快樂教學(xué) 改善心育 領(lǐng)悟本質(zhì)——從“教書匠”走向“名教師”

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(杭州市第十四中學(xué) 浙江杭州 310006)

快樂教學(xué)改善心育領(lǐng)悟本質(zhì)——從“教書匠”走向“名教師”

●馬茂年

(杭州市第十四中學(xué) 浙江杭州 310006)

馬茂年老師在各級刊物發(fā)表千余篇教學(xué)論文；多篇論文在全國及省市各級優(yōu)秀論文評比中榮獲一等獎；主編或參與編著《高中數(shù)學(xué)同步復(fù)習(xí)導(dǎo)引》、《高中數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)教材》、《初中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)教材》等多部教學(xué)參考書.

多次主講浙江教育電視臺的“百師百題”、“高考錯誤一百講”、“數(shù)學(xué)”等系列電視教學(xué)輔導(dǎo)片；多次應(yīng)高校和中學(xué)作“中學(xué)數(shù)學(xué)研究和教學(xué)”的專題報告.平時以“嚴、實、愛”的教學(xué)態(tài)度贏得學(xué)生喜愛，擅長 “啟發(fā)、點拔”的教學(xué)方法；重視課堂設(shè)計，分析、鉆研、挖掘教材，精心構(gòu)思，注重教與學(xué)的趣味性，積極開展師生雙邊活動，調(diào)動學(xué)生的積極性，形成了“嚴謹、活潑、富于啟迪性”的教學(xué)特色.

1 享受教書快樂，感受育人真諦

課堂是教師工作、學(xué)生學(xué)習(xí)的主陣地，“怎樣構(gòu)建高效課堂，提高課堂教學(xué)質(zhì)量”是每一位教師所追求的基本目標.有一次，筆者問一位很優(yōu)秀的教師：“你上課成功的最大秘訣是什么？”那位教師告訴筆者：“課堂教學(xué)中，當(dāng)我的心與學(xué)生的心融在了一起，教學(xué)肯定能成功！”這位教師的話對我們很有啟發(fā)，課堂教學(xué)的效率，實際上就表現(xiàn)在教師“用心”教和學(xué)生“用心”學(xué)上.師生之心相融，才能實實在在地獲得教學(xué)的成功.如何提高課堂教學(xué)效益？筆者認為在課堂上應(yīng)該落實“三聲、六度、三實”.

1.1 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要有“三聲”

1.1.1 課堂教學(xué)中要有“笑聲”

我們要懂得，師生之笑能舒緩緊張情緒，激發(fā)師生教學(xué)的積極心態(tài)，形成和諧的教學(xué)氛圍.教師要樹立歡樂課堂的觀念，使課堂有教學(xué)內(nèi)容引發(fā)的笑聲；有教學(xué)情境設(shè)置引發(fā)的笑聲；有教師幽默語言引發(fā)的笑聲；有學(xué)生機敏語言、動作引發(fā)的笑聲.有笑聲的課堂，師生關(guān)系和諧，學(xué)生注意力集中，學(xué)生學(xué)習(xí)參與度更大.心理學(xué)研究表明：人在快樂中學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)更主動，接受知識更快.有笑聲的課堂教學(xué)，教學(xué)效率會更高.

1.1.2 課堂教學(xué)中要有“贊美聲”

教學(xué)中要有師生對教學(xué)內(nèi)容的贊美；要有教師對學(xué)生進步和取得成績的贊美；要有學(xué)生對教師精湛教學(xué)技藝的贊美；要有學(xué)生對學(xué)生創(chuàng)新的贊美.這些“贊美”，催發(fā)師生的進取精神，激活師生沉淀的潛力，提高師生的美感品位.“贊美聲”使教學(xué)的內(nèi)涵更加豐富，師生教學(xué)互動更為融洽，必將提高教學(xué)的有效性.

