冪級數(shù)在條件數(shù)列中的應用

陳引蘭，余立婷

(湖北師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002)

文[1]中介紹了冪級數(shù)的相關(guān)知識，冪級數(shù)是一類簡單而有用的函數(shù)項級數(shù)。在文[2]中，美國數(shù)論專家Smrandache F提出了初等數(shù)論及集合論中105個未解決的問題讓大家研究，其中有5個問題是關(guān)于數(shù)列的性質(zhì)問題，可見對數(shù)列的研究非常重要。

本文先定義了條件數(shù)列，利用若干基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式的變形，發(fā)現(xiàn)了條件數(shù)列求和規(guī)律，給出了通過其他方法較難證明的條件數(shù)列和的代數(shù)恒等式，結(jié)果以定理1-6給出。定理7是文[3]中的定理3和定理4的一個推廣，即文[3]中的定理3和定理4是本文定理7的推論，并給出了證明，這一部分的推廣還給出了求其他條件數(shù)列和的方法。接著利用這些恒等式，討論了通項是條件數(shù)列求和的正項級數(shù)的斂散性，而這些級數(shù)的斂散性用其他方法也不易判斷。

為了下面敘述的方便，先給出條件數(shù)列的定義。

定義1 當一個數(shù)列的通項的序滿足一個特定的不定方程式時，把它叫做條件數(shù)列。稱條件數(shù)列的通項的序滿足的不定方程中的未知數(shù)個數(shù)為條件數(shù)列的項，稱條件數(shù)列的通項中各未知數(shù)的最高次數(shù)為條件數(shù)列的次數(shù)。

1 若干條件數(shù)列求和的恒等式

1.1 一次二項、一次三項、一次四項條件數(shù)列求和

下面的定理1和定理2是一次二項條件數(shù)列求和.

(1)

(2)

比較(1),(2) 式中x2n+2的系數(shù)可得

所以

所以

(3)

又由冪級數(shù)乘法知

(4)

比較(3)(4) 式中的x2n的系數(shù)知

所以

下面的定理3和定理4是一次三項條件數(shù)列求和。

定理3 設(shè)k1,k2,k3,n為自然數(shù)，則有

可得

(5)

又由冪級數(shù)的乘法知，

(6)

比較 (5)(6)式中x2n+3的系數(shù)可得

所以

(7)

再由冪級數(shù)的乘法得

(8)

比較(7)(8) 式中x2n的系數(shù)可得

下面的定理5和定理6是一次四項條件數(shù)列求和。

定理5 設(shè)k1,k2,k3,k4,n為自然數(shù)，則有

(9)

由冪級數(shù)乘法知：

(10)

比較(9),(10) 式中x2n+4的系數(shù)知

定理6 設(shè)k1,k2,k3,k4,n為自然數(shù)，則有

(11)

又由冪級數(shù)的乘法

(12)

比較(11),(12) 式中x2n的系數(shù)可得

注 定理1～6的推廣：定理1～6只是給出了通項中分母同時是奇數(shù)的階乘或者同時是偶數(shù)階乘的條件數(shù)列求和恒等式，如果需要分母中是若干個奇數(shù)的階乘和偶數(shù)的階乘求和的對應項恒等式，則可以利用相應的三角函數(shù)的恒等變形和它們的冪級數(shù)展開式，比較左右兩邊冪級數(shù)展開式的系數(shù)，求出條件數(shù)列求和的恒等式。

1.2 二次s項條件數(shù)列乘積和的恒等式

定理7 設(shè)k1,k2,k3,…ks,n,j為自然數(shù)，s為大于 1的自然數(shù)，則有

令s=2,3，分別得到下面的推論1,2.

推論2[3]設(shè)a,b,c,n為自然數(shù)，則有

2 若干通項是條件數(shù)列的正項級數(shù)的收斂性

是收斂的。

證明 由定理5知

是收斂的。

證明 由定理7的推論2知

所以

參考文獻：

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社.2010.

[2]Florentin Smarandche Only problems Not solutioned [M].大連：Xiquan Publishing House,1993.

[3]王永興，楊倩麗.關(guān)于冪級數(shù)在自然數(shù)列中的應用[J].渭南師范大學學報，2005,20(5):19～21.

[4]徐利治.數(shù)學分析的方法及例題選講——分析學的思想、方法與技巧[M].大連:大連理工大學出版社，2008.