專題五、直擊三角試題中常出現(xiàn)的十個(gè)失分點(diǎn)

一、問題的提出

怎樣才算是一次成功的考試？不同的考生有不同的理解.本人比較認(rèn)同：每次考試能把會(huì)做的題都很好地答出來，少留遺憾或不留遺憾就是一次成功的考試.因此從這個(gè)角度看，考試考得如何并不取決于難題，而是基礎(chǔ)題.特別是三角題，全國各題高考試題都喜歡把三角題定位為基本題，即三角分是考生誰也丟不起的分.考試下來要是三角題出現(xiàn)差錯(cuò)，考生尤其會(huì)郁悶.下面是筆者平時(shí)教學(xué)過程中整理起來的考生的4種出錯(cuò)，有的甚至是令人匪夷所思的出錯(cuò)，與大家分享.對照一下，你有類似的“粗心大意”嗎？你能避免這種“粗心大意”嗎？

二、三角問題中的十種常見失分

1. 思維定勢，看錯(cuò)題目.

例1. 化簡 的結(jié)果是 .

【錯(cuò)解】 原式= = =tanα.

【剖析】這是很多考生會(huì)犯的低級錯(cuò)誤，其中還包括一些能力強(qiáng)的，錯(cuò)把sin -α看成sinα- = sinα- cosα，在心理學(xué)上把這叫思維定勢，前面是α- ，后面就是α- .還有些同學(xué)經(jīng)常求A∩B，慢慢的求A∪B也會(huì)變成求A∩B，看錯(cuò)題而導(dǎo)致失分的教訓(xùn)是極為深刻的.

【正解】 原式= = = .

2. 審題不清，范圍出錯(cuò).

例2. 在 ABC中，已知sinA= ，cosB= ，求cosC.

【錯(cuò)解】因?yàn)閟inA= ，A是三角形內(nèi)角，所以cosA=± ，因?yàn)閏osB= ，B是三角形內(nèi)角，所以sinB= ，故cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）

=-cosAcosB+sinAsinB=-± × + × = 或 .

【剖析】本題是課本上的習(xí)題，也是高考試題經(jīng)常涉及到的類型.錯(cuò)誤在于審題不清，事實(shí)上如果cosA=- <0，因?yàn)閟inA= < ，角A的范圍可以精確到A> ，又cosB= < ，角B的范圍可以精確到B> ，這時(shí)A+B> + = >與A+B+C=矛盾.

【正解】因?yàn)閟inA= ，A是三角形內(nèi)角，當(dāng)cosA=- <0，因?yàn)閟inA= < ，角A> ，又cosB= < ，故B> ，這時(shí)A+B> + = >與A+B+C=矛盾.所以cosA= ，因?yàn)閏osB= ，B是三角形內(nèi)角，所以sinB= ，因?yàn)镃=-（A+B），由誘導(dǎo)公式cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=-

cosAcosB+sinAsinB=- × + × = .

3. 心不在焉，求角出錯(cuò).

例3. 已知tanα= ，tan = ，且α， 都是銳角，求α+2 的值.

【錯(cuò)解】∵tan = ，tan2 = = ，又因?yàn)閠anα= ，∴tan（α+2 ）= =1，由α， 都是銳角知α+2 ∈0， ，

∴ α+2 = 或 .

【剖析】根據(jù)三角函數(shù)值求角的問題，課本上并沒有專題研究，但有不少類似的試題，求角在角上出錯(cuò)是考生很常見的失誤，希望同學(xué)們高度重視.事實(shí)上本題中角α+2 取不到 .

【正解】∵tan = <1，tanα= <1，由α， 都是銳角知α， ∈0， ， ∴ α+2 ∈0， ， ∴ tan2 = = ， ∴ tan（α+2 ）= =1>0， ∴ α+2 ∈0， ，而函數(shù)y=tanx在0， 是單調(diào)增函數(shù)， ∴ α+2 = .

4. 含義不清，定義錯(cuò)誤.

例4. 已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-3t，4t）（t≠0），求角 的正弦、余弦、正切.

【錯(cuò)解】由任意角的三角函數(shù)的定義可知r=|OP| = =5t，則sinα= = ，cosα= = - ，tanα= =- .

【剖析】錯(cuò)誤的原因是考生忽略了字母t的符號(hào)，條件只給出了t≠0，不能確定是否t>0，定義中r的取值范圍應(yīng)該是（0，+∞），應(yīng)對字母t進(jìn)行分類討論.

【正解】由任意角的三角函數(shù)的定義可知：當(dāng)t>0時(shí)，r=|OP|= =5t，則sinα= = ，cosα= =- ，tanα= =- .

