股票投資組合中若干優(yōu)化算法的比較研究

摘 要： 鑒于投資組合的構(gòu)建既是機構(gòu)投資者首先關注的核心問題，又是金融市場中每個個體投資人需要解決的問題，具有重要的實際意義，本文利用實際數(shù)據(jù)，首先采用遺傳算法、模擬退火算法和粒子群算法等多種算法對模型進行優(yōu)化計算，然后將所得結(jié)果進行了比較研究。

關鍵詞： 資產(chǎn)組合 遺傳算法 模擬退火算法 粒子群算法

1.引言

1.1研究背景簡介

1.1.1數(shù)理金融學

數(shù)理金融學（Mathematical Finance）是通過運用數(shù)學知識和技術(shù)研究金融領域的問題的一門學科，其研究方法是，首先對需要研究或解決的實際問題提出假設，然后以此假設為基礎，建立相應的數(shù)學模型，最后是對該數(shù)學模型進行數(shù)值計算等定量分析，以及必要的理論分析，由此發(fā)現(xiàn)金融學的有關規(guī)律，進而將其用于指導金融實踐活動。

鑒于在求解數(shù)學模型的過程中，離不開計算機的輔助計算，因此，我們也可認為數(shù)理金融學是現(xiàn)代數(shù)學及其計算技術(shù)在金融領域的應用。

回顧金融學的發(fā)展歷程，在上世紀50年代之前，金融學的研究主要是定性分析，而很少有定量分析。1952年，美國經(jīng)濟學家、1990年諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者馬科維茨（Harry.M.Markowitz）在《金融雜志》上發(fā)表了題為《資產(chǎn)組合選擇——投資的有效分散化》的學術(shù)論文，該文堪稱現(xiàn)代組合投資理論的開端，并由此開啟了金融學定量分析的先河。

1.1.2最優(yōu)資產(chǎn)組合問題概述

馬科維茨的論文《資產(chǎn)組合選擇——投資的有效分散化》的發(fā)表，是現(xiàn)代金融理論史上的里程碑。該文最早采用風險資產(chǎn)的期望收益率（均值）及方差（或標準差）代表的風險來研究資產(chǎn)組合和選擇的問題。自此以后，有關金融市場中投資決策和風險管理等問題，就開始受到世界各國經(jīng)濟學家的廣泛關注和深入研究。

在金融風險管理方面，較為棘手的問題之一就是如何度量投資風險。馬科維茨的“收益率方差”的風險評價指標無疑對后來的研究產(chǎn)生了深遠的影響。

馬科維茨認為，任何一位投資者在進行收益率不確定性（風險）決策時，既要追求“高收益”，又希望“收益盡可能確定”。決策的目標無非有兩點：一是“盡可能高的收益率”；二是“盡可能低的風險（即不確定性）”。

在通常情況下，收益與風險呈正的相關性，即高收益往往伴隨著高風險，因而在投資過程中，投資者最為關注的問題就是預期收益和風險的關系。投資者的目的就是構(gòu)造一個有效的投資組合，從市場上為數(shù)眾多的股票中選出若干進行組合，從而實現(xiàn)其“固定收益的水平上風險最低”，或“固定風險的水平上收益最高”的愿望。

每個投資者都知道，收益與風險是兩個相互制約的因素。因而在實際操作中，投資者所追求的最佳決策應該是使這兩個方面達到最佳平衡狀態(tài)，這就需要找到一個最佳的投資組合，能夠使得投資者實現(xiàn)對于最佳決策的追求。

20世紀90年代初期，一種度量市場風險的VaR（Value at Risk：風險價值）方法的提出，既為人們提供了一種可操作性更強的風險評估工具，又便于金融機構(gòu)加強內(nèi)部風險管理，該方法已成為當今金融領域測量金融風險的主流方法。

