競賽中的向量與向量方法

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(昌碩高級(jí)中學(xué) 浙江安吉 313300)

競賽中的向量與向量方法

●黃超

(昌碩高級(jí)中學(xué) 浙江安吉 313300)

平面向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景.在高考和數(shù)學(xué)競賽中，平面向量也是一種重要的命題載體和解題思想，因?yàn)樗瘮?shù)形于一身，是溝通代數(shù)與幾何的天然橋梁，并能有效地結(jié)合坐標(biāo)系解題.由于向量的可平移性，使得向量成為較廣泛的解題工具之一.從某種意義上說，向量不僅能實(shí)現(xiàn)用代數(shù)方法解決幾何問題，給代數(shù)問題予以幾何的解釋，而且向量性質(zhì)的巧妙運(yùn)用可以讓解題閃耀出智慧的光芒.以下從問題解決的角度對(duì)部分以平面向量為背景的問題(包含高考和競賽試題)予以簡要解讀.

1 不等關(guān)系向量建

由m·n=|m||n|cos，得|m·n|≤|m||n|(或(m·n)2≤m2·n2)，當(dāng)且僅當(dāng)m,n共線時(shí)等號(hào)成立.令m=(a,b),n=(c,d)，則由(m·n)2≤m2·n2得

(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),

當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)等號(hào)成立，此不等式即為二維柯西不等式.若令m=(a1,a2,…,an),n=(b1,b2,…,bn),則

(2003年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

(1)

(1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

從而

點(diǎn)評(píng)這些問題的結(jié)構(gòu)和向量并沒有直接的關(guān)聯(lián)，但向量的數(shù)量積與模之積之間的不等關(guān)系卻使問題迎刃而解，并顯得簡捷有力，是構(gòu)造向量解決不等關(guān)系的典型問題.換言之，柯西不等式可以算是向量不等式的一種直觀表達(dá)方式,但向量的構(gòu)造需要一定的觀察力和洞察力.

2 方程求解亦向量

通過構(gòu)造向量并建立關(guān)系式，可以將方程問題轉(zhuǎn)化為向量問題，借助向量運(yùn)算尤其是數(shù)量積運(yùn)算，可以快捷求解方程.

從而

當(dāng)且僅當(dāng)x2=1時(shí)等號(hào)成立.由題意，|m||n|≤m·n,又|m||n|≥m·n，即|m||n|=m·n,故x=1或x=-1(舍去)，即方程的解為x=1.

例4已知正數(shù)x,y,z滿足方程組

求xy+2yz+3zx的值.

解式(3)+式(4)-式(2),得

2z2+zx-xy=0.

m2=9，n2=16，m·p=0,n·p=0,

故m⊥p,n⊥p，于是m∥n，因此

(m·n)2=|m|2|n|2=9×16.

點(diǎn)評(píng)能將方程結(jié)構(gòu)和向量結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來并進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵，這些構(gòu)造看似巧妙，但還是有規(guī)律可循的.

3 共線破解線性題

圖1

圖2 圖3 圖4

4 投影秒殺數(shù)量積

m·n=|m||n|cos,稱|n|cos為n在m方向上的投影，即數(shù)量積m·n的幾何意義為|m|與n在m方向上的投影的乘積.利用此幾何意義可以快捷地解決某些數(shù)量積問題.

顯然|QB|2=(1+k2)(x+1)2,因此

點(diǎn)評(píng)善用投影，很多數(shù)量積問題可成為能夠“秒殺”的問題，在解題和增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣上都有較大的作用.

5 基本定理回路靈

平面向量基本定理：如果e1,e2是一個(gè)平面內(nèi)2個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這個(gè)平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，其中不共線的向量e1,e2叫做這個(gè)平面的所有向量的一組基底.換言之，若a=λ1e1+λ2e2=k1e1+k2e2,則必有λ1=k1,λ2=k2，此為向量法解題的基本工具.幾個(gè)向量首尾銜接構(gòu)成一個(gè)圈，即它們的和為零向量.在解題過程中利用這個(gè)等式或與它等價(jià)的等式，就是回路法，適當(dāng)?shù)剡x擇回路，是向量解題的基本手法.

圖5

例9如圖5，已知點(diǎn)P為平行四邊形ABCD所在平面上一點(diǎn)，O為AC和BD的交點(diǎn)，M和N分別是PB和PC的中點(diǎn)，Q為AN和DM的交點(diǎn)，求證：

(1)點(diǎn)P,Q,O共線； (2)PQ=2QO.

(1998年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

證明(1)聯(lián)結(jié)MN.由三角形中位線定理，知MNBC.因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以ADBC，從而AD∥MN，于是△AQD∽△MQN，即==2.

而點(diǎn)P，Q，O分別在△BDM的BM，DM，BD所在的直線上.由梅內(nèi)勞斯定理的逆定理，得點(diǎn)P,Q,O共線.

例10已知在△ABC中，O,H分別是外心、垂心，R為其外接圓半徑，試將AB2+BC2+CA2+OH2寫成關(guān)于R的函數(shù).

點(diǎn)評(píng)基本定理和回路法是向量最本質(zhì)屬性的體現(xiàn)，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用基本定理和選擇回路可最大限度地減少思維量和運(yùn)算量.

6 幾何意義妙在圖

向量兼具幾何特征和代數(shù)表示，是溝通代數(shù)和幾何的橋梁.而對(duì)向量問題幾何背景的挖掘往往會(huì)使問題解決顯得奇妙無比.

例11已知向量a≠e，|e|=1，對(duì)任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則

( )

A.a⊥eB.a⊥(a-e) C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)

例12已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)滿足|β|=1,且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______．

即

從而

則點(diǎn)B在以線段OA為弦、半徑為R的圓上，從而

平面向量集代數(shù)、幾何、三角于一身，有回路法、幾何法、坐標(biāo)法等各種方法，還可聯(lián)系不等式、方程等諸多內(nèi)容，使其成為高中數(shù)學(xué)中的一朵奇葩.