E-稠密半群上的最小群同余

楊 燕

（商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系，陜西商洛 726000）

設(shè)S是半群，用E(S)表示S的冪等元集合,Reg(S)表示S的正則元集合。稱S為E-反演半群，如果S中的每一個元素a，存在x∈S，使得ax∈E(S)。半群S稱為E-半群，如果E(S)形成S的一個子半群。近年來人們對E-反演E-半群，即冪等元形成子半群的E-反演半群的研究非常熱衷，Weipoltshammer[1-2]研究了E-反演E-半群的一些基本性質(zhì)和其上的幾類特殊同余；Srinivas[3]給出了E-反演E-半群的若干等價刻畫；Siripitukdet等[4-5]對E-反演E-半群的最大冪等元分離同余和帶同余進(jìn)行了研究。半群S稱為E-稠密半群[6]，如果S是E-反演半群且冪等元相乘可交換。事實上，在E-稠密半群S中E(S)是半格。在文獻(xiàn)[7]中已經(jīng)研究了E-稠密半群的局部化，證明了E-稠密半群的局部化同構(gòu)于其最大群同態(tài)象，本文主要利用E-稠密半群局部化的結(jié)論，給出了E-稠密半群上的最小群同余的一個表示及若干等價刻畫，從而極大地豐富了E-稠密半群上的最小群同余的刻畫，在對強(qiáng)π-逆半群[8]和逆半群[9]上一些結(jié)果進(jìn)行推廣的同時，也獲得了強(qiáng)π-逆半群和逆半群上最小群同余的一些新的結(jié)論。文中未加以定義的概念和記號，見文獻(xiàn)[9-10]。

設(shè)S是半群，對任意a∈S，若存在x∈S，使得x=xax，則稱x是a的弱逆元，簡稱弱逆。用W(a)表示a的所有弱逆的集合，即W(a)={x∈S|x=xax}。由文獻(xiàn)[11]知，半群S是E-反演半群當(dāng)且僅當(dāng)S中的每個元素至少有一個弱逆元，即對任意的a∈S，W(a)≠?。

半群S上的同余σ稱為S上的最小群同余，如果S/σ是群，且對于S的任意群同余ρ，有σ?ρ。這時，S/σ 是 S 的最大群同態(tài)象[8]；反之，如果S′是S的最大群同態(tài)象，則同態(tài)核就是S的最小群同余。

1 引理

引理1[2]設(shè)S是E-半群，則

i）對任意 a∈S，a′∈W(a)，e，f∈E(S),有 ea′,a′f,ea′f∈W(a);

ii）對任意 a∈S，a′∈W(a)，e∈E(S)，有a′ea,aea′∈E(S);

iii）對任意 e∈E(S)，有 W(e)?E(S);

iv）對任意 e,f∈E(S)，有 W(ef)=W(fe)。

引理2[7]設(shè)S是E-稠密半群，則S在冪等元半格E(S)上的局部化S[E(S)-1]是S的最大群同態(tài)象。

注：S[E(S)-1]=(S×E(S))/～=｛a/e|a/e 表示（a，e）所在的等價類，其中取定 e∈E(S)，?a∈S｝。

2 定理及其證明

定理1 設(shè)S是E-稠密半群，E(S)為S的冪等元半格，則二元關(guān)系

σ={(a，b)∈S×S|(?f∈E(S))af=bf}是S上的最小群同余。

定理1的證明 由引理2的注知S[E(S)-1]關(guān)于同態(tài) λ：S→S[E(S)-1]，a|→a/e 是 E-稠密半群 S的最大群同態(tài)象，則λ的核就是S的最小群同余，λ的核為

所以 σ={(a，b)∈S×S|(?f∈E(S))af=bf}是 S 上的最小群同余。

定理2給出了E-稠密半群S上的最小群同余的10條等價刻畫。

定理2 設(shè)S是E-稠密半群，σ是S上的最小群同余(σ的定義見定理1)，則對任意的a，b∈S，下列各款等價

1)aσb；

2)(?e∈E(S))ea=eb；

3)(?e，f∈E(S))ea=fb；

4)(?e，f∈E(S))ae=bf；

5)(?e∈E(S))eae=ebe；

6)(?x∈Reg(S))xa=xb；

7)(?x∈Reg(S))ax=bx；

8)(?e，f∈E(S))(?g∈E(S))aeg=bfg；

9)(?e，f∈E(S))(?g∈E(S))gea=gfb；

10)(?e，f∈E(S))(?x∈Reg(S))aex=bfx；

11)(?e，f∈E(S))(?x∈Reg(S))xea=xfb。

定理 2 的證明 1)?2)設(shè) aσb，則存在 f∈E(S)，使得 af=bf。設(shè) a′∈W(a)，b′∈W(b),由引理 1 的 ii）知 afa′，bfb′∈E(S)，又 S中冪等元相乘可換，則有

bfb′afa′·a=bfb′·bf·a′a=bf·a′a·b′bf=af·a′a·b′bf=afa′·af·b′b=afa′·bf·b′b=bfb′afa′·b