不同投資者的風險偏好往往是不同的，使得投資者的效用最大化是追求最優(yōu)投資組合的方法之一。

1.1.3智能優(yōu)化算法

智能優(yōu)化算法又稱為現(xiàn)代啟發(fā)式算法，該算法具有全局優(yōu)化性能，并且通用性強、適合于做并行處理等特點。該算法通常有嚴密的理論依據(jù)，并非單純憑借專家經(jīng)驗，從理論上講，該算法能夠在一定的時間內(nèi)找到問題的最優(yōu)解或近似最優(yōu)解。常用的智能優(yōu)化算法有遺傳算法（簡稱GA：Genetic Algorithm）、模擬退火算法（簡稱SA：Simulated Annealing）、粒子群算法（簡稱PSO：Particle Swarm Optimization）等，這些算法具有全局性、自適應及離散化等特點，都是從任一解出發(fā)，按照某種機制，以一定的概率在整個求解空間中搜索最優(yōu)解。由于上述算法能夠?qū)⑺阉鞯目臻g擴展到整個問題空間，因此具有全局優(yōu)化性能。

1.2寫作目的

本文的最終寫作目的是采用優(yōu)化算法對最優(yōu)資產(chǎn)組合問題進行分析，從而得到一個最佳的投資組合。寫作論文的機會學習了最優(yōu)資產(chǎn)組合、模擬退火算法及遺傳算法等相關知識，并且對數(shù)理金融這門課程有了進一步的認識。

2.問題闡述

2.1問題介紹

2.2模型的建立及求解

2.2.1單目標投資組合優(yōu)化模型

投資者既要求期望收益不低于某個值，又要求風險最小，也就是選擇滿足在非負約束條件下具有預期收益率的風險最小的證券投資組合，模型如下：

以下先用多種模擬方法分別對上述多目標投資組合優(yōu)化模型求解，然后對所得結(jié)果進行分析。

3.基于多種算法的投資組合優(yōu)化模型的求解與分析

3.1遺傳算法

3.1.1算法產(chǎn)生的背景

自20世紀40年代起，生物模擬（即仿生學）發(fā)展成為計算科學的一個組成部分。對機器智能的強烈渴望，極大地促進了仿生學的發(fā)展；對大規(guī)模優(yōu)化問題有效求解的現(xiàn)實需求，也有力地推動了遺傳算法（GA）的產(chǎn)生；1962年美國的J.Holland教授受達爾文進化論的啟發(fā)，首先提出了GA算法的思想，并于1975年發(fā)表了著名的學術(shù)論文“Adaptaton in Natural and Artificial Systems”（自然界和人工系統(tǒng)的適應性）。

遺傳算法又叫進化算法，是通過模擬達爾文進化論中的“物競天擇，適者生存”的生物進化過程而產(chǎn)生的計算模型，該算法是通過對自然進化過程進行模擬來找到最優(yōu)解的算法。近些年來，遺傳算法作為一種有效的工具，已被廣泛地應用于最優(yōu)化問題的求解之中。

（1）遺傳算法的含義

遺傳算法是一種全新的全局優(yōu)化算法，它模擬生物界“適者生存，優(yōu)勝劣汰”的進化規(guī)律，通過自然選擇、遺傳、變異等作用機制，達到提高各個個體的適應性（即決策變量的目標函數(shù)）的目的。

遺傳算法模擬自然選擇和遺傳過程中發(fā)生的繁殖、交叉，以及基因突變等現(xiàn)象，在每次迭代中都保留一組候選解，并按某種指標從解群中選取較優(yōu)的個體，利用遺傳算子對這些個體進行組合，從而產(chǎn)生新一代的候選解群，再根據(jù)需要重復此過程，直到獲得某種收斂指標為止。

（2）遺傳變異理論概述

遺傳與變異是生物界不斷地、普遍地發(fā)生的現(xiàn)象，也是物種形成與生物進化的基礎。構(gòu)成生物的基本的結(jié)構(gòu)與功能單位是細胞，而細胞中的染色體又包含著生物的全部遺傳信息。染色體中包括蛋白質(zhì)和DNA（脫氧核糖核酸），DNA是染色體的主要成分，是遺傳的物質(zhì)基礎。DNA具有雙螺旋結(jié)構(gòu)，基因是染色體上的有效DNA片斷，是遺傳的基本單位，生物的各種性狀就決定于其相應的基因?；蛲ㄟ^復制與交叉決定生物性狀的遺傳與變異。