1.1.3 課堂教學(xué)中要有“驚訝聲”

我們要明白，每一個教學(xué)內(nèi)容必有令學(xué)生“驚訝之處”.這要看教師是否能夠挖掘教學(xué)內(nèi)容并巧妙設(shè)置情景.教師本身也能呈現(xiàn)“驚訝之舉”，這要看教師是否具有較高的素質(zhì)并拿出教學(xué)絕活.“好奇”是孩子們的天性，課堂教學(xué)要激發(fā)學(xué)生的驚奇感，要引發(fā)學(xué)生的驚訝聲.這樣的教學(xué)，能夠引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，啟迪學(xué)生的創(chuàng)新意識.有驚訝聲的課堂，教學(xué)質(zhì)量一定很高.

1.2 課堂教學(xué)要體現(xiàn)“六個度”

1.2.1 課堂教學(xué)要體現(xiàn)學(xué)生主體的“參與度”

首先要看學(xué)生參與學(xué)習(xí)的廣度.課堂教學(xué)中，教師要調(diào)動全體學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，用符合學(xué)生特點的、受學(xué)生歡迎的教學(xué)方法來吸引全體學(xué)生集中注意力學(xué)習(xí)，而不是只領(lǐng)著少數(shù)幾個“優(yōu)”生圍著教師的教學(xué)“轉(zhuǎn)”.其次要看學(xué)生參與學(xué)習(xí)的深度.教學(xué)中，教師要逐步引導(dǎo)學(xué)生進入主動學(xué)習(xí)的狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，要看學(xué)生能不能向教師提問題，學(xué)生之間能不能爭論問題.

1.2.2 課堂教學(xué)要體現(xiàn)學(xué)生心理的“調(diào)適度”

課堂上，教師是否激發(fā)學(xué)生飽滿的情緒,是否引領(lǐng)學(xué)生形成積極緊張的心境,是否幫助學(xué)生消除心理的干擾因素等，是教師教學(xué)能力高低的重要標志.當(dāng)一名學(xué)生回答問題錯誤時，如果教師引導(dǎo)激勵恰當(dāng)，那么學(xué)生的心境就會出現(xiàn)積極興奮狀態(tài)，這時，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性、實效性都會增強.

1.2.3 課堂教學(xué)要體現(xiàn)學(xué)生思維的“有效度”

教學(xué)中，教師要少提“是什么”的問題；要多提“為什么”的問題，引起學(xué)生的積極思考；要精提“做什么”的問題，通過學(xué)生學(xué)習(xí)實踐活動，引領(lǐng)學(xué)生把思維過程轉(zhuǎn)化為智能的積淀和學(xué)習(xí)方法的運用.這樣的思維才有效度.

1.2.4 課堂教學(xué)要體現(xiàn)學(xué)生情感的“內(nèi)化度”

教學(xué)中，學(xué)生熱愛學(xué)習(xí)，對學(xué)習(xí)知識的迷戀，被教學(xué)內(nèi)容所感動，為探索真知而追求，這是學(xué)生情感內(nèi)化的表現(xiàn).教師在教學(xué)過程中，要積極采用創(chuàng)設(shè)情境、啟迪心智等方式，不失時機地促進學(xué)生情感的迸發(fā)和內(nèi)化.

1.2.5 課堂教學(xué)要體現(xiàn)學(xué)生語言的“鮮活度”

教學(xué)中，教師不僅要評價學(xué)生答問知識的正確性，而且要評價學(xué)生語言表達邏輯性、規(guī)范性、流暢性，鼓勵學(xué)生的個性化語言，倡導(dǎo)學(xué)生發(fā)言、說話：大聲、大方，敢說、敢問、敢爭.中小學(xué)正是學(xué)生語言發(fā)展的最佳時期，課堂教學(xué)千萬不能忽視學(xué)生語言訓(xùn)練這一重要內(nèi)容.

