數(shù)學(xué)教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生的觀察發(fā)現(xiàn)力

摘 要：本文結(jié)合課堂數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，通過例舉對(duì)一些數(shù)學(xué)問題的探索分析，明確在讓學(xué)生探究知識(shí)的過程中應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，幫助學(xué)生思考獲得最佳的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 教學(xué) 觀察發(fā)現(xiàn)

中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2013）06（c）-0023-02

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)較好地、有效地讓學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。要讓學(xué)生對(duì)問題追根尋源，發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。這就需要學(xué)生具有善于“觀察發(fā)現(xiàn)”的能力。觀察發(fā)現(xiàn)是人們認(rèn)識(shí)客觀世界的最重要手段，很多有成就的科學(xué)家之所以能有所發(fā)現(xiàn)、有所發(fā)明。一方面是具有良好的思維能力；另一個(gè)重要原因就是他們有良好的觀察發(fā)現(xiàn)力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)能力的培養(yǎng)，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的前提，也是解決數(shù)學(xué)問題的手段。如在平面幾何的教學(xué)中，難于著手的證明題極多，學(xué)生易產(chǎn)生畏難情緒，在教學(xué)中應(yīng)利用各類題目或同一題中各小題的關(guān)系，讓學(xué)生觀察題型發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律，找出解決問題的方法，歸納出同類證明題的思路，有繁變簡(jiǎn)，由難變易，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及解題能力，養(yǎng)成敏捷的數(shù)學(xué)思維能力。比較下列各題有什么規(guī)律特點(diǎn)？

第一題（如圖1所示）四邊形各邊的中點(diǎn)順次連結(jié)的四邊形，是一個(gè)平行四邊形。

第二題（如圖2所示）四邊形的一組對(duì)邊同兩對(duì)角線的中點(diǎn)順次聯(lián)結(jié)的四邊形是一個(gè)平行四邊形。

第三題（如圖3所示）延長(zhǎng)四邊形AKCL的兩組對(duì)邊，AK、LC交于B，AL、KC交于D，若AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)順次是E、F、G、H則EFGH是平行四邊形。

引導(dǎo)：（1）讓學(xué)生觀察第一題，圖1提問：

①已知條件是什么？要求證的是什么？

②思考證明四邊形是平行四邊形可用哪些方法？

③是否可以直接利用定理來證明四邊形是平行四邊形嗎？

④可用什么方法來求證？（如連結(jié)BD，利用三角形中位線定理證明四邊形一組對(duì)邊平行且相等）

（2）觀察第二、三題。（觀察方法與第一題一樣）

（3）通過以上三題的觀察，看圖（2）、（3）與圖（1）有什么發(fā)現(xiàn)？（有什么不同之處？什么相同之處？有什么相關(guān)？）

（4）讓學(xué)生各自發(fā)表自己的發(fā)現(xiàn)。（對(duì)以上三題的觀察知道，可發(fā)現(xiàn)，以上三題表面看是三個(gè)完全不同的題目，但實(shí)際是同一題的變形。如把第一題中的四邊形ABCD的BC邊反過一個(gè)方向，就成第二題；如把第一題中的四邊形ABCD中的∠C換作>180°，就成第三題。因此，它們的證法也相同，都可用第一題利用三角形中線定理來證明。）

（5）教師歸納總結(jié)。從以上同學(xué)們的觀察可知，要發(fā)現(xiàn)問題應(yīng)從被觀察問題的表面著手，把觀察到的東西，系統(tǒng)的有條理的進(jìn)行分析，找出問題的實(shí)質(zhì)，發(fā)現(xiàn)同類問題的共同特征，整理出解決同類問題的途徑及方法。所以我們只要善于觀察發(fā)現(xiàn)問題，不少幾何證明題多可歸類找出典型圖形，可總結(jié)解決這類問題的方法，以后碰到就迎刃而解了。

第一題（如圖4所示）在三角形ABC各邊上向外各作等邊三角形ABD、BCE、CAF，則CD=AE=BF。

第二題（如圖5所示）四邊形ABCG的一組對(duì)邊AB、CG上向外各作等邊三角形ABD、CGF，又在BC上向內(nèi)作等邊三角形BEC，則DE=AC，EF=BG。