（3）進化論知識概述

所有的生物都具有變異的特性，世界上不會有兩個生物是完全相同的。生物都具有高度的繁殖率與自下而上的競爭能力。生物普遍具有繁殖過剩的傾向，但由于受到食物與空間的限制，以及其他因素的影響，每種生物只有少數(shù)個體能夠得到發(fā)育與繁殖。生物在生存競爭過程中，對生存有利的變異個體就被保留下來，而對生存不利的變異個體則被淘汰，這就叫“自然選擇”或“適者生存”。新的個體遺傳父母雙方各一部分的基因，同時又有一定的概率發(fā)生基因的變異。概括來說就是：繁殖過程會發(fā)生基因交叉和基因突變，適應度低的個體被逐步淘汰，適應度高的個體越來越多。在經(jīng)過N代的自然選擇后，保存下來的個體都是適應度很高的，這當中很可能就有史上所產(chǎn)生的適應度最高的那個個體。

3.1.2算法思想

遺傳算法通過借鑒生物進化論，將需要解決的問題模擬成一個生物進化的過程，經(jīng)過復制、交叉、突變等操作產(chǎn)生下一代的解，把適應度函數(shù)值低的解逐步淘汰，從而增加適應度函數(shù)值高的解。如此經(jīng)過N代進化后，就很有可能會進化出適應度函數(shù)值很高的個體。

（1）編碼

遺傳算法要求將問題的解編碼成字符串的形式。最常見的編碼方式是二進制編碼，也就是將問題的解編碼成二進制位數(shù)組的形式。

（2）初始種群

遺傳算法通過采用隨機方式生成若干個體的集合，這樣的集合稱為初始種群，初始種群中個體的數(shù)量稱為種群規(guī)模。

（3）適應度函數(shù)

采用適應度函數(shù)值來評價一個個體（解）的好壞：適應度函數(shù)值越大，則解的質(zhì)量越好。適應度函數(shù)既是遺傳算法進化過程的驅(qū)動力，又是進行自然選擇的唯一標準，它的設計必須依照問題本身的要求而定，一般來說就是用于評價某個染色體的適應度，用f（x）表示，有時還要求區(qū)分染色體的適應度函數(shù)與問題的目標函數(shù)。

（4）選擇

遺傳算法采用選擇運算對群體中的個體進行優(yōu)勝劣汰的操作。這樣，適應度高的個體被遺傳到下一代群體中的概率較大，而適應度低的個體被遺傳到下一代群體中的概率較小。這就是選擇操作，其目的就是按某種方式從父代群體中選取某些個體，并將其遺傳到下一代群體中。

遺傳算法中的選擇算子采用輪盤賭選擇方法。輪盤賭選擇又叫做比例選擇算子，其基本思路是：個體被選中的概率與其適應度函數(shù)值成正比。

輪盤賭選擇方法的實現(xiàn)步驟：

（?。┯嬎闳后w中的所有個體的適應度函數(shù)值（需要解碼）；

（ⅱ）利用比例選擇算子的公式，并計算每個個體被選中遺傳到下一代群體的概率；

（ⅲ）采用模擬賭盤操作（即生成0到1之間的隨機數(shù)和每個個體遺傳到下一代群體的概率進行匹配）來確定各個個體是否遺傳到下一代群體中。

輪盤賭算法：

//按設定的概率，隨機選中一個個體

//P[i]表示第i個個體被選中的概率

int RWS（ ）

{ m = 0；

r=Random（0，1）； //r為0至1的隨機數(shù)

for（i=1；i<=N； i++）

{ //產(chǎn)生的隨機數(shù)在m～m+P[i]間則認為選中了i

//因此i被選中的概率是P[i]

m = m + P[i]；

if （r<=m） return i；

}

}

（5）交叉

（6）變異

在生物的繁殖過程中，新產(chǎn)生的染色體中的基因會以一定的概率出錯，這種現(xiàn)象稱為變異。變異運算就是將個體編碼串中的某些基因值依據(jù)變異概率P■用其他基因值進行替換，以便形成新的個體。遺傳算法中的變異運算是產(chǎn)生新個體的輔助方法，它既決定了遺傳算法的局部搜索能力，又保持了種群的多樣性。通過交叉運算和變異運算的相互配合，就可完成對搜索空間的全局搜索和局部搜索。遺傳算法中的變異算子采用的是基本位變異算子?；疚蛔儺愃阕泳褪菍€體編碼串隨機指定的某一位或某幾位基因進行變異運算。對于基本遺傳算法中用二進制編碼符號串所表示的個體，如果需要進行變異操作的某一基因座上的原有基因的值為1，變異操作就會將其變?yōu)?；反之，如果原有基因的值為0，變異操作就會將其變?yōu)?。

