小班化教學(xué)中平面幾何說理能力的培養(yǎng)策略

目前小班化教學(xué)盛行，這是一種在班級人數(shù)較少的前提下有利于學(xué)生自主、合作、探究學(xué)習(xí)和個性充分發(fā)展的教育組織形式，學(xué)生在課堂上平均占有的時(shí)間成倍增加。師生之間、生生之間有更充分的時(shí)間進(jìn)行討論和交流，有利于課堂互動的充分展開?？稍趲缀谓虒W(xué)中彰顯其優(yōu)勢，在互動中，充分發(fā)揮主體的積極性和創(chuàng)造性，暴露思維過程，促進(jìn)學(xué)生自覺主動地將思維引向縱深處。教師在這樣的教學(xué)氛圍下，會為學(xué)生提供更多的質(zhì)疑，表達(dá)自己獨(dú)立見解，以及動手實(shí)踐的機(jī)會，更有利于邏輯思維的培養(yǎng)。由此可見，小班化為課程改革創(chuàng)造了極為有利的條件，同時(shí)也為在幾何教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的說理能力提供了優(yōu)越的環(huán)境。下面我結(jié)合教學(xué)實(shí)踐和感悟，談?wù)勑“嗷虒W(xué)中對平面幾何說理能力的培養(yǎng)策略。

一、入門階段

教師應(yīng)該首先激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，然后從概念、作圖、幾何語言的理解、表述和翻譯及推理技能的訓(xùn)練等環(huán)節(jié)著手，重視邏輯思維能力的啟蒙，幫助學(xué)生打好學(xué)習(xí)幾何的基礎(chǔ)。這個階段要求學(xué)生學(xué)會用幾何語言說理，注意體會邏輯推理的表達(dá)方法。這樣一方面可以使學(xué)生鞏固和加深理解概念、公理和定理，另一方面讓學(xué)生初步了解推理是怎么一回事。

在平面幾何入門教學(xué)中要重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生從“數(shù)”的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)入對“形”的研究階段的特點(diǎn)和變化方式，充分利用實(shí)驗(yàn)幾何的教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法，引導(dǎo)學(xué)生由實(shí)驗(yàn)幾何向理論幾何過渡，再培養(yǎng)學(xué)生用幾何理論進(jìn)行說理論證的能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，防止學(xué)生以直觀代替論證。為此，在小班化教學(xué)中教師可采用創(chuàng)設(shè)問題情境等方式，小步子、多層次，由易到難、由淺入深地逐步引發(fā)學(xué)生思考，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，啟發(fā)學(xué)生觀察事物，突出概念的本質(zhì)屬性與性質(zhì)的運(yùn)用，在此過程中要特別加強(qiáng)幾何符號語言的訓(xùn)練。

二、模仿書寫階段

在舉例示范和學(xué)生填空練習(xí)的同時(shí)，補(bǔ)充少量的由兩步至三步推理組成的說明題，讓學(xué)生模仿著書寫，可組織巡批、組內(nèi)批改、實(shí)物投影等靈活多樣的交流和糾錯方式。通過填空寫推理依據(jù)和簡單論證過程的反復(fù)交替練習(xí)，使學(xué)生能基本建構(gòu)出對簡單的說明題進(jìn)行說理的過程框架。

這一階段主要是通過定義、定理、平行線、全等三角形幾部分的教學(xué)來培養(yǎng)和逐步滲透的，使學(xué)生能正確地辨別出條件和結(jié)論，逐步明晰證明的步驟和書寫格式。通過閱讀教材中的每個例題，認(rèn)真完成教材中的每一個練習(xí)，強(qiáng)調(diào)推理論證中的每一步都有根據(jù)，每一對“∵ ∴”都言必有據(jù)，都有定義、定理、公理作保證。此外，還要強(qiáng)化學(xué)生有意識地熟記一些幾何常用語和證明的“范句”、“范例”為搭建證明書寫步驟和格式做好準(zhǔn)備。通過例題、練習(xí)訓(xùn)練逐步總結(jié)出推理的規(guī)律，簡單概括為“從題設(shè)出發(fā)，根據(jù)已學(xué)過的定義、定理用分析的方法尋求推理的途徑，用綜合的方法寫出證明過程。”

現(xiàn)以證明“平行線第二個判定定理”為例剖析一下證明中的推理。

已知：直線AB和CD被EF所截，內(nèi)錯角∠3與∠2相等，求證：AB∥CD.

分析：要證明AB∥CD，關(guān)鍵是設(shè)法把已知轉(zhuǎn)化為同位角來證明，而這個轉(zhuǎn)化要借用對頂角和等量代換，其推理過程如下：

第一個推理：對頂角相等（大前提）

∠1與∠3是對頂角（小前提）

所以∠1=∠3（結(jié)論）

第二個推理：在等式中，一個量可以用它的等量來代替（大前提）

∠1=∠3，∠3=∠2（小前提）

所以∠1=∠2（結(jié)論）

第三個推理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行（大前提）

∠1與∠2是相等的兩個同位角（小前提）

所以AB∥CD（結(jié)論）

可見，這一推導(dǎo)過程是由三個連貫的三段論式，即三項(xiàng)推理組成的。在實(shí)際書寫時(shí)，我們總是采用簡略的三段論式的形式：

∵∠3=∠2（已知）

∠1=∠3（對頂角相等）

∴∠1=∠2（等量代換）

∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）

經(jīng)過上述剖析，學(xué)生容易了解每一個推理都是不可缺少的，在證明中都占有一定地位，它們構(gòu)成證明的整體，就不致犯未作出同位角相等的判斷，就直接得出兩直線平行的判斷或?qū)⒏鱾€推理的順序不合理地顛倒過來的錯誤。

