數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)問題解決中的重要性

數(shù)學(xué)題的求解過程是一個通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯推導(dǎo)與演算、逐步得出答案的過程，其中包括許多蘊含著不同數(shù)學(xué)思想的解題步驟。在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，教師的一項主要任務(wù)就是對各種數(shù)學(xué)問題中所蘊含的一系列數(shù)學(xué)思想加以提煉并進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)，并將其系統(tǒng)地貫徹到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中。

數(shù)學(xué)問題中所蘊含的數(shù)學(xué)思想因數(shù)學(xué)問題的不同而不同：有的數(shù)學(xué)問題蘊含的數(shù)學(xué)思想比較顯化，解題或教學(xué)中比較容易發(fā)現(xiàn)與運用，問題解決起來也相對容易；而有的數(shù)學(xué)問題蘊含的數(shù)學(xué)思想比較隱性，這時，如果不能理解與掌握其隱含的數(shù)學(xué)思想，就會給數(shù)學(xué)問題的解決造成困難；另一種情形是，一數(shù)學(xué)問題中蘊含各種數(shù)學(xué)思想并以顯性與隱性方式呈現(xiàn)，這樣，解題過程中就出現(xiàn)了有的步驟解起來較為容易、而有的步驟或過程解起來就較為困難，或者因不能很好地掌握其中的數(shù)學(xué)思想而無法解決。

因此，全面地理解、掌握并熟練地運用數(shù)學(xué)問題中蘊含的數(shù)學(xué)思想，是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵；如何將數(shù)學(xué)問題中蘊含的數(shù)學(xué)思想有效地融于數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)問題中的數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵。下面通過一道數(shù)學(xué)題的求解過程，闡釋該數(shù)學(xué)問題中蘊含的數(shù)學(xué)思想以及認(rèn)識、理解、運用這些數(shù)學(xué)思想在解決數(shù)學(xué)問題中的重要性。

一、數(shù)學(xué)問題

已知：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，對任意的x∈R，f（x+2）=-f（x），且[0，1]在區(qū)間（x）=x，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[7，8]范圍的解析式。

二、解題過程

解：當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x，f（x+2）=-f（x）=-x這樣x+2∈[2，3]，令X=x+2，X∈[2，3]代入

f（x+2）=-x=-（x+2）+2，則有f（X）=-X+2，

即x∈[2，3]時，f（x）=-x+2，f（x+2）=-f（x）=x-2。

同樣令X=x+2，x∈[2，3]有X∈[4，5]代入

f（x+2）=x-2=（x+2）-4有f（X）=X-4，

即X∈[4，5]時，

f（x）=x-4，f（x+2）=-f（x）=-x+4=（x+2）+6

如此得x∈[6，7]時，f（x）=-x+6，f（x+2）=-f（x）=x-6

即x∈[8，9]時，f（x）=x-8，……

按這個方法遞推下去，找不到區(qū)間[7，8]內(nèi)函數(shù)的解析式。所以必須考慮f（x）為奇函數(shù)的條件。

在x∈[1，0]時-x∈[0，1]，f（-x）=-x

而f（-x）=-f（x），因而x∈[1，0]時，f（x）=x，

f（x+2）=-f（x）=-x=-（x+2）+2，

令X=x+2，X∈[1，2]代入f（x+2）=-（x+2）+2，則有f（X）=-X+2，即x∈[1，2]時，f（x）=-x+2，

f（x+2）=-f（x）=x-2=（x+2）-4，類似有x∈[3，4]時，f（x）=x-4，f（x+2）=-f（x）=-x+4=-（x+2）+6，

依次推下去，得x∈[7，8]時，f（x）=x-8。

三、探析解題過程中的數(shù)學(xué)思想

本解題過程是從條件“對任意x∈R，

f（x+2）=-f（x）及x∈[0，1]，f（x）=x” 出發(fā)，得到函數(shù)f（x+2）=-（x+2）+2，考慮用變量代換X=x+2依據(jù)的是換元思想，而構(gòu)造出一個在區(qū)間[2，3]內(nèi)的函數(shù)f（x）=-x+2又是構(gòu)造思想的體現(xiàn)，按照這兩個思想繼續(xù)討論x∈[2，3]時f（x+2）=（x+2）-4，又可求出x∈[4，5]時的f（x），如此類推，即可得到[8，9]、[10，11]等區(qū)間的函數(shù)f（x）。這一過程融入了分類思想（分成[0，1]、[2，3]……區(qū)間討論）、歸納思想（即從具體的[0，1]內(nèi)的f（x），尋找到用f（x+2）=-f（x）往下遞推的規(guī)律），又運用等價轉(zhuǎn)化思想將最初的條件[0，1]內(nèi)的f（x）=x。轉(zhuǎn)化為條件[-1，0]內(nèi)f（x）=x，進(jìn)而按照上述的換元、構(gòu)造思想，求得x∈[7，8]的f（x）=x-8。