1.2.6 課堂教學(xué)要體現(xiàn)學(xué)生能力的“形成度”

教學(xué)中，教師能夠緊扣知識點，抓住重點、突破難點、看準疑點、突出特點、展示亮點，把知識技能的學(xué)習(xí)訓(xùn)練有機地轉(zhuǎn)換成學(xué)生能持續(xù)學(xué)習(xí)的能力.要努力消除學(xué)生只會“紙上談兵”、“高分低能”、成為“考試機器”的現(xiàn)象.要把應(yīng)試能力的培養(yǎng)與學(xué)生終生發(fā)展能力的培養(yǎng)有機地結(jié)合起來.學(xué)生終生發(fā)展能力的培養(yǎng)，是教育的根本目標.

1.3 課堂教學(xué)要做到“三實”

1.3.1 課堂教學(xué)要做到“真實”

教學(xué)中，教師要做到信息源(教材、教輔、音像、補充案例等)的真實、教學(xué)過程的真實、檢測考評的真實.教師要真實地了解班情、學(xué)情，備課既要備教材，更要備學(xué)生、備自己，使教學(xué)符合教學(xué)規(guī)律，符合學(xué)生學(xué)習(xí)實際，這樣才能真實地提高課堂教學(xué)的效率.教師要用自己的真知灼見，去啟迪學(xué)生的真情實感.這樣才能做到陶行知先生所說的“千教萬教教人求真，千學(xué)萬學(xué)學(xué)做真人”.

1.3.2 課堂教學(xué)要做到”樸實”

課堂教學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)的主渠道和基本形式，是廣大師生必須長期堅持的雙邊活動.課堂教學(xué)的樸實，更能體現(xiàn)教學(xué)的規(guī)律和教學(xué)的真實，更能被廣大師生所接受，更能體現(xiàn)教學(xué)的實效.筆者不提倡上“豪華”課.“豪華”課多半只能“看”，不能“用”.必要的突破教學(xué)重、難點的現(xiàn)代技術(shù)手段，一定要恰到好處.課堂教學(xué)要以實效為根本，還是樸實為好.要倡導(dǎo)課堂教學(xué)現(xiàn)代化手段的運用，但不要“畫蛇添足”；要倡導(dǎo)課堂教學(xué)的不斷創(chuàng)新，但不要“買櫝還珠”.

1.3.3 課堂教學(xué)要做到”扎實”

教學(xué)既要以“扎實”為出發(fā)點，又要以“扎實”為收獲點.我們發(fā)現(xiàn)，有的教師課講得很好，“有看頭”、“有聽頭”，但學(xué)生最后學(xué)習(xí)成績不好(當(dāng)然這里面還有應(yīng)試的原因)；有的教師上公開課、競賽課“花樣”很多，但落實知識、技能、方法不夠，課上完后，教師還要給學(xué)生重講一次.這種做法，有違教學(xué)規(guī)律，容易貽誤學(xué)生.我們要堅持課堂教學(xué)的“扎實”，這種扎實不是死記硬背，不是照搬照抄，不是單純的復(fù)制知識.這種“扎實”應(yīng)體現(xiàn)課程改革的精神，要有知識技能學(xué)習(xí)的扎實，有過程方法訓(xùn)練的扎實，更要有情感、態(tài)度、價值觀培育的扎實.

2 改善心育環(huán)境，提高教育效能

2.1 做一個健康、快樂、幸福的數(shù)學(xué)教師

教師應(yīng)具有“六愛”精神：愛教育、愛學(xué)校、愛學(xué)生、愛學(xué)習(xí)、愛生活、愛自己.我們要認識到，“愛”既是教師的職業(yè)品質(zhì)，也是一種職業(yè)能力，更是生命力旺盛的表現(xiàn).教師要鍛煉自己形成快樂思維的方式和樂觀向上的性格，使自己融入教育事業(yè)，融入學(xué)校，融入學(xué)生.一位充滿愛的教師，眼中無“差”生，心中少煩惱，成功的機會更多，身體也會更健康.

2.1.1 數(shù)學(xué)教師應(yīng)具有“愛”的品質(zhì)和能力

教師要愛每一名學(xué)生，經(jīng)常用期待的眼光打量學(xué)生，用贊賞的語言激勵學(xué)生.即使有的學(xué)生學(xué)習(xí)很差或犯了錯誤，確實令人失望，也要尋找更好的辦法來幫助他.

