一道自主招生試題的“前世后生”

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(余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 浙江余姚 315400)

一道自主招生試題的“前世后生”

●陳萬勇應(yīng)立君

(余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 浙江余姚 315400)

隨著全國(guó)高校自主招生的規(guī)模越來越大，引發(fā)各地高中的自主招生熱，一批學(xué)有余力的資優(yōu)生有了極佳的展示平臺(tái)，而重點(diǎn)高中也多了一條發(fā)現(xiàn)人才的重要途徑．從已有的自主招生數(shù)學(xué)試題分析可知，試題大多來源于競(jìng)賽題，或直接引用，或稍加改編，推陳出新．研究經(jīng)典的競(jìng)賽試題，無異于挖掘了自主招生試題的源頭，真可謂是事半功倍．下面是對(duì)2009年浙江省某重點(diǎn)高中自主招生試卷壓軸題的“前世”挖掘與“后生”展望，以期拋磚引玉，對(duì)數(shù)學(xué)資優(yōu)生的自主探究、輔導(dǎo)教師的有效指導(dǎo)及自主招生試卷的創(chuàng)新命題等有所借鑒．

1 試題的“前世”

例1如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AB=AD，且其對(duì)角線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段AC上，使得∠BFC=∠BAD=2∠DFC．

(1)求∠CDF的大??；

圖1圖2圖3

分析此題實(shí)際應(yīng)試時(shí)得分很低．時(shí)間緊張、精確作圖困難是主要原因．好不容易猜想出正確結(jié)論，但推理過程又成了障礙．

此題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法：等腰三角形、靈活轉(zhuǎn)化的圓周角、相似三角形、三角形的角平分線性質(zhì)、演繹與歸納推理等，具有極高的研究?jī)r(jià)值．

解(1)如圖2，過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，則

因?yàn)椤螦BD=∠ACD，所以

∠CDF=∠AMB=90°．

(2)如圖3，過點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N．先證△FCN≌△FCD，得CN=CD；再證FB=FC，得BN=CN．因?yàn)镃E是△BCD的角平分線，所以

此題綜合性強(qiáng)，解法巧妙，且解法眾多(讀者可再作探究)，不失為一道好題，但感覺似曾相似．經(jīng)查閱知，其來源于2008年青少年數(shù)學(xué)國(guó)際城市邀請(qǐng)賽中的一道試題：

自主招生題增加了第(1)小題的設(shè)置，有暗示解法之意，降低了難度.再追溯，此題可以認(rèn)為脫胎于1992年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的一道解答題：

例3如圖4，在△ABC中，AB=AC，D是底邊BC上的一點(diǎn)，E是線段AD上的一點(diǎn)，且∠BED=2∠CED=∠BAC．求證：BD=2CD．

圖4 圖5

給圖4披上圓的外套(如圖5)，延長(zhǎng)AD交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BF，CF，則與例1、例2無異了．這是一種解法，例3還有很多解法，下面擇取幾種以饗讀者：

證明先證明BE=2AE．如圖6，在BE上截取BF=AE，聯(lián)結(jié)AF，易證△ABF≌△CAE，得∠AFB=∠CEA，則

于是AE=EF，從而BE=2AE．

圖6 圖7 圖8

方法1如圖7，過點(diǎn)C作CM∥BE交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，在AD上截取AN=BE，聯(lián)結(jié)CN．

先證△ABE≌△CAN，得

CN=AE，∠CND=∠BED，

方法2如圖8，過點(diǎn)D作DF∥AB交AC于點(diǎn)F，易知FC=FD．

方法3如圖4，在△ABE中，由正弦定理，得

從而

故

BD=2CD．

以上解法都用到了2個(gè)幾何事實(shí)：∠ABE=∠CAD，BE=2AE，較之題干中的陳述條件更加有利于應(yīng)用．

2 試題的“后生”

經(jīng)過上述剖析，相信讀者對(duì)蘊(yùn)藏于這道試題之中的幾何知識(shí)與思想方法已經(jīng)相當(dāng)?shù)亓私?，那么以后的試題可以進(jìn)行怎樣的發(fā)展演變呢？筆者進(jìn)行了如下的初步嘗試：

2.1 互換條件與結(jié)論

如圖4，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一點(diǎn)，BD=2CD，且∠ABE=∠CAD． 求證：∠BED=2∠CED．

2.2 增加條件，使圖形特殊化

已知在△ABC中，AB=AC=1，D是BC上一點(diǎn)，E是線段AD上一點(diǎn)，且∠BAC=∠BED=2∠DEC．

(1)當(dāng)∠BAC=90°時(shí)(如圖9)，求BD的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)∠BAC=60°時(shí)(如圖10)，求△CDE的面積．

圖9 圖10

(解答留給讀者.)

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要途徑，需要我們?nèi)硇牡赝度肫渲?，慢慢地品嘗，體會(huì)各種美妙；認(rèn)真細(xì)致地解剖，不同方向、角度地觀察，創(chuàng)造性地鏈接嘗試，以及解題成功以后的回望，不斷促使解法完善，解答簡(jiǎn)化合理，發(fā)現(xiàn)多解，提煉通解，自擬試題等．日積月累，定會(huì)使解題功力大增，數(shù)學(xué)素養(yǎng)大幅提升．