有限或無(wú)限區(qū)間連續(xù)生成元的一維反射倒向隨機(jī)微分方程的懲罰方法

石學(xué)軍，穆靜靜，楊 叢

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，中國(guó) 徐州 221116)

考慮下面的反射倒向隨機(jī)微分方程(簡(jiǎn)記為RBSDE)：

(1)

所對(duì)應(yīng)的障礙問(wèn)題.文獻(xiàn)[1]在生成元g滿足Lipschitz條件下得到了方程的適應(yīng)解，并說(shuō)明了此類(lèi)方程的解與最優(yōu)停時(shí)問(wèn)題的值函數(shù)及偏微分方程障礙問(wèn)題的聯(lián)系.隨后，文獻(xiàn)[2]運(yùn)用該理論解決了金融市場(chǎng)上的美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.由于RBSDE在經(jīng)濟(jì)金融、隨機(jī)控制等領(lǐng)域的重要應(yīng)用，它的基本理論及與之相關(guān)問(wèn)題也引起了眾多學(xué)者的關(guān)注.特別地，人們?cè)跍p弱關(guān)于生成元g滿足Lipschitz連續(xù)條件的存在唯一性及比較定理方面做了很多工作.例如，Matoussi[3]在生成元g關(guān)于(y,z)連續(xù)、線性增長(zhǎng)且g(t,0,0)有界的條件下，證明了極大和極小解的存在性.文獻(xiàn)[4]證明了g關(guān)于y連續(xù)、超線性增長(zhǎng)，且關(guān)于z連續(xù)、平方增長(zhǎng)的條件下得到了解的存在性.Xu[5]在生成元g關(guān)于y滿足單調(diào)條件、具有一般增長(zhǎng)性，且關(guān)于z滿足Lipschitz連續(xù)的條件下得到了解的存在唯一性.文獻(xiàn)[6]在生成元g關(guān)于(y,z)廣義Lipschitz的條件下，給出了無(wú)窮區(qū)間的RBSDE存在唯一解的結(jié)果.最近，F(xiàn)an[7]研究了無(wú)窮區(qū)間的無(wú)障礙BSDE，又在一類(lèi)更弱的條件下獲得了解的存在唯一性及比較定理等相關(guān)結(jié)果.其他研究成果請(qǐng)見(jiàn)文獻(xiàn)[8～15].那么，在RBSDE理論中是否也有類(lèi)似的結(jié)論呢？

本文通過(guò)BSDE構(gòu)造懲罰方程列，把BSDE的解不斷推向障礙之上而得到相應(yīng)的RBSDE的解的辦法，得到了生成元廣義線性增長(zhǎng)且關(guān)于(y,z)連續(xù)的RBSDE解的存在性.其次，在此基礎(chǔ)上證明了RBSDE解的比較定理；進(jìn)一步，可將解的唯一性作為其推論.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)(Ω,F,P)為一概念空間，T是一個(gè)取值有限或無(wú)限的廣義實(shí)值常數(shù).(Bt)t≥0是此空間上的d維標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)，(Ft)t≥0是該Brown運(yùn)動(dòng)生成的完備σ域流：

Ft

其中，N是所得P-可略集全體.

RBSDE的生成元g是一個(gè)定義在[0，T]×Ω×R×Rd上的實(shí)值函數(shù)，并且對(duì)任意給定的y,z∈R×Rd,(g(t,ω,y,z))0≤t≤T是一個(gè)Ft-循序可測(cè)過(guò)程；下障礙(Lt)t∈[0,T]是一個(gè)連續(xù)的Ft-適應(yīng)過(guò)程.如果存在Ft-適應(yīng)過(guò)程形成的三元組(Yt,Zt,Kt)t∈[0,T],其中(Yt,Kt)t∈[0,T]連續(xù)且(Kt)t∈[0,T]是初值為0的增過(guò)程，使得RBSDE(1)成立，則稱(chēng)此三元組(Yt,Zt,Kt)t∈[0,T]為RBSDE(1)的一個(gè)解.

在本文中，我們只討論如下意義的具有平方可積特征的解.為此引入如下記號(hào)：

L2(Ω,FT,P){ξ是FT可測(cè)的實(shí)值隨機(jī)變量：E()<+∞};

H2{(φt)t∈[0,T]是Rn值循序可測(cè)過(guò)程：

P2{(φt)t∈[0,T]是Rn值連續(xù)，循序可測(cè)過(guò)程：

定義1(RBSDE的L2-解) 我們稱(chēng)適應(yīng)過(guò)程構(gòu)成的三元組(Yt,Zt,Kt)t∈[0,T]為關(guān)于終端變量ξ,終端時(shí)刻T，生成元g和下障礙L的RBSDE(ξ,T,g,L)的一個(gè)L2-解，若它是此方程的解，且滿足(Yt,Zt)t∈[0,T]屬于空間P2×H2;KT∈L2(Ω,FT,P).

文獻(xiàn)[6]在下述的(A1)～(A2)條件下，得到了無(wú)窮區(qū)間RBSDE的存在唯一性結(jié)果.

(A1)生成元關(guān)于(y,z)滿足廣義Lipschitz條件，即dP×dt-a.e.,

?y1,y2,z1,z2,|g(t,ω,y1,z1)-g(t,ω,y2,z2)|≤u(t)|y1-y2|+v(t)|z1-z2|.

進(jìn)而，如果BSDE的生成元g滿足如下2個(gè)假設(shè)：

(H1)生成元g關(guān)于(y,z)廣義線性增長(zhǎng)，即

dP×dt-a.e.,?y,z,|g(t,ω,y,z)|≤ft(ω)+u(t)|y|+v(t)|z|.

