專題四、三角綜合應(yīng)用

一、 考點(diǎn)歸納

1. 熟練掌握三角變換公式、三角函數(shù)圖像性質(zhì)、掌握三角形中邊角關(guān)系（正弦定理、余弦定理、面積公式），并能用其解決相關(guān)的綜合問題.

2. 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理以及三角變換公式等解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.

二、知識(shí)點(diǎn)精講

1. 解三角形應(yīng)用題：

（1）理解測(cè)量中相關(guān)角概念：

①方向角：一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），如北偏東××度.

②俯角和仰角：在視線與水平線所成的角——

視線在水平線上方的角叫仰角，

視線在水平線下方的角叫俯角.

如圖中OD、OE是視線，OC為水平線，∠DOC是仰角， ∠EOC是俯角.

③方位角：一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北方向作為起始方向順時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角.

（2）求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：

①審題：分析題意，弄清已知和所求；

②建模：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，寫出已知與所求，并畫出示意圖；

③求解：正確運(yùn)用正、余弦定理、面積公式求解；

④檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求是否符合實(shí)際意義；

⑤作答：?jiǎn)柺裁创鹗裁?

（3）常見類型： 不少常見三角應(yīng)用題可歸結(jié)為圖中知部分量求其他量的問題.

圖形1：CD⊥AB，AB=m，BD=n，AC=p，BC=q，CD=h，∠BAC= ，∠DBC= .

① 知m， ， ，求h（C到線路AB的距離或物體的高等）.

由tan = ，tan = ，聯(lián)立方程組得：

h=mtan +h h= ；

② 知h， ， 求m或知h，m， ， ，求n.

可看作①逆向問題.

當(dāng)圖形在水平面上時(shí)可看作距離或物體寬度，當(dāng)圖形在垂直面上時(shí)可看作物體的高度問題.

③ 知m，n，h求視角∠ACB（h或n之一為變量時(shí)可求最大值）.

tan∠ACB=tan（ - ）= = =

.

圖形2：兩三角形綜合問題.

已知∠BCA= ，∠ACD= ，∠CDB= ，∠BDA= ，求AB.

在△ADC，△BDC中應(yīng)用正弦定理得：

AC= = ；

BC= = .

再在△ABC中，應(yīng)用余弦定理可得：

AB= .

2. 三角綜合問題常見題型：

（1）解三角形、三角變換與三角函數(shù)圖像、性質(zhì)綜合；

（2）三角與向量綜合；

（3）三角與函數(shù)、不等式綜合；

（4）三角與幾何綜合；

（特別注意在解析幾何與立體幾何中涉及三角形的計(jì)算時(shí)要有解三角形的思想）

（5）三角與數(shù)列綜合.

三、 例題精選及評(píng)析

1. 在某海島的山頂上設(shè)有一燈塔，有一測(cè)量船在A處測(cè)得燈塔在其北偏東60°且仰角為30°，當(dāng)該船向正東航行了600米到達(dá)B處時(shí)測(cè)得燈塔在其北偏西15°，則此燈塔海拔高度是________米.

解析：畫出示意圖如歷右，設(shè)D處的燈塔在海平面射影為C，

依題意知∠CAD=30°，CD⊥AC ∴h=CD=ACtan∠CAD；

∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°-15°=75，

∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=75°=∠ABC，

∴AC=AB=600，∴ h=600 tan30°=200 米.

評(píng)析：本題是解三角形的應(yīng)用題，關(guān)鍵是理解測(cè)量中相關(guān)角概念，根據(jù)題意畫出圖形，弄清相應(yīng)邊角.注意出現(xiàn)等腰或直角三角形時(shí)要用特別方法處理，以減少計(jì)算量.

2.（2013年廣州二模）某單位有A、B、C三個(gè)工作點(diǎn)，需要建立一個(gè)公共無(wú)線網(wǎng)絡(luò)發(fā)射點(diǎn)0，使得發(fā)射點(diǎn)到 三個(gè)工作點(diǎn)的距離相等.已知這三個(gè)工作點(diǎn)之間的距離分別為AB=80m， BC = 70m， CA=50m.假定A、B、C、O四點(diǎn)在同一平面內(nèi).

（1）求∠BAC的大小； （2）求點(diǎn)O到直線BC的距離.