3.1.3主要步驟

（1）將需要解決的問題進行編碼；

（2）初始化：確定種群的規(guī)模和終止準則，并將隨機生成的N個個體作為初始種群X（0）；

（3）置進化代數(shù)t=0；

（5）種群進化：以一定的概率應用選擇算子、繁殖（交叉和變異）算子產(chǎn)生下一代種群X（t+1）；

（6）終止檢驗：如果X（t+1）滿足終止準則，則輸出X（t+1）中具有最大適應度的個體作為最優(yōu)解，終止計算；否則令t=t+1，轉(zhuǎn)步驟3。

具體流程圖如下：

3.1.4適用領域

遺傳算法適用于復雜的、困難的全局優(yōu)化問題，而不是通常的數(shù)值優(yōu)化問題。也就是說，如果能用傳統(tǒng)方法有效求解的，就用傳統(tǒng)方法，而當傳統(tǒng)方法求解無效或求解困難時就用遺傳算法。以上所說的復雜問題主要是指目標函數(shù)的解析表達式不易計算，或者目標函數(shù)沒有明確的表達式，又或者目標函數(shù)有極多的峰值，抑或目標函數(shù)是向量值（多目標）；以上所說的困難主要指目標函數(shù)或約束函數(shù)不連續(xù)、不可微、高度非線性，或者優(yōu)化問題為NP問題。

3.1.5實例分析

當λ=0.2時，表示投資者更加關注風險，從Table1中可以看出浦發(fā)銀行的期望收益率較高（僅次于中國醫(yī)藥），而且其風險在八支股票里居中，這一點顯然要優(yōu)于其他股票，因此它將會在投資組合中占很大比例（83.86%）；當λ=0.8時，表示投資者更加關注收益，由于中國醫(yī)藥的風險最大（高出其他股票很多），且其收益也最高，因此它會占很大比例；從Table4中還可以看到，λ的值越大，期望收益率越大，風險也越高。

3.2模擬退火算法

3.2.1算法產(chǎn)生的背景

模擬退火算法（SA）是基于Mente-Carlo迭代求解策略的一種隨機尋優(yōu)算法，它來源于物理中的金屬物質(zhì)的退火原理與一般組合優(yōu)化問題之間的相似性。SA起初被Kirkpatrick等人應用于組合優(yōu)化領域。SA從某一較高初溫出發(fā)，隨著溫度參數(shù)的不斷下降，結(jié)合概率的突跳特性，在解空間中隨機尋找目標函數(shù)的全局最優(yōu)解，也就是在局部最優(yōu)解能概率性地跳出并最終趨于全局最優(yōu)。模擬退火算法是一種通用的優(yōu)化算法，在理論上，該算法具有概率的全局優(yōu)化性能，在工程中，例如在控制工程、機器學習、信號處理、生產(chǎn)調(diào)度、神經(jīng)網(wǎng)絡、VLSI（超大規(guī)模集成電路）等領域都有廣泛的應用。

3.2.2算法思想

模擬退火算法是一種通過賦予搜索過程一種時變并且最終趨于零的概率突跳性，可有效避免陷入局部極小，進而最終趨于全局最優(yōu)的串行結(jié)構(gòu)的優(yōu)化算法。

模擬退火算法有如下特點：（1）與初始值無關，算法求得的解與初始解狀態(tài)S（即算法迭代的起點）無關；（2）具有漸近收斂性，在理論上已被證明是一種以概率l收斂于全局最優(yōu)解的全局優(yōu)化算法；（3）具有并行性。