由于 E(S)是 S 的子半群，所以 bfb′afa′∈E(S)。令 e=bfb′afa′，則有 ea=eb。

2)?3)顯然成立。(只需令f=e即可)

3)?4)設(shè)存在e，f∈E(S)，使得 ea=fb。對a′∈W(a)，b′∈W(b)，有 b′fb，a′ea∈E(S)。由于冪等元相乘可換，則有

a·a′eab′fb=aa′·fb·b′fb=aa′·bb′·ffb=aa′·bb′·fb=bb′·aa′·fb=bb′·aa′fb=b·b′aa′fb。

由于 E(S)是 S的子半群，所以 a′eab′fb∈E(S)，aa′f∈E(S)，由引理 1 的 ii)知 b′aa′fb∈E(S)，令g=a′eab′fb，h=b′aa′fb，則 ag=bh。

4)?1)設(shè)存在 e，f∈E(S)，使得 ea=bf。S中冪等元相乘可換，則有

a·ef=aeef=bfef=beff=b·ef

又 E(S)是子半群，所以 ef∈E(S)，令 g=ef，則 ag=bg。

故 1)，2)，3)，4)等價。

2)?5)設(shè)存在 e∈E(S)，使得 ea=eb。給等式兩端同時乘以e，得eae=ebe。

5)?2)設(shè)存在 e∈E(S)，使得 eae=ebe。設(shè)a′∈W(a)，b′∈W(b)，給等式兩端同時乘以 bb′aa′，得

根據(jù) S中冪等元相乘可換以及 bb′，aa′，aea′，a′ea，beb′，b′eb 都是 S 的冪等元，等式(1)變?yōu)?/p>

給等式(2)兩端同時乘以 aa′·bb′·e·aea′·b′eb，并令此冪等元為f，有

左端=aa′·bb′·e·aea′·beb′·bb′·aea′·e·a=aa′·bb′bb′·ee·aea′aea′·beb′·a=aa′·bb′·e·aea′·beb′·a=fa

右端=aa′·bb′·e·aea′·beb′·aa′·beb′·e·b=aa′aa′·bb′·ee·aea′·beb′beb′·b=aa′·bb′·e·aea′·beb′·b=fb

即 fa=fb，故 5)與 2)等價

2)?6)設(shè)存在 e∈E(S)，使得 ea=eb。由于E(S)?Reg(S)，故 6）成立。

6)?2)設(shè)存在 x∈Reg(S)，使得 xa=xb。取 x′∈V(x)，則 x′x∈E(S)，且 x′xa=x′xb，故 6)與2)等價。

類似可證7）與1）等價。

1)?8)設(shè)存在 e∈E(S)，使得 ae=be。對任意的h，f∈E(S)，由于 E(S)是半格，令 efh=g，則 g∈E(S)，且ahg=ah·efh=aefh2=befh=bef2h=bf·efh=bfg。

8)?1)設(shè)對任意的 e，f∈E(S)，存在 g∈E(S)，使得aeg=bfg。給此式兩端同時乘以fe，得aeg·fe=bfg·fe。由于S中冪等元相乘可交換，于是該式變?yōu)閍·egf=b·egf，其中 egf∈E(S)，故 8）與 1）等價。

類似可證9）與2）等價。

10)?8)設(shè)對任意的 e，f∈E(S)，存在 x∈Reg(S)，使得 aex=bfx。取 x′∈V(x)，則 xx′∈E(S)，且 ae·xx′=aex·x′=bfx·x′=bf·xx′，即 8）得證。

8)?10)由于 E(S)?Reg(S)，故結(jié)論 10)顯然成立。

故10)與8)等價。類似可證11)與9)等價。

綜上，1)至 11)各款等價，證畢。

注記 作為定理2的推論，當(dāng)S是強(qiáng)π-逆半群和逆半群時，由于這兩類半群都是E-稠密半群，所以定理2中的每一條也都是強(qiáng)π-逆半群和逆半群上的最小群同余的表示刻畫，但是需要注意的是，由于逆半群是正則半群，所以在逆半群中Reg(S)=S。

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