數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生反思

王宗明

[摘要]數(shù)學(xué)教學(xué)中的反思是指學(xué)生自覺地對數(shù)學(xué)認(rèn)知活動進(jìn)行觀察、分析、總結(jié)、評價、調(diào)節(jié)的過程。通過反思可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，優(yōu)化思維品質(zhì)；可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題方法，促進(jìn)創(chuàng)新思維的發(fā)展；使學(xué)生的學(xué)習(xí)活動成為一種有目標(biāo)有策略的主動行為，從而提高學(xué)習(xí)效率。

[關(guān)鍵詞]反思 認(rèn)知結(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)意識 思維活動

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步形成反思意識以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨(dú)立思考的習(xí)慣。數(shù)學(xué)教學(xué)中的反思是指學(xué)生自覺地對數(shù)學(xué)認(rèn)知活動進(jìn)行觀察、分析、總結(jié)、評價、調(diào)節(jié)的過程。在教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的反思意識，引導(dǎo)學(xué)生多層次、多角度地對解決問題的思維過程進(jìn)行全面的考察、分析和思考，可以深化對問題的理解，優(yōu)化思維的過程，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。從而揭示問題本質(zhì)，探索一般規(guī)律，獲得新的發(fā)現(xiàn)。通過反思可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，優(yōu)化思維品質(zhì)；可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題方法，促進(jìn)創(chuàng)新思維的發(fā)展；通過反思可以深化對知識的理解，使學(xué)生的學(xué)習(xí)活動成為一種有目標(biāo)有策略的主動行為，從而提高學(xué)習(xí)效率。下面結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生開展反思活動的。

一、反思概念、公式、定理，以便深刻理解、靈活應(yīng)用

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可能老師經(jīng)常會發(fā)出這樣的感慨：對一些數(shù)學(xué)概念、定理、公式的教學(xué)，反來復(fù)去地講解和訓(xùn)練，感覺學(xué)生弄懂了，但一應(yīng)用起來多數(shù)學(xué)生還是存在問題。究其原因，主要是在教學(xué)中，教師往往在這些知識的形成上，注重培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，而忽視了學(xué)生接受知識的層次性。強(qiáng)制性地把新知識注入學(xué)生頭腦，學(xué)生的學(xué)習(xí)非常被動，形成的知識呆板，不求甚解。對這些知識往往知其然而不知所以然，無法達(dá)到全面地、深刻地理解和靈活應(yīng)用。因此，教師在教學(xué)中除了要引導(dǎo)學(xué)生積極參與概念、定理、公式的形成過程外，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識、經(jīng)驗、方法對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行全方位的反思，使其深刻理解其內(nèi)涵和外延，揭示其本質(zhì)，從而達(dá)到靈活、有效的運(yùn)用。

如在學(xué)習(xí)方差概念時，經(jīng)常有這樣的題目：甲、乙兩人參加射擊選拔比賽，各打十槍，計算這兩組數(shù)據(jù)的方差，如甲方差較小，則甲發(fā)揮的更穩(wěn)定，那么是不是甲的成績就越好呢？ 學(xué)生經(jīng)常把方差越小時的“穩(wěn)定”與“好”等同起來，錯誤地認(rèn)為方差越小成績就越好。對方差的概念進(jìn)一步的理解可知：方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，這個“波動”必須是相對某個標(biāo)準(zhǔn)（一般是平均數(shù)）而言的，是指在這個平均數(shù)上下的波動大小。很顯然在上例中，平均數(shù)大，方差越小，則成績越好。如方差小，平均數(shù)也較小，則不僅說明整體成績差，而且還說明這個運(yùn)動員沒有什么潛力。

對方差概念進(jìn)一步反思：再追問現(xiàn)實(shí)生活中有沒有方差越大越好的情況呢？如現(xiàn)在很多公司為了促銷，推銷員的收入直接和他的銷售量掛鉤，實(shí)行多勞多得。那么所有推銷員收入的方差越大，則說明推銷員間的收入差距較大，就說明這種制度能充分調(diào)動推銷員的積極性，符合多勞多得，少勞少得，不勞不得的時代特征。由此經(jīng)過多角度、多側(cè)面的反思，學(xué)生對方差的概念有了更全面、更深入的了解。

又如學(xué)習(xí)整式乘法的平方差公式時，不少學(xué)生往往只記住公式，雖能掌握最基本的用法，但缺乏對公式特征較深入的了解，難以靈活運(yùn)用公式。如計算（2x-3y）（-2x-3y）時 ，部分學(xué)生就直接運(yùn)用平方差公式，出現(xiàn)：（2x-3y）（-2x-3y）=-（2x）2-（3y）2的錯誤結(jié)果。原因主要是對平方差公式的特征沒有準(zhǔn)確的把握，弄錯了原題中的項和平方差公式中a、b的對應(yīng)關(guān)系。教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對公式特征進(jìn)行分析：兩個完全相同的項對應(yīng)公式中的a，互為相反的項對應(yīng)公式中的b，注意a、b的位置是a前b后，結(jié)果是a2-b2。因此原題可轉(zhuǎn)化得到（2x-3y）（-2x-3y）=（-3y +2x）（-3y-2x）=（-3y）2-（2x）2。由此，經(jīng)過對平方差公式的深入的反思、總結(jié)，使學(xué)生對公式有了更深刻的理解，從而能靈活、準(zhǔn)確地運(yùn)用公式。