由于該算法的原理和金屬退火的原理近似，因此將熱力學的理論套用到統(tǒng)計學上，將搜尋空間內(nèi)每一點想象成空氣內(nèi)的分子；分子的能量，就是它本身的動能；而搜尋空間內(nèi)的每一點，也像空氣分子一樣帶有“能量”，以表示該點對命題的合適程度。演算法先以搜尋空間內(nèi)一個任意點作起始：每一步先選擇一個“鄰居”，然后再計算從現(xiàn)有位置到達“鄰居”的概率。

模擬退火與物理退火的相似關系如下：

3.2.3主要步驟

（1）由一個產(chǎn)生函數(shù)從當前解中得出一個位于解空間的新解。為了后續(xù)計算和接受的方便，以及減少算法耗時，通常選擇由當前新解經(jīng)過簡單地變換即可得出新解的方法，如對構(gòu)成新解的全部或部分元素進行置換、互換等。需要注意的是，由于產(chǎn)生新解的變換方法決定了當前新解的鄰域結(jié)構(gòu)，因而對冷卻進度表的選取有一定的影響。

（2）計算與新解所對應的目標函數(shù)差。由于目標函數(shù)差僅由變換部分產(chǎn)生，因此目標函數(shù)差的計算最好按增量計算。事實證明，對大多數(shù)應用而言，這是計算目標函數(shù)差的最快方法。

（3）判斷新解是否被接受。判斷的依據(jù)是一個接受準則，最常用的接受準則是Metropolis準則：若Δt′<0則接受S′作為新的當前解S，否則以概率exp（-Δt′/T）接受S′作為新的當前解S。

（4）當確定接受新解時，用新解代替當前解。這時，只需要將當前解中對應于產(chǎn)生新解時的變換部分予以實現(xiàn)，同時修正目標函數(shù)值即可。如此，當前解就實現(xiàn)了一次迭代，在此基礎上可以進行下一輪試驗；如果新解被判定為舍棄，則在原當前解的基礎上繼續(xù)下一輪試驗。

算法動態(tài)演示圖：

3.2.4適用領域

模擬退火算法的應用很廣泛，它能以較高的效率求解調(diào)度問題（Scheduling Problem）、0-1背包問題（Zero One Knapsack Problem）、圖著色問題（Graph Colouring Problem）、最大截問題（Max Cut Problem），等等。

3.2.5實例分析

（1）單目標投資組合優(yōu)化模型

編碼運行：

在Matlab環(huán)境下編寫程序，設定參數(shù)，代入數(shù)據(jù)，模擬運行100次，得到結(jié)果圖像如下：

根據(jù)馬科維茨的資產(chǎn)組合均值方差理論，選擇圖中標記為X的點所對應的組合，各組合信息如下表：

對于不同的風險偏好者，可以選擇不同的組合：風險喜好者可以選擇具有高風險高收益的后兩種組合，風險中性者可以選擇中間三種組合，風險厭惡者可以選擇前兩種組合。

（2）多目標投資組合優(yōu)化模型

模型求解流程同1，在不同的偏好系數(shù)λ=0.2，0.5，0.8下，得到最優(yōu)投資策略如下表：

相應的期望收益率，方差和目標函數(shù)值如下表：

3.3粒子群算法

3.3.1算法產(chǎn)生的背景

粒子群算法（PSO）源于復雜適應系統(tǒng)（簡稱CAS：Complex Adaptive System）。CAS理論創(chuàng)立于1994年。CAS中的成員稱為主體，例如研究鳥群系統(tǒng)，每個鳥在這個系統(tǒng)中就稱為主體。主體均有適應性，它能夠與環(huán)境及其他的主體進行交流，并且根據(jù)交流的過程“學習”或“積累經(jīng)驗”，以改變自身結(jié)構(gòu)及行為。整個系統(tǒng)的演變或進化包括：（1）新層次的產(chǎn)生（小鳥的出生）；（2）分化和多樣性的出現(xiàn)（鳥群中的鳥分成許多小的群）；（3）新的主題的出現(xiàn)（鳥在尋找食物過程中，不斷發(fā)現(xiàn)新的食物）。

