時(shí)滯對(duì)振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)控制效果的影響分析

張偉中 張 斌 伍曉紅 孫 清

1.浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，杭州，310053 2.河南省電力勘測(cè)設(shè)計(jì)院，鄭州，450007 3.西安交通大學(xué)，西安，710049

0 引言

時(shí)滯系統(tǒng)普遍存在于自然和工程實(shí)際中，從自然界到人類社會(huì)，從自然科學(xué)、工程技術(shù)到社會(huì)科學(xué)，時(shí)滯現(xiàn)象無處不在［1-12］。在精密儀表、數(shù)控機(jī)床等自動(dòng)化產(chǎn)品結(jié)構(gòu)涉及的振動(dòng)主動(dòng)控制領(lǐng)域也不可避免地存在著時(shí)滯現(xiàn)象，傳感器信號(hào)的采集和傳輸、控制器的計(jì)算、作動(dòng)器的作動(dòng)過程等，都會(huì)導(dǎo)致作用于結(jié)構(gòu)的控制力產(chǎn)生時(shí)滯［13-14］。時(shí)滯的存在使受控系統(tǒng)成為無限維系統(tǒng)，增加了其動(dòng)力特性的復(fù)雜性，而且時(shí)滯反饋系統(tǒng)具有超越特征方程和無限多特征值，給系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析增加了難度，因此數(shù)值方法成為了分析時(shí)滯控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的有力工具。精細(xì)積分方法是為解決結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)計(jì)算而提出的，該算法簡單且計(jì)算精度很高，近年來在計(jì)算動(dòng)力學(xué)問題、最優(yōu)控制問題以及偏微分方程中得到應(yīng)用［15-16］。但是對(duì)于時(shí)滯受控系統(tǒng)，當(dāng)控制力與系統(tǒng)的位移和速度相關(guān)時(shí)，需要對(duì)荷載向量逐步進(jìn)行賦值，故應(yīng)用精細(xì)積分方法時(shí)須先對(duì)其進(jìn)行修正。本文對(duì)精細(xì)積分方法進(jìn)行改進(jìn)，計(jì)算含時(shí)滯受控系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，得到了在不同時(shí)滯量下系統(tǒng)的響應(yīng)。

1 含時(shí)滯振動(dòng)控制系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

含雙時(shí)滯受控系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下：

2 時(shí)滯受控系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的精細(xì)積分方法

首先進(jìn)行變量代換，引入一對(duì)對(duì)偶變量，令

則式（1）可以表示為

令

則式（5）為非齊次微分方程，先求解其齊次解，齊次方程形式如下：

設(shè)時(shí)間步長為τ，則

令v0＝v（0），v1＝v（τ），v2＝v（2τ），…，vk＝v（k τ），則

下面求T，有

令Δt＝τ／N，當(dāng)取N＝2n很大時(shí)，Δt很小，采用泰勒級(jí)數(shù)展開：

從而

由于Ta的元素值相對(duì)于單位矩陣I非常小，為減小計(jì)算機(jī)的舍入誤差，編程時(shí)單位矩陣I不參與累加及乘法運(yùn)算，而是通過對(duì)Ta＝2Ta＋T2a進(jìn)行n次循環(huán)計(jì)算得到Ta，當(dāng)循環(huán)結(jié)束時(shí)，有

得到了齊次方程的解后，下面求解式（5），設(shè)非齊次項(xiàng)在時(shí)間步長（tk，tk＋1）內(nèi)為線性變化，則式（5）可寫為

其中，P0＝ P（tk），P1＝ （P（tk＋1）-P（tk））／τ。式（5）的解可表示為

將t＝tk＋1代入式（14），由于exp（H（tk＋1-tk））＝exp（Hτ）＝T，因此有

在文獻(xiàn)［16］的算例中，每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的荷載向量P0和P1都是已知的，在程序的初始可以提前賦值，但對(duì)本文求解的含有時(shí)滯的振動(dòng)控制方程，由于控制力gpx（t-τ1）和gdx·（t-τ2）與該時(shí)間點(diǎn)τ1之前的位移以及τ2之前的速度有關(guān)，而系統(tǒng)的位移和速度是待求解的，無法提前預(yù)知，故荷載向量無法在程序初始時(shí)賦值，因此，P0和P1的求解成為解決問題的關(guān)鍵。

選取合適的時(shí)間步長τ，令τ與時(shí)滯量τ1和τ2滿足下述關(guān)系：

式中，l、p均為正整數(shù)。

設(shè)l＜p，對(duì)第k個(gè)時(shí)間步長的荷載向量進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)k＜l-1時(shí)，有

對(duì) k ＝ l-1， 設(shè) vk＝ ［q（tk）p（tk）］T＝［qkpk］T，則有

對(duì)l≤k＜p-1，有

對(duì)k＝p-1，有

對(duì)k≥p，有

其中，qk-l、pk-p、qk-p等在第k步計(jì)算時(shí)已經(jīng)為已知，此時(shí)可以逐步對(duì)P0和P1賦值，再根據(jù)式（15）求出每一步的響應(yīng)。對(duì)于l≥p的情況，過程類似，此處不再贅述。

3 算例結(jié)果及分析

選取Elcentro波，峰值加速度a為200cm／s2，波形如圖1所示。取系統(tǒng)參數(shù)為：m＝1kg，c＝3 N·s／m，K ＝500N／m，初始條件為x（0）＝0，（0）＝0，則動(dòng)力方程表達(dá)為

