三角函數(shù)復(fù)習(xí)專(zhuān)題：專(zhuān)題一、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

一、考點(diǎn)歸納

1. 能畫(huà)出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖像， 了解三角函數(shù)的周期性；

2. 理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2]，正切函數(shù)在（-，）上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與x軸交點(diǎn)等）；

3. 結(jié)合具體實(shí)例，了解y=Asin（ x+ ）的實(shí)際意義；能畫(huà)出y=Asin（ x+ ）的圖像，了解參數(shù)A， ， 對(duì)函數(shù)圖像變化的影響；

4. 會(huì)用三角函數(shù)解決一些實(shí)際問(wèn)題.

二、知識(shí)點(diǎn)精講

1. 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像.

2. 三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

y=sinx的遞增區(qū)間是[2k-，2k+]（k∈Z），遞減區(qū)間是[2k+，2k+]（k∈Z）；

y=cosx的遞增區(qū)間是[2k-，2k]（k∈Z），遞減區(qū)間是[2k，2k+]（k∈Z）；

y=tanx的遞增區(qū)間是（k-，k+）（k∈Z）.

3. 函數(shù)y=Asin（ x+ ）+B（其中A>0， >0）.

最大值是A+B，最小值是B-A，周期是T=，頻率是f=，相位是 x+ ，初相是 ；其圖像的對(duì)稱(chēng)軸是直線 x+ =k+（k∈Z），凡是該圖像與直線y=B的交點(diǎn)都是該圖像的對(duì)稱(chēng)中心.

4. 由y=sinx的圖像變換出y=sin（ x+ ）的圖像一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開(kāi)這兩個(gè)途徑， 才能靈活進(jìn)行圖像變換.

利用圖像的變換作圖像時(shí)，提倡先平移后伸縮， 但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn). 無(wú)論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖像變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少.

途徑一：先平移變換再周期變換（伸縮變換）.

先將y=sinx的圖像向左（ >0）或向右（ <0）平移| |個(gè)單位，再將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（ >0），便得y=sin（ x+ ）的圖像.

途徑二：先周期變換（伸縮變換）再平移變換.

先將y=sinx的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（ >0），再沿x軸向左（ >0）或向右（ <0）平移個(gè)單位，便得y=sin（ x+ ）的圖像.

5. 由y=Asin（ x+ ）的圖像求其函數(shù)式.

給出圖像確定解析式y(tǒng)=Asin（ x+ ）的題型，簡(jiǎn)

單的方法是從圖像的升降情況尋找y=Asin（ x+ ）的某

點(diǎn)對(duì)應(yīng)y=sinx的“五點(diǎn)”中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，要找準(zhǔn).

6. 對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心.

y=sinx的對(duì)稱(chēng)軸為x=k+，對(duì)稱(chēng)中心為（k，0）k∈Z；

y=cosx的對(duì)稱(chēng)軸為x=k，對(duì)稱(chēng)中心為（k+，0）k∈Z；

對(duì)于y=Asin（ x+ ）和y=Acos（ x+ ）來(lái)說(shuō)，對(duì)稱(chēng)中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱(chēng)軸與最值點(diǎn)聯(lián)系.

7. 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意A、 的正負(fù)，利用單調(diào)性研究三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù)，并且在同一單調(diào)區(qū)間.

8. 求三角函數(shù)的周期的常用方法：

經(jīng)過(guò)恒等變形化成“y=Asin（ x+ ）、y=Acos（ x+ ）”的形式，再利用周期公式，另外還有圖像法和定義法.

9. 五點(diǎn)法作y=Asin（ x+ ）的簡(jiǎn)圖：

五點(diǎn)取法是設(shè)X= x+ ，由x取0、、、、2來(lái)求相應(yīng)的X值及對(duì)應(yīng)的y值， 再描點(diǎn)作圖.

10. 三角函數(shù)題書(shū)寫(xiě)要規(guī)范，分步解答，很多考生不注意書(shū)寫(xiě)，導(dǎo)致高考失分嚴(yán)重，令人遺憾.

三、例題精選及評(píng)析

1. 將函數(shù)y=sin（2x+ ）的圖像沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則 的一個(gè)可能取值為（ ）

A. B. C. 0 D. -

解析：將函數(shù)y=sin（2x+ ）的圖像沿x軸向左平移個(gè)單位， 得到y(tǒng)=sin[2（x+）+ ]，即y=sin（2x++ ），要使y=sin（2x++ ）為偶函數(shù)， 則+ =k+（k∈Z）， =k+（k∈Z），選B.

評(píng)析：y=sin（2x++ ）要為偶函數(shù)，化簡(jiǎn)后應(yīng)為y=±cos2x，所以+ 應(yīng)為的奇數(shù)倍.

2. 函數(shù)y=xcosx+sinx的圖像大致為（ ）

解析：函數(shù)y=xcosx+sinx為奇函數(shù)，排除B，再考慮特殊點(diǎn). x=時(shí)，y=-<0，排除A，再考慮C，D. 再考慮x為一個(gè)很小的正數(shù)時(shí)，y>0. 所以選D.

