平面幾何推理入門的教學(xué)策略

[摘 要] 在平面幾何推理入門教學(xué)中，要重視概念、定理等基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，重視幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)換，教給學(xué)生推理書寫的方法，說、寫并重，充分發(fā)揮練習(xí)在幾何學(xué)習(xí)中的重要作用，培養(yǎng)推理表達(dá)能力.

[關(guān)鍵詞] 基礎(chǔ)知識(shí)；幾何語言；書寫方法；推理能力；練習(xí)

問題的提出

2. 計(jì)算題共15分，推理題共20分.

筆者所教班級(jí)地處農(nóng)村，優(yōu)質(zhì)生源大都流向縣城. 排除生源因素，從表1明顯可以看出，推理題的得分率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于計(jì)算題的得分率. 在與同行的交談中，大家也有同感，都認(rèn)為在幾何教學(xué)中，教師難教，學(xué)生難學(xué)，師生付出得多，收獲得少. 七年級(jí)下期增加平行線、全等三角形等內(nèi)容后，學(xué)習(xí)成績普遍下降（表2，天全縣七年級(jí)2012-2013學(xué)年上、下期成績比較）.

2.以上數(shù)據(jù)來源于縣教師培訓(xùn)發(fā)展中心.

面對(duì)殘酷的現(xiàn)實(shí)， 怎么辦呢？學(xué)生剛剛接觸幾何，總不能一開始就讓他們對(duì)學(xué)習(xí)幾何望而生畏、失去信心吧？

原因探究

平面幾何入門難，原因有二，一是幾何與代數(shù)有不同之處，代數(shù)易于按照法則進(jìn)行計(jì)算，而幾何要研究圖形，要按照邏輯推理進(jìn)行論述，這些都與代數(shù)有很大的區(qū)別；二在于語言，精確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀握Z言，學(xué)生領(lǐng)會(huì)起來費(fèi)力且表達(dá)困難. 文字語言常常要與符號(hào)語言、幾何圖形結(jié)合在一起，進(jìn)行三者互譯，一些學(xué)生感到力所不及，即使是成績不錯(cuò)的學(xué)生也往往出現(xiàn)“茶壺里的餃子倒不出來”的現(xiàn)象（表3）. “說”和“寫”是平面幾何教學(xué)中兩種不同的推理表達(dá)形式，必須說、寫并重，并教給學(xué)生說、寫幾何語言的方法，進(jìn)而對(duì)一個(gè)命題的推理過程進(jìn)行熟練、規(guī)范地書寫. 幾何語言是幾何教學(xué)的工具，學(xué)生要想看懂書、聽懂課、表達(dá)清楚推理過程，無不需要幾何語言，所以不掌握幾何語言必將成為幾何學(xué)習(xí)中的盲人、聾人、啞人. 所以，推理表達(dá)訓(xùn)練是幾何入門的關(guān)鍵，應(yīng)從頭抓起. （表3，天全縣中七年級(jí)重點(diǎn)班兩期人平分比較）

2.數(shù)據(jù)來源于縣教師培訓(xùn)發(fā)展中心2012-2013學(xué)年成績統(tǒng)計(jì).

1. 重視概念、判定和性質(zhì)的教學(xué)

概念、判定和性質(zhì)屬于基礎(chǔ)知識(shí)的范疇，是進(jìn)行幾何推理的依據(jù)，它們好比建房用的磚. 沒有建筑材料，空談建房是毫無意義的. 同樣，頭腦里沒有儲(chǔ)備相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，幾何推理就無法進(jìn)行下去. 要老老實(shí)實(shí)地學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)，這是推理入門的第一步.