CAS系統(tǒng)中的主體具有四個特點（這些特點是PSO發(fā)展變化的依據(jù)）：

首先，主體是主動的、活動的；其次，主體與環(huán)境及其他主體是相互影響、相互作用的，這種影響是系統(tǒng)發(fā)展變化的主要動力；再次，環(huán)境的影響是宏觀的，主體之間的影響是微觀的，宏觀與微觀要有機結(jié)合；最后，整個系統(tǒng)或許還要受到某些隨機因素的影響。

粒子群算法就是通過對一個CAS系統(tǒng)——鳥群社會系統(tǒng)的研究得出的。該算法最早由Eberhart和Kennedy于1995年提出，它的基本概念源于對鳥群覓食行為的研究。設想這樣一個場景：一群鳥在隨機地尋找食物，在這個區(qū)域里只有一塊食物，所有的鳥都不知道食物的位置，但是它們知道當前的位置離食物還有多遠。那么找到食物的最優(yōu)策略是什么呢？最簡單且有效的策略就是搜尋目前離食物最近的鳥的周圍區(qū)域。

粒子群算法就是受到這種生物種群行為特性的啟發(fā)，并將其應用于求解優(yōu)化問題。在該算法中，每個優(yōu)化問題的潛在解都可以想象成d維搜索空間上的一個點，將其稱為“粒子”，所有的粒子都有一個被目標函數(shù)決定的適應值，每個粒子還有一個速度決定它們飛翔的方向和距離，然后粒子們就追隨當前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索。Reynolds在對鳥群飛行的研究中發(fā)現(xiàn)，鳥僅僅是追蹤它有限數(shù)量的鄰居但最終的整體結(jié)果是整個鳥群好像在一個中心的控制之下，也就是說，復雜的全局行為是由簡單規(guī)則的相互作用引起的。

3.3.2算法思想

粒子群算法就是模擬一群鳥尋找食物的過程，每個鳥就是該算法中的粒子，也就是我們需要求解問題的可能解。這些鳥在尋找食物的過程中不停地改變自己在空中飛行的位置與速度。我們可以觀察一下，在尋找食物的過程中，開始時鳥群比較分散，逐漸地這些鳥就會聚成一群，這個群忽高忽低、忽左忽右，直到最后找到食物。現(xiàn)在，我們將這個過程轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題。尋找函數(shù)y=1-cos（3x）e的在[0，4]最大值。該函數(shù)的圖形如下：

當x∈[0.935，0.945]，達到最大值y=1.3706。為了得到該函數(shù)的最大值，我們在[0，4]之間隨機地放置一些點。為了方便演示，我們放置兩個點，并且計算這兩個點的函數(shù)值，同時給這兩個點設置在[0，4]之間的一個速度。下面這些點就會按照一定的公式更改自己的位置。到達新位置后，計算這兩個點的值。然后再按照一定的公式更新自己的位置，直到最后在y=1.3706這個點停止自己的更新。

這個過程與粒子群算法的對照如下：

（1）這兩個點就是粒子群算法中的粒子。

（2）該函數(shù)的最大值就是鳥群中的食物。

（3）計算兩個點函數(shù)值就是粒子群算法中的適應值，計算用的函數(shù)就是粒子群算法中的適應度函數(shù)。

（4）更新自己位置的一定公式就是粒子群算法中的位置速度更新公式。

現(xiàn)在演示這個算法運行一次的大概過程：

第一次初始化

第一次更新位置

第二次更新位置

第21次更新

最后的結(jié)果（30次迭代）

最后所有的點都集中在最大值的地方。

3.3.3主要步驟

在投資組合理論中，人們都希望找到若干個投資策略的組合方案，以達到收益最大風險最小的目的。如果將這個過程用上述的粒子群方法進行表述就是通過粒子的不斷運動，尋找可以使收益最大風險最小的組合。