需要補(bǔ)充強(qiáng)調(diào)的是在代數(shù)學(xué)習(xí)中也要重視說理的教學(xué)。在初中代數(shù)中，含有較多的具有算法性質(zhì)的內(nèi)容，在小班化教學(xué)過程中注意把計(jì)算步驟與依據(jù)結(jié)合起來，在課堂上可多組織學(xué)生討論“算理”，使學(xué)生不僅知其然，更能知其所以然，培養(yǎng)學(xué)生“代數(shù)推理”的習(xí)慣與能力，也可為以后過渡到幾何推理打下良好的基礎(chǔ)。

三、獨(dú)立分析、證明較復(fù)雜圖形階段

這一階段主要通過相似圖形，圓與平行四邊形等特殊四邊形、正多邊形的結(jié)合教學(xué)來培養(yǎng)的。通過審題訓(xùn)練使學(xué)生對題中的每個條件，包括求證的內(nèi)容，一個一個地進(jìn)行思考，按照定義、公理或定理“由已知想可知”將條件一步步推理聯(lián)想得出新的條件，延伸出盡可能多的條件，避免忽視有些較難找的條件，同時(shí)不要忽視題中的“隱含條件”，如圖形中的“對頂角”、“公共的邊和角”、“三角形內(nèi)角和”、“三角形外角”等。

在幾何證明問題的分析過程中通常使用兩種邏輯思維方法：即綜合法和分析法。對于一些思維過程比較簡單的問題，采用分析法或綜合法都可以順利解決問題，但對于思維過程相對復(fù)雜的問題，單一地使用其中的一種方法會顯得蒼白無力。只有將二者結(jié)合起來，即從已知出發(fā)想可知、從結(jié)論入手想需知、結(jié)合圖形，尋找出問題的一個契合點(diǎn)，才能順利解決問題。

在這一階段對平面幾何說理題的教學(xué)中可采用“三步”教學(xué)法：1.做好說理鋪墊；2.進(jìn)行解題思路訓(xùn)練；3.善于歸納總結(jié)。在分析每一題時(shí)也分三步走：①讀題，分析題意。在小班化教學(xué)中可先請學(xué)生思考，一個學(xué)生口答，進(jìn)行條件聯(lián)想，每個條件可以得到些什么結(jié)論，把結(jié)論都排列起來；大致梳理一下思路，看哪個結(jié)論對解決問題有利，再進(jìn)行取舍。②畫出思路圖。根據(jù)剛才羅列的條件，前一個同學(xué)的想法，請兩個學(xué)生到黑板上畫思路圖，其他同學(xué)在下面畫；然后共同評析思路圖。③根據(jù)修正的思路圖寫出語句。兩個學(xué)生板演，其余學(xué)生寫在本子上，再評析。

此外，當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷一定題目量的識圖訓(xùn)練及變式訓(xùn)練后，可在小班化教學(xué)中采用分組合作的形式總結(jié)出一些典型的常見的基本圖形備用。設(shè)計(jì)這樣的小班化活動可增強(qiáng)學(xué)生的圖感和歸納能力，便于以后在遇到較復(fù)雜圖形時(shí)產(chǎn)生將復(fù)雜的幾何圖形分解為一些基本圖形的意識。其實(shí)幾何中再復(fù)雜的圖形也是由一些基本圖形復(fù)合而成的。只要能夠善于發(fā)現(xiàn)基本圖形，并熟練掌握這些基本圖形的構(gòu)成、形式及其性質(zhì)，就能使模糊問題清晰化、復(fù)雜問題簡單化。幾何中每個定義、定理、公理都對應(yīng)著一個基本圖形，除了掌握這些最基本的圖形外，還要掌握定義、定理、公理之外的常用圖形，例如：在八年級學(xué)生學(xué)習(xí)“相似圖形”時(shí)，可總結(jié)出以下3種常見的基本圖形：平行型、斜交型、垂直型。較復(fù)雜圖形如圖1包含了平行型（a），圖2包含了斜交型（b），圖3包含了垂直型（c），圖4包含了垂直型（d）。

當(dāng)然，還有很多基本圖形，在此不一一列舉。利用這些基本圖形及其性質(zhì)能比較有效地解決一些復(fù)雜問題，也有助于學(xué)生對較復(fù)雜圖形快速形成證明思路。

綜上所述，小班化平面幾何教學(xué)應(yīng)緊扣教材，從最基本的內(nèi)容入手。其目標(biāo)是讓學(xué)生順利通過概念、圖形、語言（表達(dá)）、推理（思維）四道難關(guān)，達(dá)到對概念掌握結(jié)構(gòu)，明確實(shí)質(zhì)；對圖形辨認(rèn)特征，熟悉性質(zhì)；對語言表達(dá)準(zhǔn)確，層次清楚；對推理思路清晰，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)。在攻破這幾道難關(guān)的過程中始終不離概念、判斷、推理的過程，而概念、判斷、推理就是邏輯思維的基本形式，在小班化教學(xué)中對平面幾何說理能力的培養(yǎng)是一個緩慢的過程，不是學(xué)生“懂”了，也不是學(xué)生“會”了，而是學(xué)生自己“悟”出了道理、規(guī)律、思考方法等，因此要給學(xué)生提供探索交流的機(jī)會，組織、引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明”等數(shù)學(xué)活動過程，并把推理能力的培養(yǎng)有機(jī)地融入這樣的“過程”之中，才能真正實(shí)現(xiàn)邏輯說理能力的形成和不斷提高。