教師要成為學(xué)生最喜歡的人，教學(xué)要經(jīng)常引發(fā)學(xué)生的笑聲、贊美聲和驚訝聲.即使是某些教學(xué)內(nèi)容沒有什么快樂因素可挖掘，也要想辦法嵌入一段開心的小插曲.

教師必須比一般人更愛學(xué)習(xí)，更能享受學(xué)習(xí)的樂趣.每學(xué)期至少讀一本新書，要主動爭取多參加教科研活動.即使沒有外出學(xué)習(xí)的機會，也要堅持自學(xué).

教師要成為教育的享受者，在教育工作中不斷地收獲成功的喜悅.要樂于融入學(xué)校集體團隊，即使遇到再大的困難，對事業(yè)的執(zhí)著追求也不應(yīng)改變.

教師要熱愛生活、熱愛自己，經(jīng)常保持樂觀向上的積極心態(tài).工作之余要有豐富的特長愛好活動，即使自己沒有什么文體“細胞”，也要經(jīng)常參加一些開心的活動.

2.1.2 認真做好自己不喜歡的事情

每位教師所干的工作,不一定都是十全十美的,不一定都是自己喜歡的,也不一定都是專業(yè)對口或自己熟悉及專長的.教師能把自己喜歡的、熟悉的工作干好,那是十分容易的事情;能把自己不喜歡、不熟悉的工作干好,這就需要具備更高的素養(yǎng).教育工作肯定會遇到“難度大、壓力重、枯燥乏味、收入微薄、地位不高”等狀況，確實會出現(xiàn)“不喜歡”的心情.但是,我們要明白,“不喜歡”而導(dǎo)致的“不認真”是一種消極心態(tài),它會使人的激情消退,智能退化,潛能封閉,使人再干喜歡的事,也會干不好.因此，一定要樹立“認真做好自己不喜歡的事情”的觀念.

2.2 做一個努力提高自己專業(yè)水平的數(shù)學(xué)教師

提高教師專業(yè)水平和教學(xué)能力，除了教師個人的天賦因素外，還應(yīng)做到以下“三勤”：

2.2.1 勤學(xué)習(xí)

一個人要想在某些領(lǐng)域有所進步，獲得發(fā)展，很關(guān)鍵的一條就是勤學(xué)習(xí).教師開展教育教學(xué)活動也是如此.教師要勤于學(xué)習(xí)有關(guān)教育教學(xué)的理論和論著，多聽其他教師的課，學(xué)習(xí)先進的教學(xué)方法，不斷提高自己教育教學(xué)的理論水平和完善自己的教學(xué)風(fēng)格.

2.2.2 勤鉆研

刻苦鉆研業(yè)務(wù)是提高教師專業(yè)發(fā)展和教學(xué)能力的又一重要因素.通過一段時間的教學(xué)實踐，就會逐步形成自己的教學(xué)風(fēng)格，總結(jié)出自己的教學(xué)經(jīng)驗.經(jīng)驗是實踐的總結(jié)，很多時候是值得傳承和推廣的.但經(jīng)驗也有過失和錯誤的時候，總是憑經(jīng)驗來開展教育教學(xué)工作，難免會出現(xiàn)錯誤.這就要求我們不斷鉆研，不斷創(chuàng)新，不要總憑著經(jīng)驗辦事.教師只有刻苦鉆研業(yè)務(wù)，順應(yīng)時代發(fā)展，才能提高自己的業(yè)務(wù)水平和教學(xué)能力.

2.2.3 勤反思

“精益求精”是勤于反思的精髓所在.作為教師，每上完一堂課，都應(yīng)針對這堂課的得失認真思考，認真反思：這堂課是否成功，成功在哪些地方，可以獲得哪些經(jīng)驗？這堂課還有哪些地方值得改進，應(yīng)該吸取什么教訓(xùn)？通過不斷這樣的反思，就會發(fā)現(xiàn)自己的優(yōu)劣，從而取長補短，完善自我.