這里，難點是換元思想到構(gòu)造思想的過渡。從f（x+2）=-（x+2）+2作變量代換X=x+2，如何構(gòu)造區(qū)間[2，3]內(nèi)的函數(shù)f（x）=-x+2？教師要利用數(shù)學(xué)思想講清楚X所處位置的角色實質(zhì)上是自變量，它與f（x）=-x+2中x的角色一致，只是用的字母符號不同。否則，學(xué)生會將X=x+2中的x與f（x）=-x+2中的x視為等同，不理解為什么兩者會不同而深深地陷入糾結(jié)中。前面的換元、構(gòu)造思想清楚后，后面解題過程的理解就容易了，相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想學(xué)生亦能更好地感悟、認(rèn)識，為進(jìn)一步滲透數(shù)學(xué)思想，開啟思維奠定了基礎(chǔ)。

四、求解問題的拓展，數(shù)學(xué)思想的延續(xù)

上述數(shù)學(xué)問題雖然已經(jīng)得以解決，但該題的求解思路仍在影響著學(xué)生，所運用的數(shù)學(xué)思想可以繼續(xù)指導(dǎo)學(xué)生將問題延伸拓展，教師可趁熱打鐵要求學(xué)生對上述數(shù)學(xué)問題的解題過程進(jìn)行梳理，并求出整個實數(shù)范圍如此劃分區(qū)間的函數(shù)解析式。

通過教師的引導(dǎo)、分析，學(xué)生對該題解題過程及各區(qū)間的函數(shù)做進(jìn)一步的梳理，并利用分類思想、化歸思想方法從x∈[-1，1]時，f（x）=x。

x∈[1，3]時，f（x）=-x+2；x∈[3，4]，f（x）=x-4；x∈[5，7]，f（x）=-x+6……

歸納得出f（x）=-x+4n-2 x∈[4n-3，4n-1]x-4n x∈[4n-1，4n+1]

滲透了從特殊到一般的歸納思想。根據(jù)f（x）的公式可以得到各個區(qū)間的函數(shù)，又完成了一般到特殊的數(shù)學(xué)過程。并據(jù)此作圖如下：

從圖像又可得出結(jié)論：y=f（x）在R上的圖像實質(zhì)是由x∈[1，1]上的直線y=x及x∈[1，3]上的直線y=-x+2分別在x軸上平移±4n（n=0，1，2，……）個單位得到的，這一過程又是數(shù)形結(jié)合思想的充分體現(xiàn)。

縱觀整個解題過程，從數(shù)學(xué)問題條件的給出、對區(qū)間的分析、函數(shù)式的產(chǎn)生、圖像的描繪等至始至終又貫穿著函數(shù)思想，它是我們解決該問題的主線。圍繞著這條主線，在解題過程中我們分別運用了換元思想、構(gòu)造思想、等價轉(zhuǎn)換思想、數(shù)形思想、歸納思想等。這些數(shù)學(xué)思想貫穿于該問題解決的始終，并分別出現(xiàn)于不同的解題步驟中。

由本題可見，一數(shù)學(xué)問題可能蘊含多種數(shù)學(xué)思想，如果不能清晰地認(rèn)識、理解并運用多種數(shù)學(xué)思想，就無法解決具體的相對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。要掌握數(shù)學(xué)思想，對數(shù)學(xué)教學(xué)而言，首先，教師在課前從具體的數(shù)學(xué)問題中提煉出可能蘊含的數(shù)學(xué)思想，并對這些思想加以分析、概括和總結(jié)；其次，教學(xué)中將問題蘊含的數(shù)學(xué)思想滲透到教學(xué)的各個環(huán)節(jié)。

五、數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)教學(xué)不是只就具體問題而解決具體問題的，而是在于通過具體問題的分析與講解，將具體問題中蘊含的數(shù)學(xué)思想逐步滲透到教學(xué)過程中，使學(xué)生從具體問題的解決過程中，接受數(shù)學(xué)思想的熏陶，獲得對問題的認(rèn)識、理解，進(jìn)而找到解決問題的方式、方法，并將解決問題的方式、方法轉(zhuǎn)化為自己應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決問題的能力。