當(dāng)t<0時(shí)，r=|OP|= =-5t，則sinα= =- ，cosα= = ，tanα= =- .

5. 用五點(diǎn)法，直覺出錯(cuò).

例5. 函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），（ω>0，- <φ< ）的部分圖像如圖所示，則ω，φ的值分別是 .

【錯(cuò)解】由圖可知 -- = T，解得T== （∵ω>0），所以ω=2，圖中點(diǎn)A對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)圖像中的點(diǎn)（0，0）.令2×- +φ=0，解得φ= ，故填2， .

【剖析】用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的大致圖像，是三角部分的核心內(nèi)容，有部分同學(xué)對這五個(gè)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)不夠深刻，特別是第一個(gè)點(diǎn)（0，0）和第三個(gè)點(diǎn)（，0）分別代表遞增區(qū)間的對稱中心和遞減區(qū)間的對稱中心，圖中點(diǎn)A不能對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)圖像中的點(diǎn)（0，0），而是對應(yīng)遞減區(qū)間的對稱中心（，0）.

【正解】由圖可知 -- = T，解得T== （∵ω>0），所以ω=2，由圖可知點(diǎn)B對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)圖像中的點(diǎn) ，1，故令2× +φ= ，解得φ=- ，∵ - <φ< ，故填2，- .

6. 條件隱含，沒看清楚.

例6. 已知sinα+cosα= （0<α<），求tanα.

【錯(cuò)解】根據(jù)sinα+cosα= ，得sinαcosα=- ，即 =- ，即 =- ，12tan2α+25tanα+12=0，解得tanα=- ，tanα=- .

【剖析】這種解法表面上看天衣無縫，但條件0<α<本題結(jié)果有影響，這里隱含了條件決定角的象限，應(yīng)該挖掘?qū)堑姆秶南拗?由sinαcosα=- <0應(yīng)該意識(shí)到sinα>0，cosα<0，所以可以將角α的范圍進(jìn)一步縮小到 ，.

【正解】根據(jù)sinα+cosα= ，得sinαcosα=- <0，又因?yàn)?<α<，所以sinα>0，cosα<0，而（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα= ，所以sinα-cosα= ，再聯(lián)立sinα+cosα= ，解得tanα=- .

7. 因定義域，影響結(jié)論.

例7. 判斷函數(shù)f（x）= 的奇偶性.

【錯(cuò)解】∵ f（x）= = = =tanx，而tan（-x）=-tanx，

所以函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù).

【剖析】這種解法表面看沒有任何問題，但在變換過程中函數(shù)f（x）的定義域發(fā)生了變化，約分約去sinx+cosx這一步隱含條件sinx+cosx≠0，因此定義域縮小了，且變?yōu)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)域了，出現(xiàn)這種錯(cuò)誤非常隱蔽，思維不夠縝密很難發(fā)現(xiàn).

【正解】∵ 1+sin2x+cos2x≠0，∴ sin2x+ ≠- ，∴ 2x+ ≠2k- （k∈Z），且2x+ ≠2k- （k∈Z），所以原函數(shù)的定義域?yàn)?x|x≠k- ，且x≠k- ，k∈Z，顯然不對稱，例如f =tan =1，x=- 時(shí)，分母為零無意義，故原函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

8. 邏輯錯(cuò)誤，導(dǎo)致失分.

例8. 已知鈍角三角形ABC邊長分別為a=2，b=3，c=x，求x的取值范圍.

【錯(cuò)解】當(dāng)x<3時(shí)，三角形為鈍角三角形的條件是：cosB= <0且x>0，解之得03時(shí)三角形為鈍角三角形的條件是cosC= <0，解之得x> . 綜上所述，x的取值范圍為（0， ）∪（ ，+∞）.

【剖析】根據(jù)同一三角形中大邊對大角的原則，即最大邊所對角必為鈍角，可以結(jié)合余弦定理解答.本題最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是忽視三角形兩邊之和大于第三邊，事實(shí)上a2+c2>b2是B為鈍角的必要非充分條件，若把它做為充要條件就會(huì)擴(kuò)大的x取值范圍.

【正解】當(dāng)x<3時(shí)，三角形為鈍角三角形的條件是：cosB= <0且2+x>3（三角形兩邊之和大于第三邊），解之得13時(shí)三角形為鈍角三角形的條件是cosC= <0且2+3>x，解之得

9. 轉(zhuǎn)化思想，應(yīng)用錯(cuò)誤.

例9. 三角形ABC中，sin（A+B） = ，cosB=- 求cosA值.