評(píng)析：高考關(guān)于三角函數(shù)圖像的考察有時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)非常規(guī)函數(shù)，這時(shí)主要思考的方向是考慮函數(shù)的性質(zhì)， 有時(shí)結(jié)合特殊點(diǎn)進(jìn)行排查.

3. 函數(shù)f（x）=2sin（ x+ ），（ >0，-< <）的部分圖像如圖所示， 則 ， 的值分別是（ ）

A. 2，- B. 2，- C. 4，- D. 4，

解析：由圖知：T=-（-），T==， =2由五點(diǎn)作圖知點(diǎn)B對(duì)應(yīng)y=sinx的“五點(diǎn)”的第二點(diǎn)， 則×2+ =， =-，選A.

評(píng)析：由圖觀察知， B點(diǎn)對(duì)應(yīng)y=sinx的“五點(diǎn)”的第二點(diǎn)， 故有× + =.

4. 已知函數(shù)f（x）=sin（ x+ ）（ >0，0< <）的周期為，圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（，0），將函數(shù)f（x）圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖像，求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式.

解析：由函數(shù)f（x）=sin（ x+ ）的周期為， >0，得 =2. 又曲線y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（，0）， ∈（0，），故f（）=sin（2×+ ）=0，得 =，所以f（x）=cos2x. 將函數(shù)f（x）圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）后可得y=cosx的圖像，再將y=cosx的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）=sinx.

評(píng)析：已知f（x）=sin（ x+ ）（ >0，0< <）圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（，0），則得到f（）=0.

5. 已知函數(shù)f（x）=2sin（ x），其中常數(shù) >0；

（1）若y=f（x）在[-，]上單調(diào)遞增，求 的取值范圍；

（2）令 =2，將函數(shù)y=f（x）的圖像向左平移

個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖

像，區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a

解析：（1）因?yàn)?>0，根據(jù)題意有- ≥-， ≤ 0< ≤所以， 的取值范圍為（0，].

（2）f（x）=2sin（2x），g（x）=2sin（2（x+））+=2sin（2x+）+1，g（x）=0 sin（2x+）=- x=k-或x=k-，k∈Z，即g（x）的相離零點(diǎn)間隔依次為和，故若y=g（x）在[a，b]上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，則b-a的最小值為14×+15×=.

評(píng)析：f（x）=2sin（ x）在[-，]上單調(diào)遞增，令t= x，x∈[-，]， >0，則t∈[- ， ] [-，]，所以- ≥-， ≤ 0< ≤.

6.（本小題共12分）已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，

f ′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù).

（1）求函數(shù)g（x）=f（x）·f ′（x）的最小值及相應(yīng)的x值的集合；

（2）若f（x）=2f ′（x），求tan（x+）的值.

解析：（1）∵f（x）=sinx+cosx，故f ′（x）=cosx-sinx，…… 2分

∴g（x）=f（x）·f ′（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）

=cos2x-sin2x=cos2x， …… 4分

∴當(dāng)2x=-+2k（k∈Z）， 即x=-+k（k∈Z）時(shí)，g（x）取得最小值-1，相應(yīng)的x值的集合為{x|x=-+k，k∈Z}.…… 6分

評(píng)分說(shuō)明：學(xué)生沒(méi)有寫(xiě)成集合的形式的扣分.

（2）由f（x）=2f ′（x）， 得sinx+cosx=2cosx-2sinx，

∴cosx=3sinx，故tanx=. …… 10分

∴tan（x+）===2. …… 12分

評(píng)析：本題是2013年高考題，題目難度不大，但評(píng)分要求很高，很多考生因?yàn)樘交虿蛔⒁忸}目要求，拿不到高分.

下面再看一題關(guān)于考察三角函數(shù)性質(zhì)的題的評(píng)分細(xì)則：

7.（滿分12分）已知函數(shù)f（x）=sinx+acos2，a為常數(shù)，a∈R，且x=是方程f（x）=0的解.

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；

（2）當(dāng)x∈[0，]，求函數(shù)f（x）的值域.

解析：（1）f（）=sin+acos2=0，則1+a=0，解得a=-2. ……3分

所以f（x）=sinx-2cos2=sinx-cosx-1，則f（x）=

sin（x-）-1， ……5分

所以函數(shù)f（x）的最小正周期為2. ……6分

（2）由x∈[0，]得x-∈[-，]，則sin（x-）∈[-，1]， ……10分

則sin（x-）∈[-1，]，sin（x-）-1 ∈[-2，-1]，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-2，-1]. ……12分

總結(jié)：在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想， 把圖像與性質(zhì)結(jié)合起來(lái)， 即利用圖像的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)， 同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)描繪函數(shù)的圖像， 這樣既有利于掌握函數(shù)的圖像與性質(zhì)， 又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.

（作者單位：廣州市第二中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)