每一個粒子都表示一個可能的解，每一個粒子都隨著最優(yōu)解的變化而變化，直到粒子收斂到一個值不再變化為止。

這里需要解決兩個問題：第一，什么是最優(yōu)解，第二，粒子應該如何變化，下面對這兩個問題做出解釋。

（1）什么是最優(yōu)解

人們對投資組合的期望是收益最大且風險最小，但是如何尋找收益與風險的平衡點呢？可能有人認為得到100的收益而承受80的風險是值得的，但是另外的人或許覺得獲得80的收益而承受60的風險才是可以接受的。由于每個人風險偏好的不同，因此最優(yōu)投資組合的解釋就會有所不同，于是引入一個風險偏好變量λ，并定義一個表示投資組合優(yōu)劣性的變量：

p=λ×收益-（1-λ）×風險

這樣一來，對于關注收益而忽視風險的人，只需要將的值設定的大一些；反之，設定的小一些就能夠用p值的大小來表示投資組合的優(yōu)劣性。p值越大表明投資組合越優(yōu)。

（2）粒子如何變化

根據(jù)粒子群算法的原理，需要使得粒子是運動的，即解是不斷變化，從而不斷接近最優(yōu)解的，然而，這里的粒子的變化以什么為依據(jù)，又是以怎樣的方式進行變化的呢？

為了說明上述情況，先假設粒子以速度V運動。隨著粒子的運動，可以求出某個粒子在運動過程中能使p達到最大值的某個位置，將此位置記為pbest，將其稱為局部最優(yōu)。同樣的，在所有的粒子中可以找到使p值最大的那個粒子所對應的位置，將此位置記為gbest，將其稱之為全局最優(yōu)。如此一來，粒子現(xiàn)在所處的位置present就應該向著最優(yōu)位置移動，這里所說的最優(yōu)包括局部最優(yōu)和全局最優(yōu)，當粒子向最優(yōu)位置移動時也許會遇到更優(yōu)的解，從而不斷地更新最優(yōu)解，直到確定最優(yōu)解的位置。于是這樣定義V：

這樣一來，就可以使粒子的位置不斷地產(chǎn)生移動，從而不斷地產(chǎn)生新的全局最優(yōu)和局部最優(yōu)解。經(jīng)過若干次的迭代之后，就能得到一個收斂的全局最優(yōu)解，而這個解所對應的粒子的當前位置就是需要求解的投資組合的解。

（3）非負化和歸一化

從上面的算法中可以看到，粒子群算法是采用一定的選擇策略，利用不完全窮舉法得到的最優(yōu)解，對投資組合來說，這個解還需要滿足下列條件：

①所得到的最優(yōu)解必須各項相加等于1；

②在不允許賣空的情況下，所得到的最優(yōu)解必須非負。

為了做到上述兩點，需要對結(jié)果做歸一化和非負化。歸一化就是把最優(yōu)解的各項元素都除以元素和，這樣得出的結(jié)果就滿足各個元素相加的結(jié)果為1；非負化是通過比較，找出最優(yōu)解各個元素中的最小者，如果這個最小元素為負值，就將各個元素都加上這個最小元素的絕對值，這樣就將最優(yōu)解的各個元素都轉(zhuǎn)化成了正值。需要說明的是，拿到最優(yōu)解后應該先進行非負化然后再歸一化。

經(jīng)過非負化和歸一化之后，就得到了需要的最優(yōu)資產(chǎn)組合的解。

3.3.4流程圖

3.3.5實例分析

我們選取了上述實例的8支股票（浦發(fā)銀行、東風汽車、中國石化、武鋼股份、黃山旅游、中國醫(yī)藥、大龍地產(chǎn)、億利能源）作為我們供組合的資產(chǎn)，分別利用這八支股票2011年9月27日到2011年10月28日的數(shù)據(jù)來計算他們的收益率期望和風險，然后以此為依據(jù)計算未來的投資組合策略。

利用上述數(shù)據(jù)取30個粒子迭代2000次我們可以求得這8支股票的投資組合策略如下：

對于不同的風險偏好，所采用的投資策略就不同，從而投資結(jié)果也不盡相同。從上表中可以看出，隨著風險偏好的增大，組合的收益率在增大，風險也在增大，這是滿足市場定律的。同時用粒子群算法得到的收益率大于平均投資的收益率，風險小于平均投資的風險，所以這個方法算出來的投資策略是可行的。

4.三種算法結(jié)果的比較

使用相同的數(shù)據(jù)分別用三種算法計算出來的結(jié)果如下表。從表中可以看出，遺傳算法過于關注收益，因而導致風險偏大；模擬退火算法和粒子群算法得到的結(jié)果比較接近，收益和風險都控制得比較平穩(wěn)。

參考文獻：

[1]葉中行，林建忠.數(shù)理金融——資產(chǎn)定價與金融決策理論[M].科學出版社，1998.