概念教學(xué)要遵循“欲進(jìn)先退”的原則，先將教學(xué)起點(diǎn)降低到學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活或已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去，提供親切、生動(dòng)的感性知識(shí)，作為新概念、新定理扎根與生長的土壤. 然后，在充分發(fā)揮師生主導(dǎo)與主體作用的前提下，分析、探索、討論、爭辯，逐步加工提煉，向本質(zhì)屬性逼近. 這樣，充分揭示概念、定理的產(chǎn)生過程，使這一過程成為由具體到抽象的生動(dòng)過程，使學(xué)生成為這一過程的主人，使所得知識(shí)成為學(xué)生知識(shí)“蔓”的自然生長，富于生命力，也使學(xué)生在思考、討論、爭辯、成功中得到無與倫比的樂趣，使抽象變得具體，使深?yuàn)W變得淺顯，使捉摸不到變得親近.

案例1 全等三角形的概念

首先通過展示實(shí)物圖形或多媒體課件演示相關(guān)圖形，引導(dǎo)學(xué)生通過分析、探索、討論、爭辯，認(rèn)識(shí)到全等圖形的特征是它們能夠完全重合，全等圖形的形狀和大小都相同. 然后由一般到特殊，認(rèn)識(shí)到能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等. 在此基礎(chǔ)上，給出全等三角形的表示法，指導(dǎo)學(xué)生找出全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角. 只有當(dāng)學(xué)生能夠準(zhǔn)確地找出兩個(gè)位置變化后的全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角時(shí)，才算真正掌握了全等三角形的概念.

因?yàn)槌橄蟮母拍钔鶃碓从谏钪械木唧w事物，所以許多概念的講授都可以先退到具體事物去，然后遵循具體事物→幾何圖形→粗略描述→精確定義的程序逐步抽象. 定理的教學(xué)也大體相似，一般可按照提出問題→探索、猜想→推理論證→精確表達(dá)的程序逐步抽象.

2. 重視三種幾何語言的相互轉(zhuǎn)換

幾何里文字語言、符號(hào)語言和圖形語言的三者互譯，是進(jìn)行幾何論證和計(jì)算的基礎(chǔ)，是必備的基本功，必須十分重視. 在學(xué)習(xí)概念、公理、定理的過程中，必須突出它們的“三合一”表達(dá)，以利于理解和應(yīng)用，防止學(xué)生只會(huì)囫圇吞棗地背誦條文，而出現(xiàn)不充分或不必要的表達(dá)（表4，幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)換）.

序號(hào)1是平行線的判定的三種表現(xiàn)形式，序號(hào)2是平行線的性質(zhì)的三種表現(xiàn)形式，它們的條件和結(jié)論正好相反.

3. 教給學(xué)生推理的書寫方法

推理是幾何教學(xué)的核心，學(xué)生掌握一些概念、定理及圖形并初步學(xué)會(huì)使用一些幾何語言之后，就可以進(jìn)行簡單的推理. 此時(shí)可按下述途徑進(jìn)行訓(xùn)練.

（1）教師展示規(guī)范的推理書寫形式.

（2）加強(qiáng)推理填空練習(xí)，模仿證明格式.

教師可以為學(xué)生準(zhǔn)備一些推理填空的練習(xí)題，讓學(xué)生在練習(xí)中慢慢體會(huì)推理的表達(dá)方式.這個(gè)階段一定要有耐心，不能急躁，要相信先有模仿才有創(chuàng)造.

4. 說、寫并重，培養(yǎng)表達(dá)能力

平面幾何入門教學(xué)階段，課堂上出現(xiàn)的問題大多可用口答解決，只要說得對(duì)，就能寫得對(duì)，故平面幾何課上教師不僅要 “說”，還要想方設(shè)法讓學(xué)生“說”.

（1）讓全班學(xué)生都有“說”的機(jī)會(huì). 教師提問一定要面向全體學(xué)生，指名力求普遍，千萬不要使有些學(xué)生以為提問不到自己而不積極思考. 對(duì)于難易程度不同的問題，教師應(yīng)適當(dāng)?shù)刈尣煌潭鹊膶W(xué)生回答，并且要讓學(xué)生從容作答，特別是對(duì)于膽小、思維慢或基礎(chǔ)差的學(xué)生，尤其要有耐心，要幫助學(xué)生克服害怕及緊張的心理，要提高學(xué)生發(fā)言的積極性和正確性.

