導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用舉例

摘 要：在日常生活、生產(chǎn)和科研中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、費(fèi)用最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題，我們可以通過利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用來解決這類問題.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 生活 應(yīng)用

中圖分類號(hào)： O172？ 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2013）05（c）-0000-00

對(duì)于一個(gè)實(shí)際問題，我們可以建立數(shù)學(xué)模型，就是列出變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式（函數(shù)解析式），求出函數(shù)的最大值或最小值，從而達(dá)到解決最優(yōu)化問題.

我們知道在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值，這在理論上肯定了最值的存在性，但是怎么求出函數(shù)的最值呢？首先假設(shè)函數(shù)的最大（?。┲翟陂_區(qū)間內(nèi)取得，那么最大（小）值也一定是函數(shù)的極大（?。┲?，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)。另外函數(shù)的最值也可能在區(qū)間端點(diǎn)上取得。因此我們只需把函數(shù)的駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值一一算出，并加以比較，便可求得函數(shù)的最值。

例1 有一個(gè)鐵路線上段的距離為100，某工廠距點(diǎn)為20，，要在線上選定一點(diǎn)向工廠修筑一條公路.已知鐵路線上每千米貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每千米貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比為，為了使貨物從供應(yīng)站運(yùn)到工廠的運(yùn)費(fèi)最省，問點(diǎn)應(yīng)選在何處？

分析 這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問題，建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求函數(shù)的最值非常簡(jiǎn)單.

解析 設(shè)點(diǎn)選在距離點(diǎn)處，，則

設(shè)鐵路上每千米貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)為，則公路上每千米的運(yùn)費(fèi)為（為常數(shù)）.設(shè)從點(diǎn)到需要的總運(yùn)費(fèi)為，則，即

.

下面求在區(qū)間上的值，使函數(shù)的值最小.

上式兩邊求導(dǎo)數(shù)，得

令，得，，故.

因?yàn)?，所以，這時(shí)，與閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相比較，由于，，因此，當(dāng)時(shí)，的值最小，即點(diǎn)應(yīng)選在距離點(diǎn)處，這時(shí)，貨物的總運(yùn)費(fèi)最省.

點(diǎn)評(píng) 以導(dǎo)數(shù)為工具分析和解決一些函數(shù)問題，以及一些實(shí)際問題中的最大（?。┲祮栴}，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.

例2 某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是元，銷售價(jià)是元，月平均銷售件.通過改進(jìn)工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場(chǎng)分析的結(jié)果表明，如果產(chǎn)品的銷售價(jià)提高的百分率為，那么月平均銷售量減少的百分率為.記改進(jìn)工藝后，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)是（元）.（1）寫出與的函數(shù)關(guān)系式；（2）改進(jìn)工藝后，確定該紀(jì)念品的售價(jià)，使旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)最大.

分析 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的基本思想去分析和解決問題，用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)的最值，這是導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)工具的具體體現(xiàn).

解析 （1）改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為，月平均銷售量為件，則月平均利潤(rùn)（元），

∴與的函數(shù)關(guān)系式為

（2）由得，（舍）

當(dāng)時(shí)；時(shí)，∴函數(shù) 在取得最大值.故改進(jìn)工藝后，產(chǎn)品的銷售價(jià)為元時(shí)，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)最大.

答：該商品售價(jià)定為每件30元時(shí)，所獲利潤(rùn)最大為23000元.

點(diǎn)評(píng) 導(dǎo)數(shù)的引入，大大拓寬了高職數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際優(yōu)化問題中的應(yīng)用空間.

例3 設(shè)某物體一天中的溫度T是時(shí)間t的函數(shù)，已知，其中溫度的單位是℃，時(shí)間的單位是小時(shí).中午12：00相應(yīng)的，中午12：00以后相應(yīng)的取正數(shù)，中午12：00以前相應(yīng)的取負(fù)數(shù)（如早上8：00相應(yīng)的，下午16：00相應(yīng)的）.若測(cè)得該物體在早上8：00的溫度為8℃，中午12：00的溫度為60℃，下午13：00的溫度為58℃，且已知該物體的溫度早上8：00與下午16：00有相同的變化率.（1）求該物體的溫度T關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該物體在上午10：00到下午14：00這段時(shí)間中（包括端點(diǎn)）何時(shí)溫度最高？最高溫度是多少？

分析 求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值、極值時(shí)，通過研究導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，列表求得該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)（極值）、端點(diǎn)值，從而求得最大值.也可以不討論導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，而直接將導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較即可.

解析 （1） 因?yàn)椋?/p>

而， 故，

.

∴.

（2） ， 由

當(dāng)在上變化時(shí)，的變化情況如下表：

-2

（-2，-1）

-1

（-1，1）

1

（1，2）

2

+

0

-

0

+

58

增函數(shù)

極大值62

減函數(shù)

極小值58

增函數(shù)

62

由上表知當(dāng)，說明在上午11：00與下午14：00，該物體溫度最高，最高溫度是62℃.

點(diǎn)評(píng) 列表法是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一種基本方法，雖然列表的過程稍微有點(diǎn)復(fù)雜，但從表格中可以直接得出極值點(diǎn)、單調(diào)區(qū)間、最值.函數(shù)的極值與函數(shù)的最值時(shí)有區(qū)別和聯(lián)系的：函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念，而最值時(shí)某個(gè)區(qū)間的整體性的概念.

本文主要通過三個(gè)實(shí)際例子說明導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用，為解決實(shí)際問題提供有力的幫助.

參考文獻(xiàn)

【1】王榮成.數(shù)學(xué).蘇州大學(xué)出版社.1998.

【2】楊學(xué)坤.全國(guó)成人高考指導(dǎo)叢書《數(shù)學(xué)》.蘇州大學(xué)出版社.2010.

【3】《高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)》盛祥耀 主編