應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)參數(shù)范圍

王學(xué)成

作為高中數(shù)學(xué)函數(shù)模塊補(bǔ)充和延伸的導(dǎo)數(shù)，不僅豐富了很多初等函數(shù)的解題方法與途徑，而且從更高力度上加深了學(xué)生對函數(shù)知識的認(rèn)知.利用導(dǎo)數(shù)去處理的函數(shù)類問題是高考題中的熱點(diǎn)問題，能夠全面地考查學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)知程度與應(yīng)用知識的能力，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)討論一些函數(shù)中參數(shù)的取值范圍是這類問題中的一種典型問題.本文結(jié)合一些例題來討論這類問題的求解方法與一般規(guī)律.

一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性結(jié)合確定參數(shù)范圍

例1設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實(shí)數(shù).（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；（2）若g（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)個數(shù)，并證明你的結(jié)論.

解析（1）由f ′（x）=1x-a≤0，即1x≤a對x∈（1，+∞）恒成立，所以a≥|1x|max.

而由x∈（1，+∞）知1x<1，所以a≥1.

由g′（x）=ex-a，令g′（g）=0，則x=lna.

當(dāng)xlna時，g′（x）>0.

因?yàn)間（x）在（1，+∞）上有最小值，

所以lna>1，所以a>e.

綜上所述：a的取值范圍為（e，+∞）.

（2）當(dāng)a≤0時，g（x）必為單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)a>0時，令g′（x）=ex-a>0，解得alna.

因?yàn)間（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，類似（1）有l(wèi)na≤-1，即0

結(jié)合上述兩種情況，有a≤e-1.

點(diǎn)評先對f（x）=lnx-ax求導(dǎo)，利用條件f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)求出a的范圍，再利用g（x）在（1，+∞）上有最小值求出a的范圍，兩者取交集.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)法則的掌握是解題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)單調(diào)性討論是解題的關(guān)鍵，函數(shù)方程與不等式間的相互轉(zhuǎn)化是解題的技巧.

例2已知函數(shù)f（x）=ex-2x+a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是.

解析f ′（x）=ex-2.令f ′（x）=0，解得x=ln2.

當(dāng)x∈（-∞，ln2）時，f ′（x）<0，

當(dāng)x∈（ln2，+∞）時f ′（x）>0.

所以函數(shù)f（x）在x=ln2處取得極小值，

所以f（x）min=f（ln2）=2-2ln2+a，

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=3x-2x+a有零點(diǎn)，

所以2-2ln2+a≤0，即a≤2ln2-2.

所以a的取值范圍是（-∞，2ln2-2].

點(diǎn)評先求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0可解除其極值，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)其有最小值，而函數(shù)又有零點(diǎn)，零點(diǎn)時令f（x）=0的方程的解，亦可看做函數(shù)圖象x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，此時不難發(fā)現(xiàn)其函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，只需令最小值位于x軸上或其下方即可.此題同例1一樣，要把握住關(guān)鍵點(diǎn)，掌握相應(yīng)解題技巧.也可用下述方法解決此類問題.

二、導(dǎo)數(shù)與圖象結(jié)合求解參數(shù)范圍

例2已知函數(shù)f（x）=-x2+2x，x≤0，

ln（x+1），x>0，若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是

A.（-∞，0]B.（-∞，1]C.[-2，1]D.[-2，0]

解析選D.畫出函數(shù)y=|f（x）|的圖象如圖1所示.

當(dāng)x≤0時，g（x）=|f（x）|=x2-2x，

g′（x）=2x-2，g′（0）=-2，故a≥-2.

當(dāng)x>0時，

g（x）=|f（x）|=ln（x+1），

g′（x）=1x+1.

由于g（x）上任意點(diǎn)的切線斜率都要大于a，所以a≤0.

綜上-2≤a≤0.

點(diǎn)評先結(jié)合函數(shù)畫出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，利用y=|f（x）|在（0，0）處的切線為制定參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn).根據(jù)函數(shù)畫出函數(shù)圖象是解題的基礎(chǔ)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)圖象上各點(diǎn)切線的斜率是解題的關(guān)鍵，通過對圖象特征分析找到解題的突破口.

三、構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍

例3設(shè)函數(shù)f（x）=exx2-k（2x+lnx） （其中k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)k≤0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個極值點(diǎn)，求k的取值范圍.

解析（1）f ′（x）=ex·x2-2xexx4-k（-2x2+1x）

=（x-2）（ex-kx）x3 （x>0）.

當(dāng)k≤0時，kx≤0，所以ex-kx>0.

令f ′（0）=0，得x=2.函數(shù)在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）令g（x）=ex-kx，則g′（x）=ex-k.

令ex-k=0，得x=lnk.

由于g′（0）=1-k<0，g（0）=1>0，g′（2）=e2-k>0，g（2）=e2-2k>0，所以k1，所以k>e.綜上知k的取值范圍是（e，e22）.

點(diǎn)評先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，極值點(diǎn)的定義及題意得出函數(shù)的單調(diào)性.觀察導(dǎo)函數(shù)式子的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究極值，從而確定函數(shù)參數(shù)范圍.由熟練的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性是解題的基礎(chǔ)，構(gòu)造出函數(shù)找到討論的途徑是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用零點(diǎn)定理就能找到解題的突破口.

四、參變分離求解參數(shù)范圍

例4已知函數(shù)f（x）=x-ax-lnx，a>0.若f（x）>x-x2在[1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析f（x）>x-x2，即x2-ax-lnx>0.

因?yàn)閤∈（1，+∞），所以a

令g（x）=x3-xlnx，

則h（x）=g′（x）=3x2-lnx-1.

h′（x）=6x-1x=6x2-1x.

在[1，+∞）上，h′（x）>0，得h（x）>h（1）=2，

即g′（x）>0.

故g（x）=x3-xlnx在[1，+∞）為增函數(shù)，

g（x）≥g（1）=1，所以a的取值范圍是（0，1].

點(diǎn)評該題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，但是參變分離后對右式要進(jìn)行二次求導(dǎo)，又考查了學(xué)生的邏輯思維能力，綜合性較高，要具備良好的數(shù)學(xué)素質(zhì).但是把握住參變分離這個大框架，就確定了問題的解題方向，借助導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識逐步解決問題.