（2）要由淺入深，逐步提高要求. 要真正提高學(xué)生的口述能力，絕不是一朝一夕能辦到的容易事. “冰凍三尺，非一日之寒.”教師必須有目的、有計(jì)劃、有耐心地由淺入深，逐步提高要求. 特別要重視平面幾何的入門教學(xué)，教師應(yīng)給學(xué)生一個(gè)可循的楷模，從最簡單的開始，一句一句地讓學(xué)生跟著說，認(rèn)真地進(jìn)行一次推理訓(xùn)練和填寫證明理由的訓(xùn)練. 踏踏實(shí)實(shí)，逐步引導(dǎo)學(xué)生過渡到直接證明，即使在學(xué)生能獨(dú)立證明后，遇到較復(fù)雜的問題，教師也可通過師生共同分析，列出證題提綱，再讓學(xué)生口述解題過程.

充分發(fā)揮練習(xí)在幾何學(xué)習(xí)中的重要作用

“前途是光明的，道路是曲折的.”具備了證明的基礎(chǔ)知識(shí)，明確了推理表達(dá)的方式，這只是萬里長征走完了第一步，接下來就要分階段、有計(jì)劃地對(duì)學(xué)生進(jìn)行循序漸進(jìn)、由淺入深、螺旋式上升的推理強(qiáng)化訓(xùn)練. 先2-3步，再4-5步，然后5步以上，此時(shí)可出現(xiàn)一些需添加輔助線才能解決的問題.

無數(shù)事實(shí)證明，數(shù)學(xué)不是教出來的，而是做出來的. 每節(jié)課堅(jiān)持讓學(xué)生練習(xí)15分鐘，就是為學(xué)生家長做了一件大好事！

推理訓(xùn)練與圖形密切相關(guān). 幾何的教學(xué)離不開圖形，所以學(xué)生首先要有識(shí)圖的能力，能讀懂題，準(zhǔn)確理解題意. 所謂識(shí)圖能力，就是指能認(rèn)識(shí)圖形的本質(zhì)特征，分清相關(guān)圖形或類似圖形的聯(lián)系與區(qū)別，并且能在復(fù)雜的圖形中突出所要研究的圖形及識(shí)別變式圖形，要使學(xué)生認(rèn)識(shí)基本圖形，再由簡單到復(fù)雜，從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形，能認(rèn)識(shí)圖形之間的關(guān)系.

有了建筑材料，并不一定人人都會(huì)建房. 建房還需要技術(shù)，所以工程師應(yīng)運(yùn)而生. 解答一道幾何證明題，就像工程師建造一座房子，工程師先要設(shè)計(jì)圖紙，計(jì)算所需材料，研究施工方案，并組織施工，小心翼翼，一座漂亮的房子才能拔地而起. 證明也一樣，先要找到證題思路，在大腦中調(diào)出所需的基礎(chǔ)知識(shí)，思考每個(gè)環(huán)節(jié)怎樣溝通，并細(xì)心解答，才能完美地呈現(xiàn)解題過程，交出一份漂亮的答卷！解答較難的幾何證明題，一般采用執(zhí)果索因，執(zhí)因?qū)Ч?，或兩者同時(shí)進(jìn)行，在中間實(shí)現(xiàn)溝通，這就是常說的分析法、綜合法、分析綜合法. 這些都是行之有效的解題方法，要多在練習(xí)中體會(huì). “萬丈高樓，平地起”，基本功很重要，要從簡單的題入手，最后才能解決較難的題.

“師傅引進(jìn)門，修行在個(gè)人.”總之，在平面幾何入門教學(xué)中，只要教師能十分重視對(duì)學(xué)生的推理表達(dá)訓(xùn)練，使他們樹立信心，保持學(xué)習(xí)幾何的興趣和熱情，同時(shí)在以上幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)上狠下工夫，我想學(xué)生肯定能學(xué)好幾何這門學(xué)科.