專題二、三角恒等變換

一、考點(diǎn)歸納

1. 能用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式；

2. 能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式， 二倍角的正弦、余弦、正切公式， 了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；

3. 能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式， 但不要求記憶）.

二、知識點(diǎn)精講

1. 兩角和與差的三角函數(shù).

sin（ ± ）=sin cos ±cos sin ；cos（ ± ）=cos cos sin sin ；tan（ ± ）=.

注：輔助角公式asinx+bcosx=·sin（x+ ），

其中sin =，cos =.

2. 二倍角公式.

sin2 =2sin cos ；cos2 =cos2 -sin2 =2cos2 -1=1-2sin2 ；tan2 =.

注：降冪公式.

sin cos =sin2 ；sin2 =；cos2 =.

3. 三角函數(shù)式的化簡.

（1）常用方法：①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；

（2）化簡要求：①能求出值的應(yīng)求出值； ②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少； ③使項(xiàng)數(shù)盡量少.

4. 三角函數(shù)的求值類型有三類.

（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角， 要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系， 利用三角變換消去非特殊角， 轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；

（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值， 求另外一些角的三角函數(shù)值， 解題的關(guān)鍵在于“變角”， 如 =（ + ）- ，2 =（ + ）+（ - ）等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；

（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題， 由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角.

5. 三角等式的證明.

（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征， 通過三角恒等變換， 應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法， 使等式兩端化“異”為“同”；

（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察， 發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系， 采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明.

三、例題精選及評析

1. 已知 ∈R，sin +2cos =，則tan2 =

（ ）

A. B. C. - D. -

解析：由sin +2cos =，得到sin2 +4sin

cos +4cos2 =，則=，分子分母同除以cos2 ，得到=，則tan =3或tan =-，所以tan2 ==-，選C .

評析：本題還可以聯(lián)立sin +2cos =和sin2 +cos2 =1得到sin ，cos 的值，但本題解法計(jì)算更簡捷.

2. 4cos50°-tan40°=（ ）

A. B.

C. D. 2-1

解析：

4cos50°-tan40°=4cos50°-=4sin40°-====

===，選C.

評析：4cos50°-tan40°=4cos50°-這一步是切化弦；4cos50°-=4sin40°-這一步是角的統(tǒng)一；=這一步是非特殊角向特殊角的轉(zhuǎn)化，本題綜合運(yùn)用了誘導(dǎo)公式， 倍角公式， 兩角和差公式， 是一道典型的三角變換的綜合題.

3. 設(shè)當(dāng)x= 時，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則cos =______.

解析：f（x）=sinx-2cosx=（sinx-cosx）=sin（x- ）.

當(dāng)x- =+2kx，即 =+2kx+ 時，f（x）取最大值，則cos =cos（+2kx+ ）=-sin ，由（sinx-cosx）=sin（x- ）知sin =，cos =

-，答案為：-.

評析：本題只有掌握了輔助角公式才能看出sin =.

4. 已知函數(shù)f（x）=cos（x-），x∈R.

（1）求f（-）的值；

（2）若cos =， ∈（，2），求f（2 +）.

解析：（1）f（-）=cos（--）=cos（-）=cos=1；

（2）f（2 +）=cos（2 +-）=cos

（2 +）=（cos2 cos-sin2 sin）=cos2 -sin2 .

因?yàn)閏os =， ∈（，2），所以sin =-，

所以sin2 =2sin cos =-， cos2 =cos2 -sin2 =-，所以f（2 +）=cos2 -sin2 =--（-）=.

評析：本題難度不大，主要是書寫步驟要到位，下面對容易忽略的步驟進(jìn)行點(diǎn)評. f（-）=cos（--）這一步是將-代入， 不能省略， 是一個得分點(diǎn)；cos（2 +）=（cos2 cos-sin2 sin）這一步是考察兩角余弦和公式，要寫；因?yàn)閏os =， ∈（，2），所以sin =- ， 這一步易忽略對 ∈（，2）的標(biāo)注.

5. 已知函數(shù)f（x）=sin（x-）+cos（x-），g（x）=2sin2.

（1）若 是第一象限角， 且f（ ）=，求g（ ）的值；

（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合.

解析：（1）f（x）=sinx-cosx+cosx+sinx=sinx，則f（ ）=sin =.

∵sin =， 為第一象限角，∴cos =，∴g（ ）=

2sin2=1-cos =.

（2）∵f（x）≥g（x），∴sinx≥1-cosx，∴

sinx+cosx=sin（x+）≥，∴x+∈[2k+，2k+]，∴x的取值集合為{x│2k≤x≤2k+，k∈Z}

評析：本題的難點(diǎn)在第（2）問解三角不等式：sin（x+）≥， 可令t=x+， 轉(zhuǎn)化為解不等式sint≥， 運(yùn)用三角函數(shù)圖象或三角函數(shù)線先找到一個周期內(nèi)滿足條件的范圍為[，]， 然后根據(jù)三角函數(shù)的周期性， 得到t在實(shí)數(shù)集上的范圍為[2k+，2k+]， 再求出x的范圍對應(yīng)的集合.

6. 如圖， 角A為鈍角， 且sinA=， 點(diǎn)P、Q分別是在角A的兩邊上不同于點(diǎn)A的動點(diǎn).設(shè)∠APQ= ，∠AQP= ，且cos =，求sin（2 + ）的值.

解析：由cos =， ∈（0，），得sin =.

在△APQ中， + +A=.

又sin（ + ）=sin（-A）=sinA=，

∴sin（2 + ）=sin[ +（ + ）]=

sin cos（ + ）+

cos sin（ + ） =

·+·=.

評析：sin（2 + ）=sin[ +（ + ）]采用了角的拼湊， 這是常用的角的轉(zhuǎn)化方法.

（作者單位：廣州市第二中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)