(H2)生成元g關(guān)于(y,z)連續(xù)，即dP×dt-a.e.,g(t,ω,·,·):R×Rd→R為一個(gè)連續(xù)函數(shù).

注2這是文獻(xiàn)[9]結(jié)果的無(wú)窮時(shí)間區(qū)間的版本，其證明與有限時(shí)間區(qū)間相仿.

進(jìn)一步，記H{φ(t)|φ(·):R+→R+為確定性非減函數(shù)且φ(0)=0},若生成元g滿足如下條件：

則在BSDE中，亦會(huì)有比較定理成立；從而結(jié)合前面的存在性條件易知這樣的BSDE存在唯一解.

本文的主要結(jié)果就是在生成元滿足(H1)～(H2)，(H3)～(H4)的條件下，分別得到了RBSDE的解的存在性、比較定理和唯一性定理.

2 主要結(jié)果

2.1 存在性

(2)

的一個(gè)極小L2-解，并定義

(3)

取α(s)=2u(s)+2v2(s),對(duì)(3)式兩邊取期望，則

(4)

對(duì)(3)式兩邊分別取sup和期望運(yùn)算，令C為一變動(dòng)常數(shù)(下文亦然)并用Davis-Burkholder-Gundy不等式，可知

(5)

(6)

結(jié)合式(4)～(6)可得

(7)

則由(4)，(5)，(7)式可得

(8)

由于

(9)

結(jié)合(7)～(9)可得?n∈N*,

則引理2得證.

令τ是一個(gè)滿足0≤τ≤T的停時(shí)，那么

通過(guò)分部積分公式和Lebesgue控制收斂定理，易得

由于生成元滿足假設(shè)(H1),我們可得

且

(10)

注意到隨機(jī)積分部分為一致可積鞅，因此

(11)

由引理2和3可知，(11)式右邊第2，3項(xiàng)收斂到0.對(duì)于第1項(xiàng)，由于生成元g滿足(H1)，由H?lder不等式，引理2，可得

再由基本不等式2yz≤εy2+1/εz2(ε>0取值待定)，并結(jié)合Davis-Burkholder-Gundy不等式可知

對(duì)方程(2)兩邊取極限，則可知(Yt，Zt，Kt)t∈[0,T]是方程RBSDE的解.

2.2 比較定理與唯一性

按文獻(xiàn)[7]證明BSDE解的比較定理的辦法，可以得到如下RBSDE的比較定理.

注3對(duì)生成元假設(shè)條件(H3)中的函數(shù)ρ(·)的凹性假設(shè)可去掉.

通過(guò)前述結(jié)果并驗(yàn)證生成元g的條件，可以得到如下結(jié)果.

從定理1的證明可知

另外，由無(wú)障礙BSDE的極小解比較定理(引理1)可知

參考文獻(xiàn)：

[1] KAROUI N, KAPOUDJIAN C, PARDOUX E,etal. Reflected solutions of backward SDE’s and related obstacle problems for PDE’s[J]. Ann Probab, 1997,25(2):702-737.

[2] KAROUI N, PARDOUX E, QUENEZ M. Reflected backward SDE’s and American options[C]//ROGERS L C G, TALAY D. Numerical method in finance[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1997:215-231.

[3] MATOUSSI A. Reflected solutions of backward stochastic differential equations with continuous coefficient[J]. Statist Probab Lett, 1997,34(4):347-354.

[4] KOBYLANSKI M, LEPELTIER J P, QUENEZ M C,etal. Reflected BSDE with superlinear quadratic coefficient[J]. Probab Math Statist, 2002,22(1):51-83.

[5] XU M Y. Backward stochastic differential equations with reflection and weak assumptions on the coefficients[J]. Stoch Proc Appl, 2008,118(6):968-980.

[6] HAMADENEN S, LEPELTIER J P, WU Z. Innite horizon reflected backward stochastic dirential equations and apllications in mixed control and game problems[J]. Probab Math Statist, 1999,19(2):211-234.

[7] FAN S, JIANG L, TIAN D J. One-dimensional BSDEs with nite and innite time horizons[J]. Stoch Proc Appl, 2011,121(3):427-440.

[8] CHEN Z, WANG B. Innite time interval BSDEs and the convergence ofg-martingale[J].J Austral Math Soc, 2000,69(2):187-211.

[9] LIU J, REN J. Comparison theorem for solutions of backward stochastic dierential equations with continuous coefficient[J]. Statist Probab Lett, 2002,56(1):93-100.

[10] KOBYLANSKI M. Backward stochastic dierential equations and partial dierential equations with quadratic growth[J]. Ann Probab, 2000,28(2):558-602.

[11] BRIAND P, COQUET F, HU Y,etal. A converse comparison theorem for BSDE and related properties ofg-expectation[J]. Electron Comm Probab, 2000,5:101-117.

[12] BENDER C, KOHLMANN M. BSDEs with stochastic Lipschitz condition[EB/OL]. 2000, http://cofe.uni-konstanz.de/Papers/dp00-08.pdf.

[13] Lü W. Reflected BSDE with stochastic Lipschitz coefficient[EB/OL]. 2009, arXiv: 0912.2162v3 [math. PR].

[14] HAMADENE S, LEPELTIER J P, MATOUSSI A. Double barrier reflected backward SDE’s with continuous coefficient[EB/OL]. 1997, http://perso.univ-lemans.fr/～amatou/HLMBSDE-97.pdf.

[15] CHEN S.Lpsolutions of one-dimensional backward stochastic dierential equations with continuous coefficients[J]. Stoch Anal Appl, 2010,28(5):820-841.