1. 數(shù)學(xué)思想融于數(shù)學(xué)問題之中

從上述數(shù)學(xué)問題的解析過程所運用的數(shù)學(xué)思想可以看出，數(shù)學(xué)思想融于數(shù)學(xué)問題之中，或者說，既沒有不包含數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)問題，也沒有游離于數(shù)學(xué)問題之外的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)問題的解決起指導(dǎo)性的作用，數(shù)學(xué)問題因數(shù)學(xué)思想的存在而彰顯神奇的魅力，因此，可以說數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)問題的靈魂。認(rèn)識、理解和掌握數(shù)學(xué)問題中的數(shù)學(xué)思想，是我們認(rèn)識、理解和解決數(shù)學(xué)問題的前提。解決數(shù)學(xué)問題的過程，就是運用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行邏輯推導(dǎo)與運算的過程。全面、正確地認(rèn)識數(shù)學(xué)問題中蘊含的數(shù)學(xué)思想可以幫助我們正確解決數(shù)學(xué)問題，否則，就會曲解或者不能正確地解決給定的數(shù)學(xué)問題。

教學(xué)上，對數(shù)學(xué)思想的掌握程度，是衡量我們對數(shù)學(xué)知識理解與掌握程度的一把標(biāo)尺。在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)當(dāng)始終特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想在解決數(shù)學(xué)問題中的重要性，而不是就解題而解題。題海戰(zhàn)術(shù)、只能使學(xué)習(xí)者厭煩，喪失學(xué)習(xí)的興趣，不能真正掌握解題的技巧；同時使教師疲于批改作業(yè)，而疏于數(shù)學(xué)思想的梳理、提煉和總結(jié)，更談不上在教學(xué)中將具體數(shù)學(xué)問題中的數(shù)學(xué)思想滲透給學(xué)生。

2. 數(shù)學(xué)教學(xué)過程是數(shù)學(xué)思想滲透的過程

數(shù)學(xué)思想融于數(shù)學(xué)問題中，反映出數(shù)學(xué)教學(xué)對數(shù)學(xué)思想的滲透貫穿始終，并通過數(shù)學(xué)思想的滲透來闡釋數(shù)學(xué)問題的內(nèi)涵，揭示數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系及解決數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)方法。脫離了滲透數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)教學(xué)就不能稱為真正意義上的數(shù)學(xué)教學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，在于使學(xué)生真正地掌握認(rèn)識、分析和解決問題的能力，使學(xué)生熟練地掌握數(shù)學(xué)問題中所蘊含的數(shù)學(xué)思想，并能運用數(shù)學(xué)思想解決具體數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)知識向能力轉(zhuǎn)化的過程。怎樣提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想的能力呢？這需要從兩方面入手。第一，教的過程，教師首要任務(wù)是從具體數(shù)學(xué)問題中梳理、提煉和總結(jié)出各種數(shù)學(xué)思想，并將其融會貫通地滲透到教學(xué)的各個環(huán)節(jié)，使學(xué)生真正地理解數(shù)學(xué)問題蘊含的數(shù)學(xué)思想，從而掌握解題的方法和技巧，完成授人以漁而非授人以魚的教學(xué)過程；第二，學(xué)的過程，學(xué)生不僅需要做一定的數(shù)學(xué)題，更重要的是從教師的講解中理解數(shù)學(xué)問題中蘊含的數(shù)學(xué)思想，能夠做到舉一反三。在此，我們強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)既不是為了做題而做題，而忽視數(shù)學(xué)思想的灌輸與學(xué)習(xí)，也不是為了數(shù)學(xué)思想，減少必要的解題訓(xùn)練，數(shù)學(xué)思想的滲透是為解題提供思路、方法，解題的訓(xùn)練是為培養(yǎng)和形成學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想解決問題的能力。在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，在解題中感悟數(shù)學(xué)思想，在理解數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上運用數(shù)學(xué)思想，這種教與學(xué)可以實現(xiàn)知識能力的雙重豐收，形成完整的數(shù)學(xué)思維方式，而不僅僅只是了解了解題的步驟，使對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識停留在表層。