2.3 做一個不斷更新觀念的數(shù)學(xué)教師

課堂創(chuàng)新不只是教師個人的行為，不能局限于個人功名和小團體的狹隘利益中，而應(yīng)當(dāng)把課堂教學(xué)創(chuàng)新放到整個教育改革的進程中來考慮，與民族振興、國家富強聯(lián)系起來，與為國育才、為民造福聯(lián)系起來.做一位名教師就必須不斷更新教育觀念.

2.3.1 學(xué)生本位觀

教師能否開展課堂教學(xué)創(chuàng)新，很大程度上取決于他是否具備了學(xué)生本位觀，即他是否給予學(xué)生應(yīng)有的尊重和信任，是否給予學(xué)生充分的獨立自主權(quán)，師生之間是否建立了平等、民主、合作的關(guān)系.只有堅持了學(xué)生本位觀，才會對傳統(tǒng)封閉的課堂教學(xué)產(chǎn)生不滿，有了不滿，就會產(chǎn)生改革創(chuàng)新的欲望，有了創(chuàng)新的內(nèi)驅(qū)力，才會以積極的態(tài)度審視課堂教學(xué)中存在問題，認真對待學(xué)生提出的意見和建議，并結(jié)合教學(xué)探索實踐中積累的經(jīng)驗，創(chuàng)造新的課堂教學(xué)方法.

2.3.2 個性張揚觀

課堂教學(xué)創(chuàng)新必須面向所有學(xué)生，發(fā)展每個個體的創(chuàng)造個性；要有意識地讓學(xué)生從“上課-復(fù)習(xí)-作業(yè)-預(yù)習(xí)-再上課”這一機械的動作方式中解放出來，大做“減”字文章；教師的每一種具體的教學(xué)方法都要滿足發(fā)展學(xué)生的別才別趣別志與特知特能特長的需要；要尊重與眾不同的疑問和標新立異的觀念；要使每個學(xué)生都能主動地、愉快地、成功地、創(chuàng)造地獲得知識和能力，個性得到充分發(fā)展，潛能得到最大限度地釋放.

2.3.3 未來發(fā)展觀

課堂教學(xué)創(chuàng)新不能僅僅關(guān)注眼前的利益，而應(yīng)著眼于學(xué)生的未來發(fā)展.更明確地說，教師的課堂教學(xué)創(chuàng)新行為必須拋棄急功近利的短期行為，不斤斤計較于學(xué)生暫時的或偶然的學(xué)習(xí)變化，而要考慮學(xué)生創(chuàng)造思維的程度和可持續(xù)發(fā)展的水平.一個具有創(chuàng)造品質(zhì)的教師應(yīng)當(dāng)耐得住寂寞，坐得住冷板凳，有著眼未來、長期奮斗的思想準備.只有這樣，課堂教學(xué)創(chuàng)新才不至于曇花一現(xiàn).

3 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，提倡高效教學(xué)

3.1 領(lǐng)悟本質(zhì)是數(shù)學(xué)教師最基本的素養(yǎng)

3.1.1 關(guān)于教材的認識

在使用新教材過程中，易產(chǎn)生幾大錯覺：一是覺得教材的編排“散”而“亂”，原有的體系被打破從而感到不適；二是原有的很多數(shù)量關(guān)系被“弱化”，很多數(shù)學(xué)內(nèi)容被“簡化”；三是課本配備的練習(xí)題“不足”且與教材的內(nèi)容“不匹配”．

