函數(shù)中恒成立問題解題例說

函數(shù)的內(nèi)容作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的核心，也是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn).函數(shù)類問題的解決最終歸結(jié)為對(duì)函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)思想的應(yīng)用.恒成立問題，在高中數(shù)學(xué)中較為常見.這類問題的解決涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)、圖像，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.恒成立問題在解題過程中有以下幾種策略：①一次函數(shù)型；②二次函數(shù)型；③變量分離型；④數(shù)形結(jié)合型.

下面探討其中一些典型的問題.

一、一次函數(shù)型

說明：對(duì)于二次函數(shù)在R上恒成立問題往往采用判別式法，而對(duì)于二次函數(shù)在某一區(qū)間上恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問題.

三、變量分離型

說明：利用變量分離解決恒成立問題，主要是把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

四、數(shù)形結(jié)合

如果前面介紹的方法不易進(jìn)行，所給的等式或不等式不易求解，但把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，就能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖像，則可以通過數(shù)形結(jié)合的思想，利用圖形直接判斷得出結(jié)果.在解答選擇題、填空題時(shí)，這種方法更顯方便、快捷.

說明：利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖像之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍.

恒成立的題型和解法還有很多，只要我們充分利用所給定的函數(shù)的特點(diǎn)和性質(zhì)，具體問題具體分析，選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，?duì)問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，就能使問題獲得順利解決.只有這樣才能真正提高分析問題和解決問題的能力.