根，求證：sinA、sinB、sinC成等差數(shù)列?！?/p>

有正弦定理知，在△ABC中，（sinA-sinB）c2+（sinC-sinA）c+（sinB-sinC）=0與（a-b）c2+（c-a）c+（b-c）=0是等價(jià)的，sinA、sinB、sinC成等差數(shù)列與a、b、c成等差數(shù)列是等價(jià)的。

例2：設(shè)tgα，tgβ是方程c2+ac+a+1=0的二根，求證（α+β）=1

這個(gè)題條件不變，結(jié)論可改成“求證sin（α+β）=cos（α+β）”。

或改成“求證α+β=nπ+，（n為整數(shù)）?！?/p>

2 利用數(shù)學(xué)中的互逆關(guān)系

數(shù)學(xué)存在著對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。如加與減、乘與除、乘方與開(kāi)方、指數(shù)與對(duì)數(shù)、反三角函數(shù)與三角函數(shù)、和差化積與積化和差等等。這就啟發(fā)我們可以根據(jù)數(shù)學(xué)中的互逆關(guān)系，進(jìn)行變式。

例3：設(shè)α，β為銳角，且tgα=，tgβ=，求證：α+β=。可以改寫(xiě)成

“求證：arctg+arctg=”。

在幾何命題中，有些原命題、逆命題都成立，這樣可以把條件和結(jié)論部分交換或全部交換，得出新命題。

例4：由圓外一點(diǎn)O，向圓C作切線OA、OB，A、B是切點(diǎn)，在劣弧AB上任取一點(diǎn)P，作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，PF⊥OB于F，則PE2=PD·PF。（見(jiàn)圖1）

如將結(jié)論與條件部分交換，可改寫(xiě)成“設(shè)等腰△OAB的頂角為2θ，高為h，在△OAB內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，到三邊OA、OB、AB的距離分別為|PD|、|PF|、|PE|，并且滿足|PE|2=|PD|·|PF|，求P點(diǎn)的軌跡。（見(jiàn)圖2）

例5：在△ABC中，∠A的平分線交BC于D，則。如果條件與結(jié)論全部交換，可改成“在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，且，則AD平分∠A”。

3 變換問(wèn)題的表現(xiàn)形式和內(nèi)容

對(duì)于同樣的數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)系，?？梢员憩F(xiàn)為各種不同的形式。我們掌握了這種關(guān)系之后，可以編出與這種關(guān)系相同而表現(xiàn)形式不同的習(xí)題。

例6：分解因式：（c+1）（c+3）（c+5）（c+7）+15。

這個(gè)題可改成解方程：（c+1）（c+3）（c+5）（c+7）+15=0。或改成解不等式：（c+1）（c+3）（c+5）（c+7）+15>0，或改成“求函數(shù)y=lg〔（（c+1）（c+3）（c+5）（c+7）+15〕的定義域”等等。

例7：已知CD是直角△ACB斜邊AB的高，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求證：（見(jiàn)圖3）

根據(jù)條件和圖形，可改成“設(shè)CEDF是一個(gè)已知圓的內(nèi)接矩形，過(guò)D作該圓的切線與CE的延長(zhǎng)線相交于A，與CF延長(zhǎng)線相交于B，求證：?！保ㄒ?jiàn)圖4）

例8：若a、b、c為正數(shù)，

且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥

利用代數(shù)和幾何的聯(lián)系，可以改成“長(zhǎng)方體三度之和為1，求證此長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)不小于。”這樣一變，使學(xué)生進(jìn)一步學(xué)到了溝通不同學(xué)科知識(shí)的方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的解題能力。

以上幾列原題和新題之間雖形式上不一樣，但在數(shù)量關(guān)系和解題方法上基本沒(méi)有變化。

4 題目的發(fā)展和深化

（1）利用特殊和一般的關(guān)系，使題目?jī)?nèi)容發(fā)展和深化。

例9：化簡(jiǎn)：

這個(gè)題化簡(jiǎn)的結(jié)果是x2，如果將x換成sina，cosa，seca，csca等之一，就使一般問(wèn)題特殊化了，從而使題目的內(nèi)容發(fā)展了。

例10：在△ABC中，求證tgA+tgB+tgC= tgAtgBtgC

實(shí)際上，不一定在△ABC中，只要A+B+C=nπ，nZ上式就成立。

特別是當(dāng)n=0時(shí)得到

；

通過(guò)對(duì)原題有時(shí)增加條件，有時(shí)改變條件，由特殊到一般，由一般到特殊地進(jìn)行變式，起到了歸類串線、多題一解的作用，可以使學(xué)生掌握解題規(guī)律。

（2）條件不變，使結(jié)論發(fā)展和深化。

例11：已知方程組（A、B、C、D均為正數(shù)）

（1）證明c是一個(gè)二次方程的根；

（2）證明這兩個(gè)方程有相異二實(shí)根；

（3）試指出此二次方程的絕對(duì)值大的根的符號(hào)。

顯然，從方程組中消去y，便可得到關(guān)于x的方程。在此基礎(chǔ)上，要證明（2）還得用到判別式，要回答（3）需比較兩根的大小。條件雖未變，通過(guò)連串三問(wèn)，使結(jié)論發(fā)展、深化了，使問(wèn)題拔了高，擴(kuò)大了知識(shí)領(lǐng)域。

從本文的例題中，可以透視出有些新題是怎樣編擬出來(lái)的，同時(shí)也啟發(fā)我們?cè)诮虒W(xué)中重視變式的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1]首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教材教法研究室.中等數(shù)學(xué)教題研究[M].河南教育出版社，1994.