實際上，新的課程標準以“螺旋上升”作為制定教學(xué)任務(wù)的基本理念，原有的邏輯體系看似被打破，這也促使教師在教學(xué)過程中改變課堂教學(xué)觀念，充分體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的教學(xué)理念．即教師在實施課堂教學(xué)過程中應(yīng)該是“用教材”，而不是“教教材”．教材的內(nèi)容體系看似“散”而“亂”，實際是為了分散難點，突出“螺旋上升”的基本理念．原有數(shù)量關(guān)系被“弱化”，實際教材本質(zhì)是為了促使學(xué)生在具體情境中自己歸納得到并理解這些數(shù)量關(guān)系，減少死記硬背和套用模式.練習(xí)量看似“不足”且“不匹配”，實際是為了給教師更大的自由空間，創(chuàng)設(shè)更符合學(xué)生生活的情境和練習(xí)．教師的很多“不適”，還是源于對數(shù)學(xué)本身缺乏領(lǐng)悟，使得數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不能按照課程標準的要求進行，就連最基本的研究性活動也難以展開，談何高效！

3.1.2 關(guān)于數(shù)學(xué)的認識

把“學(xué)術(shù)形態(tài)知識轉(zhuǎn)化為教學(xué)形態(tài)知識”，現(xiàn)在有一個時髦的名字叫“教育數(shù)學(xué)”，即要把數(shù)學(xué)改造使之更適合于教學(xué)和學(xué)習(xí)，其實這是一個難題.我們常常認為是這些數(shù)學(xué)知識太難,其實數(shù)學(xué)的難易很多時候與我們對數(shù)學(xué)知識的組織學(xué)習(xí)方式有關(guān)，合理組織知識，可以使得某一個數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)變得輕松．

一般情況下教科書里的數(shù)學(xué)知識，都是以“形式化”的方式擺在那兒，都有準確的定義、嚴密的邏輯演義、抽象的符號體系，割舍了數(shù)學(xué)知識與學(xué)生認識間的內(nèi)在必然聯(lián)系.對于這種具有高度“形式化”、嚴密邏輯推理的數(shù)學(xué)內(nèi)容，學(xué)生讀起來自然非常困難．在保持數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容科學(xué)性的前提下，采用形象的圖形語言，使用簡潔的符號來表述，“淡化形式，注重實質(zhì)”，這對解決一些深難度命題的證明是相當(dāng)有效的．筆者對平面幾何教學(xué)做了大量的研究，幾番實踐，提出以“基本圖形”為載體的幾何教學(xué)，實踐證明是高效的．

例1已知基本圖形如圖1和圖2所示：

(1)圖1中：∠A+∠B+∠C=α；

圖1 圖2 圖3

(2)圖2中：∠A+∠B=∠C+∠D．

我們可以利用這2個基本圖形快速求角度問題．如圖3所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的值．

圖4

分析觀察圖4所示的圖形變化，可以非常容易地看出只需要把問題轉(zhuǎn)化為△ACE和四邊形BDHG的內(nèi)角和問題．這樣一個難題就變得很容易了，教學(xué)實踐表明，許多類似問題的求解都可以用基本圖形1和圖形2解決．這其實對教師提出了非常高的要求，若教師沒有高屋建瓴地把握數(shù)學(xué)的整體，則很難提煉出這樣的理念．“教師應(yīng)當(dāng)將自己放在學(xué)生的位置上，應(yīng)當(dāng)看到學(xué)生的情況，努力去理解學(xué)生心里正在想什么”(波利亞)．教師對數(shù)學(xué)的深入研究，最終受益的是學(xué)生．

3.1.3 關(guān)于解題的思考

解題教學(xué)要向?qū)W生暴露思維過程，解題切入點或突破口的選定要舍得花時間，問題解決過程中“坎”的跨越、“陡坡”的攀登要濃墨重彩．

在課堂45分鐘時間內(nèi)，不是看解決了多少疑難問題，而是要看有沒有把這一類題目真正講清楚.教師在這堂課中呈現(xiàn)的內(nèi)容學(xué)生還能記憶猶新，回味無窮，那應(yīng)該是很成功的了．而要讓學(xué)生記憶猶新，就需要教師上課不斷“刺激”，因此講題不需要多，但一定要精.所謂的精，可以理解成一題多解的探究以及更深層次的挖掘．

例2若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx，滿足f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，則f(x1+x2)=______．

解法1若x1+x2=0，則

f(x1+x2)=f(0)=0.