[2]王春峰.金融市場風險管理[M].天津大學出版社，2001.

[3]張穎，李磊.基于遺傳算法的證券組合選擇[J].哈爾濱理工大學學報，2007，12（5）：69-72.

[4]王雪峰，葉中行.模擬退火算法和PSO算法在股票資產(chǎn)和信用資產(chǎn)最優(yōu)組合中的應用[J].工程數(shù)學學報，2007（1）：31-36.

[5]楊麗萍.基于PSO的證券投資組合優(yōu)化問題研究[J].統(tǒng)計與決策，2009（4）：138-139.

[6]劉曉峰，陳通，張連營.基于粒子群算法的最佳證券投資組合研究[J].系統(tǒng)管理學報，2008（2）：221-224，234.

[7]楊利，李玉娟.基于改進模擬退火法的證券投資組合優(yōu)化[J].消費導刊，2007（7）：36-51.

[8]徐緒松，侯成琪，王頻.求解投資組合模型的遺傳算法.武漢大學學報（理學版），2004（1）：18-34.

[9]Artzner P.，Delbaen F.，Eber J，M.，Heath D.，Coherent Measures of Risk. Mathematical Finance [J].1999，9（3）：203-228.

[10]Eun C.S.，Resnick B.G.， Forward Contracts and International Portfolio Selection.Journal of Finance[J].1998，43（1）：197-215.

[11]Konno H.，Yamazaki H.，Mean Absolute Deviation Portfolio Optimization Model and Its Application to Tokyo Stock Market.Management Science[J].1991，37（5）：519-531.

[12]Pflug G..Some Remarks on the Value-at-risk and the Conditional Value-at-risk. Probabilistic Constrained Optimization ：Methodology and Applications.Kluwer Academic Publishers，Dordrecht. [J].2001：36-45.

[13]Rockafellar R.T.，Uryasev S..Optimization of Conditional Value-at-risk. The Journal of Risk[J].2000，2（3）：21-41.

[14]黃向陽，陳學華，楊輝耀.基于條件風險價值的投資組合優(yōu)化模型[J].西南交通大學學報，2004（4）：46-58.

[15]王明濤.證券投資風險的計量與控制[M].上海財經(jīng)大學出版社，2002.

[16]茲維·博迪.投資學[M].機械工業(yè)出版社，2000.

[17]吳文光，陳秀玲.我國證券投資基金風險管理研究[J].2000[13]（4）：37-59.

[18]姚新頡.基于CVaR風險度量的證券組合投資決策模型研究[J].安徽理工大學學報（自然科學版），[24]（2）：15-26.

[19]曲圣寧，田新時.投資組合風險管理中VaR模型的缺陷以及CVaR模型研究[J].理論新探，2005（05）：19-26.

[20]白先春.非負約束條件下組合證券投資決策的遺傳算法[J].運籌與管理，2001，10（2）：24-39.

[21]殷銘，張興華，戴先中.基于MATLAB的遺傳算法實現(xiàn)[J].電子技術(shù)應用，2000，26（1）：21-37.

[22]Markowitz H.W.Portfolio Selection[J].Journal of Finance，1970：7-77.

[23]Markowitz H.W.Foundations of Portfolio Theory[J].Journal of Finance，1991，46：469-477.

[24]陳科燕，肖冬榮.基于遺傳算法的最優(yōu)證券投資組合模型[J].南京氣象學院學報，2003（5）：23-41.

[25][美]梅利歇爾（Melicher，R.W.），[美]諾頓（Norton，E.A.）.金融學導論——市場、投資于財務管理[M].機械工業(yè)出版社，2009.

[26][美]羅斯.數(shù)理金融初步[M].機械工業(yè)出版社，2004.