數(shù)學(xué)思想的滲透在教與學(xué)中是相互聯(lián)系，相互促進(jìn)的，教師對數(shù)學(xué)思想提煉、總結(jié)講解得到位，教學(xué)方法應(yīng)用得科學(xué)，能促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想在解題中的運用，并能使學(xué)生通過對教師講解數(shù)學(xué)內(nèi)容的梳理，挖掘出不同數(shù)學(xué)問題蘊含的同一數(shù)學(xué)思想，也可以發(fā)現(xiàn)同一數(shù)學(xué)思想在不同數(shù)學(xué)知識上的運用，從而使學(xué)生學(xué)會尋找數(shù)學(xué)問題中蘊含數(shù)學(xué)思想共性、區(qū)別的方法，并能實現(xiàn)自身對知識的再理解，再認(rèn)識，提升自己對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識，為進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)思想的實質(zhì)奠定基礎(chǔ)。教師對上述題目數(shù)學(xué)思想的滲透使數(shù)學(xué)教學(xué)取得良好的教學(xué)效果，尤其在提煉、總結(jié)上，教師采用了兩步走的方法：第一步，完成區(qū)間范圍內(nèi)求函數(shù)解析式過程蘊含數(shù)學(xué)思想的滲透總結(jié)，該過程主要由教師完成，目的是要學(xué)生明白解題過程蘊含的數(shù)學(xué)思想及這些數(shù)學(xué)思想是怎樣指導(dǎo)我們解決數(shù)學(xué)問題的。第二步，是教師指導(dǎo)學(xué)生完成問題延拓過程后，由學(xué)生來梳理、提煉數(shù)學(xué)思想的過程。前者是指導(dǎo)意義的總結(jié)，它可以幫助學(xué)生整體性地感悟數(shù)學(xué)思想，理解數(shù)學(xué)思想，并能給予學(xué)生如何利用已經(jīng)學(xué)到的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解決數(shù)學(xué)問題的一個啟發(fā)。后者是實踐意義上總結(jié)，是學(xué)生通過自身的解題實踐，挖掘、提煉的精華的思想認(rèn)識。該認(rèn)識可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)思想的精髓，初步形成自己認(rèn)識問題、解決問題的能力。

這種指導(dǎo)性與實踐性有機(jī)結(jié)合地提煉、總結(jié)數(shù)學(xué)思想的方法，不僅能使學(xué)生充分理解、掌握解題的方法步驟，而且可以有效地滲透數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生解決問題的能力。

3. 數(shù)學(xué)思想通過數(shù)學(xué)問題的解決對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生積極的作用

數(shù)學(xué)問題解決過程中數(shù)學(xué)思想的滲透對學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)具有重要的作用，主要表現(xiàn)在：（1）利于學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。數(shù)學(xué)問題解決過程中數(shù)學(xué)思想的滲透豐富了學(xué)生感知、理解、推理的認(rèn)識過程，使學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的表象認(rèn)識，上升到更深層次的理性認(rèn)識，從而掌握解決數(shù)學(xué)問題的方法。在此過程中數(shù)學(xué)思想的注入使得學(xué)生意識中的數(shù)學(xué)概念逐步明晰化，理解認(rèn)識逐步深刻，并能使學(xué)生對自己儲存的知識進(jìn)行提煉、重組形成新的知識結(jié)構(gòu)，因而可以更好地順應(yīng)和同化新舊知識，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。（2）利于學(xué)生縝密思維方式的形成。數(shù)學(xué)思想在解決數(shù)學(xué)問題的過程中逐漸被理解、掌握，又指導(dǎo)應(yīng)用于數(shù)學(xué)問題的解決。學(xué)生通過教師數(shù)學(xué)問題解決過程的數(shù)學(xué)思想的滲透，不僅逐步理解了數(shù)學(xué)思想，而且逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)思想去分析、判斷、解決數(shù)學(xué)問題，其考慮問題的角度、方法會更全面，解題的思路更具邏輯性，思維方式會更縝密。（3）激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。嘗試新事物和探索未知領(lǐng)域是人類的本能。嘗試運用不同數(shù)學(xué)思想來解決同一數(shù)學(xué)問題，或者運用同一數(shù)學(xué)思想解決不同數(shù)學(xué)問題，在很大程度上能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的欲望和興趣，并能增強(qiáng)學(xué)生分析問題解決問題的能力。教師通過本題區(qū)間[7，8]函數(shù)解析式求解過程中蘊含數(shù)學(xué)思想的滲透，可對學(xué)生產(chǎn)生潛移默化的影響，激活學(xué)生大腦潛在的數(shù)學(xué)意識，引發(fā)學(xué)生探求“能不能求出整個實數(shù)范圍如此劃分區(qū)間內(nèi)的函數(shù)”問題的欲望。在探求該問題過程中，學(xué)生又會有新的發(fā)現(xiàn)、新的思考，如能否“一般求出的數(shù)學(xué)解析式？”這就會促進(jìn)學(xué)生對問題的遞進(jìn)思考，延續(xù)學(xué)生的思維活動，并最終利用數(shù)學(xué)思想完成一般數(shù)學(xué)解析式的求解。

由此可見，作為解決數(shù)學(xué)問題的一把鑰匙，數(shù)學(xué)思想貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)與實際應(yīng)用的始終。應(yīng)當(dāng)說，數(shù)學(xué)思想來自于數(shù)學(xué)問題解析中，也必然應(yīng)用于數(shù)學(xué)問題的解析中，用于指導(dǎo)數(shù)學(xué)問題的解決。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的一項主要任務(wù)就是將數(shù)學(xué)問題中蘊含的數(shù)學(xué)思想滲透到教學(xué)實踐中。

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