若x1+x2≠0，則

但x1-x2≠0，故

f(x1+x2)=0．

圖5

f(x1+x2)=f(0)=0．

解法3作二次方程f(x)-f(x1)=0，由已知得它有2個不等實根x1,x2，從而

f(x)-f(x1)=a(x-x1)(x-x2)，

把x=0,x=x1+x2代入，得

f(0)-f(x1)=ax1x2,

f(x1+x2)-f(x1)=ax1x2，

從而

f(x1+x2)=f(0)=0．

解法4作為填空題，可取x1=0，則由f(x2)=f(x1)=f(0)=0可得

f(x1+x2)=f(0+x2)=f(x2)=f(x1)=0.

解法5設(shè)f(x1)，f(x2)的值為-c，則

這表明x1,x2是二次方程ax2+bx+c=0的2個實數(shù)根，于是

從而

解法6因為等差數(shù)列前n項和Sn是一個關(guān)于n的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)，所以此題可理解為：若等差數(shù)列的部分和滿足Sm=Sn(m≠n)，則Sm+n=0．

這是等差數(shù)列前n項和的一個性質(zhì)，一氣呵成，暢快淋漓！

解題教學(xué)為了求“透徹”，因而教師必須鉆進教材，“沉下去”，理清知識發(fā)生的本源，把握教材中最主要的、最本質(zhì)的東西．只有這樣，才能在教學(xué)中不斷地去“捅破”題目與方法之間的一層紙，才能讓學(xué)生真正從題目中感悟和提煉出最具本質(zhì)的知識和方法，從而不斷提高學(xué)生的綜合能力．

3.2 提倡高效是數(shù)學(xué)教學(xué)的最高境界

把課講清楚是最為基本的要求．當(dāng)下很多教師一堂課下來，花樣百出，但是最后學(xué)生一頭霧水，到底學(xué)到哪些知識都不知道，這樣的課堂教學(xué)面上再精彩那也是“金玉其外，敗絮其中”．高效課堂必須教會學(xué)生應(yīng)掌握的具體方法和技巧，還要使學(xué)生正確理解和運行，并且培養(yǎng)學(xué)生解決問題的素養(yǎng)．

3.2.1 數(shù)學(xué)概念講解要清楚

拋物線通徑的最短性的講解如下：

圖6

例3教材中定義過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交的弦為通徑．求證：通徑是拋物線的過焦點的最短弦.類比橢圓、雙曲線是否也有此性質(zhì)?

解設(shè)過拋物線y2=2px焦點F的弦為AB，其中點為E．分別過點A,B,E作準線l的垂線，垂足為D,C,H．由拋物線定義知|AD|=|AF|,|BC|=|BF|，故

|AB|=|AF|+|BF|=|AD|+|BC|=2|EH|．

由圖6可得|HE|≥|GF|，當(dāng)且僅當(dāng)AB與x軸垂直時|HE|=|GF|,即

|AB|min=2|GF|=2p．

|AB|= |AF|+|BF|=e|AD|+e|BC|=

e(|AD|+|BC|)=2e|EH|,

而|EH|≥|FG|，當(dāng)且僅當(dāng)AB與x軸垂直時，|EH|=|FG|，則|AB|的最小值為

同樣可以類比雙曲線過焦點與對應(yīng)雙曲線的一支相交的弦中通徑最短(如過右焦點與雙曲線右支相交的焦點弦)．

3.2.2 數(shù)學(xué)問題講解要有策略

由易到難，由淺入深，引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中自己總結(jié)分析，從而順理成章地解決問題．這種教學(xué)策略會使學(xué)生對疑難問題不再感覺到疑難，符合學(xué)生的認知規(guī)律．

例4已知|x|=ax+1有一個負根，而且沒有正根，求實數(shù)a的取值范圍．

解法1(構(gòu)造函數(shù)圖像)令y=|x|，y=ax+1.如圖7，當(dāng)a=1時，得l與y=|x|交于一點在第二象限;當(dāng)直線y=ax+1繞點(0,1)轉(zhuǎn)動且夾在l與y軸之間，2個圖像交于一點在第二象限，這時a≥1．