二、反思知識之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識的系統(tǒng)化

教師的教學(xué)不僅是“教”，更重要的是指導(dǎo)學(xué)生有個良好的學(xué)習(xí)方法。而好的學(xué)習(xí)方法應(yīng)該是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的科學(xué)的學(xué)習(xí)方式、方法，能夠使學(xué)生更有效的掌握所學(xué)的知識，并能靈活運(yùn)用所學(xué)的知識解決一些實(shí)際問題。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，無論是對新知的探究，還是對所學(xué)知識的運(yùn)用，都要求有高度的思維活動，而反思正是思維活動的主要體現(xiàn)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對各個教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行全面的反思，反思知識點(diǎn)與知識點(diǎn)、新舊知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識的系統(tǒng)性和完整性，建立合理的知識結(jié)構(gòu)和知識體系，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力。

學(xué)完一單元后，要引導(dǎo)學(xué)生對這一章的內(nèi)容進(jìn)行反思：這一章主要研究了那些問題？各知識點(diǎn)間有什么聯(lián)系？重點(diǎn)是什么？用了那些數(shù)學(xué)思想和方法？與以前的內(nèi)容有什么聯(lián)系？通過反思，使知識更加系統(tǒng)化，這樣學(xué)生能更有效地掌握和運(yùn)用知識。

如在學(xué)完《平行四邊形》這章后，引導(dǎo)學(xué)生反思平行四邊形，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)和判定有什么聯(lián)系？學(xué)好這部分內(nèi)容的關(guān)鍵是什么？學(xué)生對它們的關(guān)系進(jìn)行深入的反思會發(fā)現(xiàn)：矩形和菱形是特殊的平行四邊形，而正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。掌握矩形和菱形的兩個特有的性質(zhì)是學(xué)好這部分內(nèi)容的關(guān)鍵。如理解矩形的性質(zhì)時，由矩形的定義知，矩形是特殊的平行四邊形故它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，還具有它的特殊性質(zhì)：四個角都是直角和對角線相等；理解菱形的性質(zhì)時，同樣具有平行四邊形所有性質(zhì)，還具有它的特殊性質(zhì)四條邊都相等及對角線互相垂直，且平分每一組內(nèi)角；正方形的性質(zhì)，很顯然具備平行四邊形，矩形，菱形的所有性質(zhì)。

三、反思解題方法，提高解題能力

在教學(xué)中，老師往往怕學(xué)生走彎路，浪費(fèi)時間，于是按照自己的經(jīng)驗將現(xiàn)成的解法、解題技巧直接灌輸給學(xué)生，感覺學(xué)生聽懂了，同類型的題目也會做了，但題目稍作變化，學(xué)生就感覺有困難。究其原因，就是教師缺乏指導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)活動，解題過程進(jìn)行深入、有效的反思。由于缺乏解題后的反思，學(xué)生往往只會對現(xiàn)成的解題過程生搬硬套，沒有形成自己的解題思路和方法，學(xué)生的解題能力沒有得到根本提高。因此，在教學(xué)中，學(xué)生做完一道題后，要引導(dǎo)他們進(jìn)行及時、深入的反思，這不僅是簡單的回顧和總結(jié)，而是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從解題思路，解題方法，解題途徑進(jìn)行多角度的反思。如反思解題過程中出現(xiàn)錯誤的原因：是審題不清？還是知識性錯誤？方法錯誤？提出改進(jìn)措施；反思解題過程和思路，有沒有更簡捷，更巧妙的解題方法？反思題目的條件和結(jié)論經(jīng)常有那些變化？如何應(yīng)答？總結(jié)解某一類題的一般規(guī)律，形成正確的解題思路等。如若代數(shù)式4x2+2mx+16是個完全平方式，求m的值.學(xué)生容易出現(xiàn)下面錯解：

由4x2+2mx+16=（2x）2+2mx+42 則： 2m=2×2×4 ∴ m=8

上面的錯誤在于對完全平方式的特征了解不夠深入、全面，沒有注意到完全平方式a2±2ab+b2的中間項可以為正，也可為負(fù)。出現(xiàn)了漏解。

正確的解應(yīng)是： 2m=±2×2×4 ∴ m=±8

上題中，在反思解題出錯的原因，總結(jié)如何處理后，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步的反思有沒有其它好的解題方法。聯(lián)想到一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則方程的左邊ax2+bx+c必是個完全平方式。因此，本題可設(shè) 4x2+2mx+16=0，則4x2+2mx+16是個完全平方式，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，故△=（2m）2-4×4×16=0，直接解得m=±8，不會出現(xiàn)漏解的情況。由此，通過反思開闊了解題思路和方法，能夠創(chuàng)造性地運(yùn)用知識解決一些問題。

由此可見，反思是一把啟迪學(xué)生數(shù)學(xué)智慧的鑰匙。反思不僅僅是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般性的回顧或重復(fù)，更重要的是它能帶動學(xué)生積極、主動、探究性地投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思維的靈敏性，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。

（作者單位：陜西省西鄉(xiāng)縣板橋初級中學(xué)）