第三題（如圖6所示）A、B、C是同一直線上的順次三點(diǎn)，以AB、BC為邊，向同側(cè)各作等邊三角形ABD、BCE，則AE=CD。

第四題（如圖7所示）A、C、B是在同一直線上順次三點(diǎn)，以AB、CB為邊，向兩側(cè)各作等邊三角形ABD、CBE，則AE=CD。

引導(dǎo)觀察：用以上的方法觀察可有什么發(fā)現(xiàn)？

可發(fā)現(xiàn)：以上四題圖形截然不同，第1題是三角形，第二題是四邊形，第三、四題是直線，但其中所含有完全類似的部分—— 都有等邊三角形。根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)兩全等三角形的基本圖形，因此，證法也就一樣。如第1題中，因∠DBA=∠CBE=60°，兩邊各加上∠ABC得，∠DBC=∠ABE，又∵DB=AB，BC=BE，∴△DBC≌△ABE，∴CD=AE得證。第二、三、四題同理可證得（略）。

可繼續(xù)觀察下面兩題（并作圖），有什么發(fā)現(xiàn)？

（1）若在ABC的兩邊AB、AC上向外各作正方形ABDE，ACFG，則BG=CE，BG⊥CE。

（2）在線段AB上任取上點(diǎn)C，以AC，CB向同側(cè)各作正方形ACDE，CBFG，則AG=DB，AG⊥DB。

讓學(xué)生自己歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)果。

以上兩題就是把前幾題作等邊三角形換作作正方形，觀察步驟方法也與前幾題相同，解決問題的方法也相同?？勺C得二線相等并可得出兩相等線段必垂直。（證法略）

觀察發(fā)現(xiàn)在幾何題的動(dòng)態(tài)題型中也很重要。不少題目表面看運(yùn)動(dòng)后圖形變化較大，但很多題目實(shí)際與起始圖形有較大的內(nèi)在關(guān)系，可以讓學(xué)生結(jié)合原始圖形作為觀察的對(duì)象，發(fā)現(xiàn)圖形運(yùn)動(dòng)后的不變性來分析證明。

評(píng)講試題：如圖8，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，在BC邊上取兩點(diǎn)E、F點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），以EF為邊所作等邊△PEF，頂點(diǎn)P恰好在AD上，直線PE、PF分別交直線AC于點(diǎn)G、H。（1）求△PEF的邊長(zhǎng)；（2）若△PEF的邊EF在線段CB上移動(dòng)，試猜想：PH與BE有何數(shù)量關(guān)系？并證明你猜想的結(jié)論；（3）若△PEF的邊EF在射線CB上移動(dòng)（分別如圖9和圖10所示，CF>1，P不與A重合），（2）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，直接寫出你發(fā)現(xiàn)的新結(jié)論。

分析：?jiǎn)栴}（1）較簡(jiǎn)單，可以過點(diǎn)P作PK⊥BC于K，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以PK=AB=，∵△PEF是等邊三角形，∠PEF=60°，∴易得PE=PF=EF=2。

問題（2）運(yùn)動(dòng)變化，需提示觀察發(fā)現(xiàn)∠PHA的不變性特點(diǎn)，求出∠PHA=30°，并且利用三角函數(shù)求出∠PAH=30°。因此，得到∠PHA=∠PAH，∴PA=PH，即得：PH=PA=KB=BE+KE=BE+1。

而問題（3）圖形的運(yùn)動(dòng)，則需結(jié)合問題（2）觀察圖8、圖9、圖10運(yùn)動(dòng)變化的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)圖形中始終不變的關(guān)鍵，因此，對(duì)問題（2）中∠PHA深入研究，發(fā)現(xiàn)∠PHA=30°始終不變，即可推導(dǎo)得出PH=PA始終成立，由此可得如圖9時(shí)結(jié)論為PH=PA=1-BE（12）。即（2）中的結(jié)論不成立。此類問題，都可通過觀察發(fā)現(xiàn)找到解決問題的不變關(guān)鍵。

數(shù)學(xué)教學(xué)的中心是問題教學(xué)，因此，要讓學(xué)生善于觀察問題，善于發(fā)現(xiàn)問題，在發(fā)現(xiàn)問題解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，提高教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)

[1] （美）G.波利亞.怎樣解題——數(shù)學(xué)思維的新方法[M].上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

[2] 曹一鳴.中國(guó)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式及其發(fā)展研究[M].北京師范大學(xué)出版社，2007.