評析本題屬常見題，如果用以上方法旋轉(zhuǎn)討論|x|=ax+1根的情況，對于一些圖形想象能力較弱的學(xué)生來說，不容易接受，那么有沒有更加直觀的方法呢？

圖7 圖8

解法2(用解析法思考)把已知方程改寫為a的函數(shù)

(1)當(dāng)a≥1時，有唯一的負解；

(2)當(dāng)-1

(3)當(dāng)a≤-1時，有唯一的正解．

3.2.3 數(shù)學(xué)解題要注重解題后的反思

反思是解決問題的一個妙招．

例5等差數(shù)列的前p項之和為q(p,q為不相等的正數(shù))，前q項之和為p，求這個數(shù)列的前p+q項之和．

解由題意可得

(1)

式(1)-式(2)，得

因此

兩邊同乘以(p+q)，得

圖9

正因為“反思”了函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，深入挖掘了上面解法的幾何背景，從而得到更簡潔的解法如下：

得

Sp+q=-(p+q)．

“行云流水了無痕”，多么漂亮的解法！教師平時對數(shù)學(xué)本身沒有很好的研究是很難得到的．

解題后的反思，一般可從以下5個方面進行：

(1)思方法優(yōu)化.一道題用多種方法解出后，要對各種方法的優(yōu)劣進行比較，看看哪些方法簡單，簡單在何處？哪些方法復(fù)雜，復(fù)雜在哪里？在此基礎(chǔ)上積累解題經(jīng)驗．

(2)思模式規(guī)律.對典型問題要通過一道題，掌握一類題，舉一反三，總結(jié)通法，不斷提高解題能力．

(3)思問題變式.問題變式，可以優(yōu)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生靈活解決問題的能力，避免重復(fù)的機械訓(xùn)練．

因此，在高三數(shù)學(xué)解題教學(xué)中要以問題為中心，精心組織教學(xué)內(nèi)容，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生縱橫思索，發(fā)散聯(lián)想，擴廣引申，變式探究，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)發(fā)現(xiàn)、探索、歸納的平臺，使他們從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中發(fā)現(xiàn)“變”的規(guī)律，從而發(fā)展學(xué)生的理性思維，增強學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)變能力．

(4)思思想方法.數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象和概括，具有高度的概括性、隸屬性、層次性、遷移性等特點．

(5)思失誤原因.學(xué)生在解題時可能會出現(xiàn)種種失誤，這些失誤有知識上的缺陷，也有非智力因素的影響．引導(dǎo)學(xué)生認真總結(jié)和反思解題中出現(xiàn)的失誤，提高辨析錯誤的能力，克服在解題中的不足之處和不良習(xí)慣，提高解題的準確性．

[1] 張奠宙，李士锜，李?。?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論[M]．北京：高等教育出版社，2003.

[2] 童富勇．現(xiàn)代教育新論[M]．杭州：浙江教育出版社，2005.

[3] 馬忠林．?dāng)?shù)學(xué)教育評價[M]．南寧：廣西教育出版社，2003.

[4] 鄭毓信.數(shù)學(xué)教育哲學(xué)的理論與實踐[M].南寧：廣西教育出版社，2008.

[5] 沈文選.走進教育數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[6] 葉立軍.數(shù)學(xué)方法論[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2008.

馬茂年，男，1963年出生，中共黨員，浙江省數(shù)學(xué)特級教師，浙江師范大學(xué)碩士生導(dǎo)師，浙江外國語學(xué)院客座教授，華東師范大學(xué)兼職教授，中國數(shù)學(xué)奧林匹克高級教練.曾榮獲省、市優(yōu)秀教師、中青年專業(yè)技術(shù)拔尖人才、全國推進素質(zhì)教育先進工作者、全國教育科研先進工作者等稱號.杭州市數(shù)學(xué)名師實踐基地主持人，浙江數(shù)學(xué)教育研究會副秘書長，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》董事、編委.現(xiàn)任教于杭州市第十四中學(xué).