【錯(cuò)解】∵ cosB=- ，B為三角形內(nèi)角，∴ sinB= ，∴ sin（A+B） =sinAcosB+cosAsinB=- sinA+

cosA= ，∴ sinA= cosA- ，又sin2A+cos2A=1，∴ cos2A- cosA- =0，即144cos2A-48 cosA-17=0，解得cosA= .

【剖析】本解法用兩角和的正弦公式把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosA的一元二次方程求解，是化歸思想，思路沒有任何問題. 錯(cuò)誤在于對三角形內(nèi)角三角函數(shù)值的諸多限制認(rèn)識(shí)不足導(dǎo)致錯(cuò)誤，事實(shí)上，∵ cosB=- <0，所以角B為鈍角，即最大角，從而角A必為銳角.cosA= <0就不合題意了.

【正解】∵ cosB=- ，B為三角形內(nèi)角， ∴ sinB= ， ∴ sin（A+B） =sinAcosB+cosAsinB=- sinA+

cosA= ，∴ sinA= cosA- ，又sin2A+cos2A=1，∴ cos2A- cosA- =0，即144cos2A-48 cosA-17=0，解得cosA= . ∵ cosB=- <0，所以角B為鈍角，即最大角，從而角A必為銳角，cosA>0，∴ cosA的值為 .

10. 關(guān)聯(lián)有界，正弦出錯(cuò).

例10. 已知sinα+sin = ，求z=sin -cos2α的最大值.

【錯(cuò)解】由sinα+sin = 知sin = -sinα，∴ z= -sinα-1+sin2α=sinα- 2- ，又sinα∈[-1，1]，∴ sinα=-1時(shí)，zmax=-1- 2- = .

【剖析】本解法錯(cuò)誤很隱蔽，雖然注意到了sinα∈[-1，1]，但忽略了sinα，sin 的關(guān)聯(lián)有界性，而導(dǎo)致sinα的隱含限制條件，考生常常會(huì)犯這樣的錯(cuò)誤.

【正解】由sinα+sin = 知sin = -sinα，而sin ∈[-1，1]，-1≤ -sinα≤1，- ≤sinα≤1，∴ z= -sinα-1+sin2α=sinα- 2- ，又sinα∈[- ，1]，∴ sinα=- 時(shí)，zmax=- - 2- = .

三、兩點(diǎn)感悟

三角題大多數(shù)考基本題、容易題，因此很多同學(xué)誤認(rèn)為三角題不用花太多時(shí)間也可以搞定，最好按高考的權(quán)重合理分配時(shí)間.誤認(rèn)為它的概念性思維性也不強(qiáng)，這是錯(cuò)覺.為此筆者提兩點(diǎn)感悟：

1. 要站在思維科學(xué)的視角高度.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與應(yīng)用離不開思維活動(dòng)，三角函數(shù)也不例外，對三角函數(shù)的研究自然也不能忽略思維科學(xué)的視角.三角函數(shù)的出現(xiàn)使平面幾何的研究從定性向定量深化，例如前面探討的三角形中“兩邊之和大于第三邊”“大邊對大角，小邊對小角”都是定性的，有了正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化就可以將定性研究變?yōu)槎坑?jì)算.再比如三角函數(shù)概念與向量的正交分解的交匯導(dǎo)致了坐標(biāo)化，從而數(shù)形結(jié)合得以實(shí)現(xiàn).前面的10個(gè)例子的探究主要的數(shù)學(xué)思想都有深刻體現(xiàn).

2. 從不同角度詮釋數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性.

考生在高考備考過程中有必要牢記兩句話：“實(shí)力決定信心，細(xì)節(jié)決定成敗.”一是提高能力，二是減少失誤.學(xué)數(shù)學(xué)主要是學(xué)會(huì)推理，學(xué)會(huì)思維，三角函數(shù)的學(xué)習(xí)尤其如此，三角部分多考基本題，從評卷的角度看越是容易題，對嚴(yán)謹(jǐn)性的要求就越高.哪怕是一個(gè)不經(jīng)意的小失誤，都會(huì)造成無謂的失分，甚至滿盤皆輸，我們要做的是，讓自己深刻理解概念，靈活運(yùn)用公式，平時(shí)復(fù)習(xí)時(shí)那就算出錯(cuò)也要知道錯(cuò)在哪里？為什么會(huì)錯(cuò)？這樣今后就會(huì)減少錯(cuò)誤，甚至避免錯(cuò)誤，在不斷糾錯(cuò)中得以提高.

（作者單位：南雄市第一中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)