解析：（1）在△ABC中，因?yàn)锳B=80m， BC = 70m， CA=50m，

由余弦定理得cos∠BAC= …2分

= = .…………………………3分

因?yàn)椤螧AC為△ABC的內(nèi)角，所以∠BAC= .

………………………………………………4分

（2）因?yàn)榘l(fā)射點(diǎn)O到A、B、C三個(gè)工作點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心.設(shè)外接圓的半徑為R. …………………………………5分

方法1：在△ABC中，由正弦定理得 =2R， ……………7分

因?yàn)锽C=70，由（1）知A= ，所以sinA= .

所以2R= = ，即R= .

過點(diǎn)O作邊BC的垂線，垂足為D. ………9分

在△OBD中，OB=R= ，BD= = =35，

所以O(shè)D= = = .……………………………………11分

所以點(diǎn)O到直線BC的距離為 m. …………………………………………12分

方法2：連結(jié)OB，OC，過點(diǎn)O作邊BC的垂線，垂足為D，

由（1）知∠BAC= ，所以∠BOC= .

所以∠BOD= .………9分

在Rt△BOD

中，BD= = =35，

所以O(shè)D= = = .

…………………………………………11分

所以點(diǎn)O到直線BC的距離為 m…………………………………………12分

評(píng)析：本小題主要考查解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用題，考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，屬于中難度題，由于三角應(yīng)用題較少訓(xùn)練此屆考生多數(shù)沒能做好，所以復(fù)習(xí)備考不可忽視應(yīng)用題.三角應(yīng)用題一般難度并不大，畫出圖形很有必要，要善于抓住要點(diǎn)把問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題，本題“發(fā)射點(diǎn)O到A、B、C三個(gè)工作點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心”是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，法二用到平面幾何性質(zhì)定理，這是解三角形常法之一，因此要注意平面幾何性質(zhì)定理的復(fù)習(xí)，也可用正弦定理求R；通過作高化為直角三角形是解三角形的常法.最后一定要作答，否則會(huì)扣分.此題還可以用解析幾何方法求角，BC為軸建立坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出O縱坐標(biāo)，但計(jì)算量稍大些.

3. （2013年廣州一模理）已知函數(shù)f（x）=Asin

（ x+ ）（其中x∈R，A>0， >0）的最大值為2，最小正周期為8.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）若函數(shù)f（x）圖像上兩點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)依次為2，4，O為原點(diǎn)，求△ POQ的面積.

解析：（1）∵ f（x）的最大值為2，且A>0，∴

A=2. …………………………………………1分

∵ f（x）的最小正周期為8，∴T= =8，得

= .…………………………………2分

∴ f（x）=2sin（ x+ ）.…………………3分

（2）∵ f（2）=2sin（ + ）=2cos = ，

……………………………………4分

f（4）=2sin（+ ）=-2sin =- ， ……5分

∴ P（2， ），Q（4，- ） .

解法1：∴│OP│= ，│PQ│=2 ，│OQ│=3 . ……………………8分

∴cos∠POQ= =

= . …10分

∴ sin∠POQ= = .……11分

∴△POQ的面積為S= OPOQsin∠POQ=

× ×3 × =3 .………………12分

解法2：

∴ =（2， ）， =（4，- ）. ………8分

∴ cos∠POQ=cos< ， >= = = .（下同法一） …………10分

解法3：

∴直線OP的方程為y= x，即x- y=0. …………………………………………7分

∴點(diǎn)Q到直線OP的距離為d= =2 . …………………………………………9分

∵ │OP│= ∴△POQ的面積為S= │OP│·d= × ×2 =3 . …………………12分

評(píng)析：本小題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、余弦定理、正弦定理、兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)，是典型的三角函數(shù)與解三角形以及解析幾何知識(shí)的綜合問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力.三角形面積可用底高法，也可以用兩邊夾角法，而求高可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離并利用解析幾何知識(shí)求解，用夾角時(shí)先求夾角余弦值再求其正弦值，而求夾角余弦值可用余弦定理也可用向量夾角公式計(jì)算.復(fù)習(xí)時(shí)要多思考，盡量一題多解，加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系，這樣能更好復(fù)習(xí)，把各章節(jié)融會(huì)貫通.本題屬容易題，要求快速準(zhǔn)確作答，注意解答規(guī)范，要求先寫出公式再代值計(jì)算，公式是重要的得分點(diǎn)與扣分點(diǎn)，特別是由余弦值求正弦的公式不可不寫出.