圖1 Elcentro波

采用前述精細(xì)積分方法，取時(shí)間步長為0.01s，當(dāng)系統(tǒng)沒有控制時(shí)，時(shí)程響應(yīng)曲線如圖2所示。

圖2 無控制時(shí)系統(tǒng)時(shí)程響應(yīng)

圖3 取gp＝－0.020 000N／m，gd＝－2.388 877N·s／m時(shí)系統(tǒng)時(shí)程響應(yīng)

圖4 取gp＝－0.199 960N／m，gd＝－11.470 657N·s／m時(shí)系統(tǒng)時(shí)程響應(yīng)

從圖3～圖5可以看出，隨著控制增益gp和gd取值的增大，系統(tǒng)的響應(yīng)趨于減小，則控制效果越來越好。

圖5 取gp＝－1.996 016N／m，gd＝－41.866 380N·s／m時(shí)系統(tǒng)時(shí)程響應(yīng)

以上是不考慮時(shí)滯的情況，但是在工程實(shí)際中，時(shí)滯是不可避免的，下面采用精細(xì)積分算法分別計(jì)算不同時(shí)滯情況下的系統(tǒng)響應(yīng)，并將每種時(shí)滯組合下系統(tǒng)響應(yīng)的最大值即系統(tǒng)響應(yīng)峰值與相應(yīng)的時(shí)滯組合繪制分布圖。

（1）當(dāng) gp＝ -0.02N／m，gd＝ -2.388 877 N·s／m時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)峰值位移量S分布如圖6所示。

圖6 系統(tǒng)響應(yīng)峰值位移量S分布圖

（2）當(dāng) gp＝ -0.199 960N／m，gd＝-11.470 657N·s／m 時(shí)，時(shí)間響應(yīng)分別為0～0.3s和0～0.06s時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)峰值位移量S分布如圖7所示。

圖7 系統(tǒng)響應(yīng)峰值位移量S分布圖

（3）當(dāng) gp＝ -1.996 016N／m，gd＝-41.866 380N·s／m時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)峰值位移量S分布如圖8所示。

圖8 系統(tǒng)響應(yīng)峰值位移量S分布圖

從圖6、圖7a和圖8a可以看出，系統(tǒng)的峰值分布主要隨τ2發(fā)生變化，這是由于在三組最優(yōu)控制中，gd都明顯大于gp，因此與gd相關(guān)的時(shí)滯量τ2就對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)起了決定性的作用。盡管系統(tǒng)響應(yīng)峰值隨τ2增大上升之后又有回落，但是此時(shí)已經(jīng)失去了控制效果，在圖6中回落的最低點(diǎn)峰值S＝0.006 763 3m（τ1＝0.19s，τ2＝0.25s），與系統(tǒng)無控的響應(yīng)峰值位移量S＝0.007 329m相比，控制效果并不明顯。為此文中對(duì)時(shí)滯影響的討論主要集中在響應(yīng)峰值隨時(shí)滯變化的上升階段。

因圖7a和圖8a中的峰值過大，為清楚描述峰值隨時(shí)滯變化的上升過程，將時(shí)滯的變化范圍縮小到0.06s和0.03s以內(nèi)，分別得到圖7b和圖8b。

比較圖6、圖7b和圖8b可以看出，對(duì)于固定的控制增益，在變化的初期隨著時(shí)滯的增大，系統(tǒng)的響應(yīng)峰值也增大。當(dāng)時(shí)滯較小時(shí)，選擇較大的控制增益可以獲得較好的控制效果。

在圖6中，當(dāng)τ1＝0.01s，τ2＝0.01s時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)的峰值位移量S＝0.005 83m，而圖7b中，當(dāng)τ1＝0.01s，τ2＝0.01s時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)峰值S＝0.003 388m，同無時(shí)滯情況下的兩種增益取值下的峰值對(duì)比趨于一致。但是同時(shí)，隨著時(shí)滯的增大，較大的控制增益會(huì)使系統(tǒng)更快地失去穩(wěn)定，如圖8a，當(dāng)τ1＝0.01s，τ2＝0.04s時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)的峰值已經(jīng)達(dá)到了1 741 100m，發(fā)散速度很快，而在圖6中，當(dāng)τ1＝0.01s，τ2＝0.04s時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)的峰值位移量S僅為0.006 227m，仍具有一定的控制效果。

4 結(jié)論

（1）最優(yōu)控制方法對(duì)于無時(shí)滯系統(tǒng)可以獲得很好的控制效果，但對(duì)考慮時(shí)滯情況的受控系統(tǒng)則有一定的局限性，如果減小控制增益的加權(quán)矩陣R，得到的最優(yōu)控制增益將增大，理論的控制效果也更好。

（2）時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)控制效果的影響程度與反饋增益有關(guān)，隨著增益的增大而增大，并且時(shí)滯的增大會(huì)導(dǎo)致控制增益較大情況下系統(tǒng)響應(yīng)很快發(fā)散；同時(shí)，較大的控制增益會(huì)使系統(tǒng)更快地失去穩(wěn)定；為此應(yīng)適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié)時(shí)滯量和反饋控制增益，使它們相匹配，這樣可以使系統(tǒng)保持穩(wěn)定狀態(tài)。因此應(yīng)根據(jù)控制過程中的時(shí)滯量選擇合理的控制增益，以獲得更好的控制效果。

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