一道競(jìng)賽附加題的別證與推廣

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(衢州市第一中學(xué) 浙江衢州 324000)> (衢州市第二中學(xué) 浙江衢州 324000)

一道競(jìng)賽附加題的別證與推廣

●李盛●楊樟松

(衢州市第一中學(xué) 浙江衢州 324000)> (衢州市第二中學(xué) 浙江衢州 324000)

2013年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的附加題是一道不等式證明題：

題目設(shè)a,b,c∈R+,ab+bc+ca≥3,證明：

(1)

參考答案是利用冪平均值不等式進(jìn)行證明的.注意到當(dāng)a=b=c=1時(shí)，已知條件中的不等式等號(hào)成立，這啟發(fā)了筆者利用算術(shù)—幾何平均值不等式進(jìn)行證明.筆者給出2種簡(jiǎn)單的證明方法，并將結(jié)論推廣到一般情形.

1 賽題別證

證法1式(1)等價(jià)于

(a3+b3+c3)(a2+b2+c2)≥9.

由于a2+b2+c2≥ab+bc+ca≥3,只要證明a3+b3+c3≥3.利用算術(shù)—幾何平均值不等式

a3+a3+1≥3a2,b3+b3+1≥3b2,c3+c3+1≥3c2,

3個(gè)不等式相加，得

2(a3+b3+c3)+3≥3(a2+b2+c2)≥9,

即a3+b3+c3≥3，結(jié)論顯然成立.

證法2同證法1，只要證明a3+b3+c3≥3.利用算術(shù)—幾何平均值不等式

a3+b3+1≥3ab,b3+c3+1≥3bc,c3+a3+1≥3ca,

3個(gè)不等式相加，得

2(a3+b3+c3)+3≥3(ab+bc+ca)≥9,

即a3+b3+c3≥3，結(jié)論成立.

2 賽題推廣

不等式(1)可以推廣到更一般的情形：

推廣設(shè)a,b,c∈R+,ab+bc+ca≥3,n≥1,m≥1,則

(2)

證明因?yàn)?a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)≥9,所以a+b+c≥3.同時(shí)，n≥1,m≥1,利用冪平均值不等式，得

故an+bn+cn≥1.同理am+bm+cm≥1，從而

(an+bn+cn)(am+bm+cn)≥3×3=9，

(3)

式(3)與式(2)等價(jià).

3 問題引伸

命題1設(shè)a,b,c∈R+,ab+bc+ca≥3,n≥1,則an+bn+cn≥1.

此結(jié)論在上面的推廣證明中已證.

命題2設(shè)ai>0(i=1,2,…,n)，1k,且

a1a2…ak+a2…akak+1+…+ana1…ak-1≥n,

證明由算術(shù)—幾何平均值不等式，得

……

將這n個(gè)不等式相加，得

即命題2成立.

對(duì)于an+bn+cn和am+bm+cm的大小關(guān)系，有以下結(jié)論:

命題3設(shè)a,b,c∈R+,ab+bc+ca≥3,n-1≥m≥1,則

證明利用切比雪夫不等式，得

(5)

由于n-m≥1,根據(jù)命題1，知an-m+bn-m+cn-m≥3.至此，式(5)等價(jià)于式(4).

如果將條件n-1≥m≥1改為n≥m≥1，能得到什么結(jié)論？

命題4設(shè)a,b,c∈R+，aabbcc>1,n≥m≥1,則

證明當(dāng)a=b=c=1時(shí)，不等式(6)顯然成立；當(dāng)a,b,c不全為1時(shí)，不等式(6)成立等價(jià)于函數(shù)f(x)=ax+bx+cx在x∈[1,+∞]上是增函數(shù).因?yàn)?/p>

f′(x)=axlna+bxlnb+cxlnc,x∈[1,+∞)，

則

f″(x)=ax(lna)2+bx(lnb)2+cx(lnc)2>0,

所以f′(x)是[1,+∞)上的增函數(shù)，故

f′(x)≥f′(1)=alna+blnb+clnc=lnaabbcc>0.

因此，不等式(6)成立.

第九屆全國(guó)初等數(shù)學(xué)研究及中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研討會(huì)征文通知

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2013年3月1日