4. （2013年遼寧數(shù)學(xué)）設(shè)向量 =（ sinx，sinx）， =（cosx，sinx），x∈[0， ].

（I）若| |=| |求x的值； （II）求函數(shù)f（x）= · 的最大值.

解析：（I）| |2=（ sinx）2+（sinx）2=4sin2x，| |2=（cosx）2+（sinx）2=1.

又| |=| |，所以sin2x= .

∵x∈[0， ]， ∴ sinx>0，∴ sinx= ，∴ x= .

（II） f（x）= · = sinx·cosx+sinx·sinx=

sin2x+ （1-cos2x）= sin2x- cos2x+ =sin2xcos -cos2xsin + =sin（2x- ）+ .

當(dāng)x= ∈[0， ]時(shí) 2x- = ，sin（2x- ）取最大值1，

∴ f（x）的最大值為 .

評(píng)析：本題考查向量與三角函數(shù)性質(zhì)，是一類常見典型的綜合問題，關(guān)鍵是熟練掌握向量坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.本題屬容易題，重點(diǎn)是熟練掌握向量運(yùn)算以及三角變換公式，注意解題規(guī)范.

5. （2013年四川）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b.c，且2cos2 cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=- .

（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4 ，b=5，求向量 在 方向上的投影.

解析：（Ⅰ）由2cos2 cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=- ，得 [cos（A-B）+1]cosB-sin（A-B）sinB-

cosB=- ， 即cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=- ， 則cos（A-B+B）=- ，即cosA=- .

（Ⅱ）由cosA=- ，0

由正弦定理，有 = ，所以sinB= = .

由題知a>b，則A>B，故B= .

根據(jù)余弦定理，有（4 ）2=52+c2-2×5c×（- ）， 解得c=1或c=-7（舍去）.

故向量 在 方向上的投影為 cosB= .

評(píng)析：本題是三角變換、解三角形與向量的綜合，借助向量投影的意義所求問題轉(zhuǎn)化為求余弦值的問題，從而可用正、余弦定理求解.解三角形時(shí)經(jīng)常要用三角變換公式，解題關(guān)鍵是熟練三角變換公式.

6.（2013年江蘇）已知 =（cos ，sin ）， =（cos ，sin ），0< < <.

（1）若│ - │= ，求證： ⊥ ；（2）設(shè) =（0，1），若 + = ，求 ， 的值.

解析：（1）∵ │ - │= ， ∴ =（ - ）2= -2 · + =2， 又∵ = =cos2 +sin2 =1， = =cos2 +sin2 =1，

∴ 2-2 · =2，∴ · =0，∴ ⊥ .

（2）∵ = + =（cos +cos ，sin +sin ）=（0，1），

∴cos +cos =0，sin +sin =1，即cos =-cos ，sin =1-sin .

兩邊分別平方再相加得：

cos2 +sin2 =cos2 +1-2sin +sin2 1=2-2sin ，

∴ sin = ，∴ sin = .

∵ 0< < <，∴ = ， = .

評(píng)析：本題是三角變換與向量的綜合題，重點(diǎn)是熟悉向量基本運(yùn)算和三角公式.

7. （2013年江西理）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cosC+（cosA- sinA）cosB=0.

（1）求角B的大?。唬?）若a+c=1，求b的取值范圍.

解析：（1）由已知得-cos（A+B）+cosAcosB-

sinAcosB=0.

即有 sinAsinB- sinAcosB=0.

因?yàn)椤鰽BC中A，B∈（0，），sinA>0，sinB>0，

所以sinB- cosB=0，所以tanB= ，

又0

（2）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB.

因?yàn)閍+c=1，cosB= ，有b2=3（a- ）2+ .

又0

法二：由條件及余弦定理得b2=（a+c）2-2accosB=1-3ac.

a>0，c>0，a+c=1≥2 ac≤ 1-3ac≥ .

上式當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取“=”，所以b2有最小值 ，b≥ .

又∵△ABC中a+c>b，∴ ≤b<1.

評(píng)析：本題是三角與函數(shù)、不等式的綜合問題，關(guān)鍵是把b表示為a的函數(shù)，注意三角形邊長(zhǎng)為正以及三邊關(guān)系等隱藏條件是正確確定范圍的前提.

8. （2013年江蘇）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再?gòu)膭蛩俨叫械紺.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min，山路AC長(zhǎng)為1260m，經(jīng)測(cè)量，cosA= ，cosC= .

（1）求索道AB的長(zhǎng)；

（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

（3）為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

解析：（1）∵在△ABC中cosA = ，cosC= ，∴ A、C∈（0， ），∴sinA= ，sinC = .

∴ sinB=sin[-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= .

根據(jù)正弦定理 = 得 AB= sinC=1040m.

（2）設(shè)乙出發(fā)t分鐘后到達(dá)D處，相應(yīng)甲到達(dá)E處，甲乙距離為DE=d，則AD =130t，AE=50（2+t）=100+50t，由余弦定理得：

d2=（130t）2+（100+50t）2-2×130t×（100+50t）× ，

∴ d2=200（37t2-70t+50）.

∵依題意有0≤t≤ 即 0≤t≤8，

∴ t= 時(shí)，即乙出發(fā) 分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短.

（3） 由正弦定理 = ，得BC= sinA= × =500m.

乙從B出發(fā)時(shí)，甲已經(jīng)走了50（2+8+1）=550m，還需走710m才能到達(dá)C.

設(shè)乙的步行速度為V （m/min），則 │ - │≤3，

∴-3≤ - ≤3， ∴ ≤v≤ .

∴為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在[ ， ]范圍內(nèi) .

評(píng)析：本題是以解三角形為考點(diǎn)，綜合考查函數(shù)、不等式知識(shí)的應(yīng)用問題，用好圖形把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題是解此類應(yīng)用題的關(guān)鍵，重點(diǎn)是熟練應(yīng)用三角變換公式（平方關(guān)系、兩角和公式等）和正弦定理、余弦定理.（1）重點(diǎn)是用好角互補(bǔ)關(guān)系，利用三角公式知余弦值可以求正弦值，知兩角就可求第三角正、余弦值，進(jìn)而就能用正弦定理求角.（2）結(jié)合圖形分析，把所求問題化為求三角形第三邊長(zhǎng)的最小值問題是關(guān)鍵，引進(jìn)變量、應(yīng)用余弦定理列式是解題重點(diǎn)所在，再利用函數(shù)知識(shí)求最小值時(shí)要特別注意定義域.（3）行程問題關(guān)鍵是用好數(shù)量關(guān)系：時(shí)間=路程速度，因此先用正弦定理求出BC是第一步，再根據(jù)用時(shí)列式化為不等式問題就行了.

9.（2013年上海春招改編）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸正半軸上， 點(diǎn)Pn在x軸上， 其橫坐標(biāo)為xn，且{xn}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，記∠PnAPn+1= n，n∈N .

（1）若tan 3= ，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8 ），求使 n取最大值相應(yīng)n的值.

解析：（1）設(shè)A（0，t），∵{xn}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，∴ xn=2n-1.

如圖，Rt△OAPn中，易知tan∠OAPn= tan∠OAPn= = .

tan 3=tan（∠OAP4-∠OAP3）= = =

， 由tan 3= 得 = ，解得t=4或t=8. 故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4）或（0，8）.

（2）由題意，點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為（2n-1，0），tan∠OAPn= .

tan n=tan（∠OAPn+1-∠OAPn）= =

= .

因?yàn)?· ≥2 ，所以tan n≤ = ，

當(dāng)且僅當(dāng) = ，即n=4時(shí)等號(hào)成立.

易知0< n< ，y=tanx在（0， ）上為增函數(shù)，

因此，當(dāng)時(shí)n=4， n最大.

評(píng)注：本題是三角與數(shù)列、不等式、函數(shù)、解析大綜合問題，難度不小，關(guān)鍵是利用內(nèi)外角關(guān)系及兩角差的正切公式把角表示為n的式子化為函數(shù)與不等式問題.要從第（1）求解中領(lǐng)悟到角與n的關(guān)系式可通過正切公式建立.最后由正切最值到角最值轉(zhuǎn)化要用到復(fù)合函數(shù)單調(diào)性質(zhì)，指明角范圍是不可少的.此題與人教版本必修五課本P15練習(xí)題3（如圖）有密切聯(lián)系（只是條件有所改變而已），建議復(fù)習(xí)時(shí)關(guān)注課本例題與習(xí)題.

（作者單位：廣州市第二中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)